【問題】求最小非負(fù)整數(shù)N，使他在除以3,5,7以后所得余數(shù)分別是a,b,c。

【韓信點(diǎn)兵法的口訣】

    三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，

    七子團(tuán)圓整半月，除百零五便得知。

【韓信點(diǎn)兵法口訣的釋義】

　　前三句意思較為明確，假如說一個(gè)非負(fù)整數(shù)N，在除以3,5,7以后所得余數(shù)分別是a,b,c。那么70a+21b+15c 一定是符合題意要求的數(shù)。
　　第四句“除”字作“減”字解。因?yàn)榉弦蟮淖钚?shù)N必滿足0≤N＜105，但是 70a+21b+15c 卻有可能大于105，甚至大于210，所以還不一定是符合要求的最小數(shù)。那么當(dāng)他大于或等于105時(shí)，還必須減去105，可能還要再減去105，直到比105小為止，才可以得到符合題意要求的最小數(shù)。

【說明】這里105是3,5,7的最小公倍數(shù)，70a+21b+15c + 105k 也一定滿足“除以3,5,7以后所得余數(shù)分別是a,b,c”。

【例如】 a=b=c=2，70a+21b+15c=212，70a+21b+15c-105=107＞105。
而符合題意要求的最小數(shù)是 2，即 212-105-105=2.

【再如】 a=2,b=4,c=6，70a+21b+15c=314，314-105=209＞105。
而符合題意要求的最小數(shù)是 104，即 314-105-105=104.

【韓信點(diǎn)兵法口訣的原理】
①能被5,7除盡數(shù)是35k,其中k=2，即70除3正好余1，70a 除3正好余a。
②能被3,7除盡數(shù)是21k,其中k=1，即21除5正好余1，21b 除5正好余b。
③能被3,5除盡數(shù)是15k,其中k=1，即15除7正好余1，15c 除7正好余c。
這樣——
根據(jù)①可知 70a+21b+15c 除3正好余a。
根據(jù)②可知 70a+21b+15c 除5正好余b。
根據(jù)③可知 70a+21b+15c 除7正好余c。

【韓信點(diǎn)兵法口訣的局限性】只適宜于如題所示的一個(gè)極為特殊的問題，要推廣到同類問題必須另行制作口訣（即公式）。

【譬如】求最小非負(fù)整數(shù)N，使他在除以5,7,11以后所得余數(shù)分別是a,b,c。

【韓信點(diǎn)兵法口訣的原理】
①能被7,11除盡數(shù)是77k,其中k=3，即231除5正好余1，231a 除5正好余a。
②能被5,11除盡數(shù)是55k,其中k=6，即330除7正好余1，330b 除7正好余b。
③能被5,7除盡數(shù)是35k,其中k=6，即210除11正好余1，210c 除11正好余c。

那么 231a+330b+210c 除以5,7,11以后所得余數(shù)一定分別是a,b,c。

根據(jù)【符合要求的最小數(shù)N必滿足0≤N＜385】，所以當(dāng) 231a+330b+210c 大于或等于385時(shí)，還必須減去若干個(gè)385 直到比385小為止，才可以得到符合題意要求的最小數(shù)。

【說明】這里385是5,7,11的最小公倍數(shù)，231a+330b+210c + 385k 也一定滿足“除以5,7,11以后所得余數(shù)分別是a,b,c”。

【例如】求最小非負(fù)整數(shù)N，使他在除以5,7,11以后所得余數(shù)分別是3,5,7。

【解】231a+330b+210c=231×3+330×5+210×7=3813.

　　因?yàn)?/span> 3813＞385，所以減去9個(gè)385后，得到比385小的 3813-9×385=348 就是符合題意的最小非負(fù)整數(shù)了。