在振動(dòng)試驗(yàn)中，一般采用正弦對(duì)數(shù)掃頻方式來尋找試驗(yàn)體的共振點(diǎn)，然后再進(jìn)行耐久性等試驗(yàn)，從而判斷試驗(yàn)體的工藝性能等特性。這種方法現(xiàn)在比較廣泛，但是針對(duì)掃頻曲線如何判斷共振點(diǎn)呢？下面就個(gè)人經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)與理解，進(jìn)行說明。

首先，理解一下共振的定義。共振是指帶有能量的系統(tǒng)在外力激勵(lì)下發(fā)生固有振動(dòng)的一種現(xiàn)象，特別是當(dāng)外力的激勵(lì)頻率接近固有頻率的時(shí)候。和共鳴是同樣原理的現(xiàn)象，在電氣和振動(dòng)行業(yè)中經(jīng)常使用的一個(gè)專業(yè)用語。

  其次，在判斷共振點(diǎn)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)上一般采用的方法是，當(dāng)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的響應(yīng)值（加速度、速度、位移）是控制點(diǎn)控制值（加速度、速度、位移）的6dB(2倍)以上時(shí)，監(jiān)測(cè)點(diǎn)響應(yīng)值對(duì)應(yīng)的頻率f即為共振點(diǎn)。如下圖，

上述方法對(duì)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的試驗(yàn)體（線性系統(tǒng)）比較有效，而對(duì)于組裝件比較多的試驗(yàn)體（非線性系統(tǒng)），還需要加入相位差來進(jìn)行判斷，即控制點(diǎn)和監(jiān)測(cè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相位差是否為90°，如下圖，

也許有人會(huì)問，這個(gè)方法真的可靠嗎？有沒有理論依據(jù)？其實(shí)是有的，其理論依據(jù)就是單自由度系統(tǒng)受簡(jiǎn)諧激勵(lì)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)。數(shù)學(xué)模型如下圖，

振動(dòng)微分方程式（F₀激振力幅值，ω激振頻率），

兩邊同除以m，并令ω_n= ，2ξω_n= c/m，阻尼比ξ= c/c_c，c_c =，得到

這是一個(gè)具有粘性阻尼的單自由度受迫振動(dòng)微分方程，是二階常系數(shù)線性非齊次常微分方程。此方程的解x（t）包括兩部分，單自由度有阻尼自由振動(dòng)齊次方程的通解x₁（t）和特解x₂（t），

其解圖形

x₁（t）是一種衰減振動(dòng)，只在振動(dòng)開始的一段時(shí)間內(nèi)才有意義，是瞬態(tài)振動(dòng)，在一般情況下可以不予考慮。將x₂（t）代入原微分方程，解法一般的振動(dòng)理論書上都有介紹，最后得到

頻率比λ = ω/ω_n ,系統(tǒng)的最大靜位移X₀= = F₀/k 。

通過上面強(qiáng)迫振動(dòng)解可以看出，在簡(jiǎn)諧激振力作用下，強(qiáng)迫振動(dòng)也為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其頻率與激振頻率ω相同，但滯后θ，這是由于阻尼存在的關(guān)系。振幅X與相位角θ都與系統(tǒng)固有特性及激振力的性質(zhì)有關(guān)，而與初始條件無關(guān)。取

β稱為放大因子，代表穩(wěn)態(tài)振動(dòng)振幅X與激振力幅F₀靜止作用于彈簧上的靜位移X₀之比，不僅隨頻率比λ而變，還隨阻尼比ξ而變。將β與λ、ξ的關(guān)系曲線以及θ與λ、ξ的關(guān)系曲線分別稱之為幅頻響應(yīng)曲線、相頻響應(yīng)曲線。

兩圖中，注意頻率比λ=1那條豎線，可以看出，

1    λ＜＜1，ω＜＜ω_n，彈性控制區(qū)，振幅主要由彈簧k控制，振幅X接近等于最大靜位移X₀，β接近于1。相位差θ接近等于0度，即位移與激振力接近同相位。

2    λ＞＞1，ω＞＞ω_n，慣性控制區(qū)，振幅只要由質(zhì)量m控制，β接近于0，因?yàn)轭l率變化太快，試驗(yàn)體由于慣性來不及跟隨，幾乎靜止不動(dòng)，振幅X主要由系統(tǒng)的慣性決定。相位差θ接近等于180度（π），即位移與激振力接近反相位。

3 λ≈1，ω≈ω_n，阻尼控制區(qū)，振幅X急劇增加，放大因子β趨向于最大值β_max。嚴(yán)格的說，β_max發(fā)生在

處（取β式子分母中根號(hào)下式子的最小值，即λ²的一元二次函數(shù)微分后等于0，求出λ），通常由于ξ²＜＜1，所以可以說ω=ω_n時(shí)系統(tǒng)發(fā)生共振。此時(shí)振幅達(dá)到最大值X_max=X₀/2ξ，且相位差θ=90°（π/2）。可見在共振時(shí)，X_max與阻尼比ξ值有關(guān)，ξ越小，X_max值越大；在ξ趨近于0時(shí)，X_max可達(dá)到無窮大。但此時(shí)的相位差θ與ξ值無關(guān)，不管ξ值為何值，共振時(shí)θ總是90°（π/2），這是共振時(shí)的一個(gè)重要特征。

通過上面的幅頻響應(yīng)與相頻響應(yīng)所引出的共振現(xiàn)象，是傳統(tǒng)的共振試驗(yàn)法測(cè)定系統(tǒng)固有頻率的理論基礎(chǔ)。

在幅頻響應(yīng)曲線中可以看出，在共振區(qū)附近的一定范圍內(nèi)，阻尼比ξ對(duì)振幅有明顯的影響，增加阻尼可使振幅明顯下降，這個(gè)是減振的理論基礎(chǔ)。

λ=1時(shí)的放大因子最大，即β_max，此時(shí)稱其為品質(zhì)因子，用符號(hào)Q表示，

在幅頻響應(yīng)曲線上共振點(diǎn)的兩側(cè)用水平線截取兩個(gè)點(diǎn)q₁、q₂，使它們的縱坐標(biāo)β滿足

點(diǎn)q₁和q₂稱為半功率點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的頻率分別為ω₁和ω₂，兩頻率之差Δω=ω₂-ω₁,稱為系統(tǒng)的半功率帶寬，

求得，

因?yàn)棣危迹?，可以忽略ξ²，得到，

近似的認(rèn)為幅頻響應(yīng)曲線在λ=1兩側(cè)時(shí)對(duì)稱的，則由ω₁+ω₂≈2ω_n，最后得到，

從上式中可以看出，阻尼比大的時(shí)候，帶寬Δω也大，在共振區(qū)內(nèi)振幅較小且變換平緩；阻尼小時(shí)，帶寬窄，共振區(qū)內(nèi)振幅較大且變化陡峭。所以Q反映了阻尼的強(qiáng)弱和共振峰陡峭程度，故又稱為共振的銳度。在振動(dòng)試驗(yàn)中，用試驗(yàn)的方法得到半功率帶寬，再估算出阻尼的大小，即半功率法。

　　現(xiàn)在再回到前文所述共振點(diǎn)的判斷方法中使用幅值判斷時(shí)，為什么要取6dB(2倍)以上這個(gè)問題。通過幅頻響應(yīng)曲線，可以看出ξ＞0.25的話，共振峰比較平緩，不是很明顯：ξ≤0.25的話，共振峰比較明顯且陡峭，便于察覺。將此條件代入Q=β_max=1/2ξ中，得到Q≥2，這就是幅值判斷共振點(diǎn)時(shí)，取放大倍數(shù)2以上的原因，當(dāng)然這也僅僅是本人的理解，僅供參考。

總結(jié)：

以上介紹的是單自由度系統(tǒng)測(cè)定固有頻率的方法及其理論基礎(chǔ)，主要是通過振幅（位移）來進(jìn)行判斷，其實(shí)利用速度或加速度來進(jìn)行判斷結(jié)果是一樣的。振幅（位移）解微分后即得速度解和加速度解，從而得到速度和加速度的放大因子，總結(jié)如下。

位移放大因子：

位移響應(yīng)相位差：θ

速度放大因子：

速度響應(yīng)位移差：

加速度放大因子：

加速度響應(yīng)位移差：

其各自對(duì)應(yīng)的幅頻響應(yīng)曲線如下圖所示。

所以說，利用振幅來尋找共振點(diǎn)和利用速度或加速度來進(jìn)行判斷結(jié)果是一樣的，所以統(tǒng)一定義共振點(diǎn)為，

而對(duì)于共振區(qū)的定義方法為，

1    0.75＜λ＜1.25

2    λ-Δλ＜λ＜λ+Δλ  （Δλ=2ξ，帶寬）

  另外，如果把多自由度系統(tǒng)看成是多個(gè)單自由度系統(tǒng)的疊加，即在每個(gè)共振點(diǎn)處，都可以認(rèn)為是一個(gè)單自由度系統(tǒng)。所以此法也適合多自由度系統(tǒng)的共振點(diǎn)探查。

最后，給出一個(gè)共振點(diǎn)探查結(jié)束后進(jìn)行耐久振動(dòng)試驗(yàn)的實(shí)例來結(jié)束本文。如下圖所示，某車載用品，按照下面的內(nèi)容進(jìn)行共振點(diǎn)探查，然后按照一階共振點(diǎn)的條件進(jìn)行耐久對(duì)應(yīng)試驗(yàn)。

頻率范圍：5～500Hz，加速度：1.0m/s²，掃頻速度：1oct/min

試驗(yàn)體設(shè)置圖

試驗(yàn)響應(yīng)曲線

通過試驗(yàn)曲線發(fā)現(xiàn)一階共振點(diǎn)在125Hz附近，對(duì)應(yīng)耐久試驗(yàn)要求，在一階共振點(diǎn)的±10%內(nèi)（112.5Hz～137.5Hz）做共振耐久掃頻試驗(yàn)，加速度3.1m/s²，單程對(duì)數(shù)掃頻時(shí)間12s，共計(jì)10小時(shí)。