公眾號“鄒生書數(shù)學”創(chuàng)建于2018年8月28日。    

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鄒生書，男，1962年12月出生，本科學歷，理學士學位，中學數(shù)學高級教師，黃石市高中數(shù)學骨干教師。主要從事高中數(shù)學教學、高中數(shù)學解題研究和探究性學習等。從2007年8月到2018年8月，在《數(shù)學通訊》《數(shù)學通報》《數(shù)學教學》《中學數(shù)學》《中學數(shù)學教學》等，二十多種學術期刊上發(fā)表解題和探究性學習文章300余篇。

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指對三角相混合  參變分離一統(tǒng)解

浙江省平陽中學       洪一平

最近看到了幾個老師在公眾號鄒生書數(shù)學上發(fā)布的指數(shù)對數(shù)及三角函數(shù)混合的恒成立求參數(shù)取值范圍的幾道題, 他們各自提出一些解決問題的方法. 筆者經(jīng)過進一步的研究, 對這幾個問題提供形式統(tǒng)一的創(chuàng)新解法, 并盡可能采用不超綱(如不采用洛畢達法則, 不采用凹凸函數(shù)切線等)的方式來解答, 供大家參考. 至于解題過程中出現(xiàn)的熟知的或易證的不等式就不給出相應的證明了.

(注: 此解法通過恰當?shù)闹笖?shù)對數(shù)的單獨放縮方式, 求出了函數(shù)g(x)的下確界, 此時g(x)的最小值并不存在)

問題2: 已知函數(shù)f(x)=ae^x+2e^-x+(a-2)x-(a+2)cosx, 當x>0時f(x)>0恒成立, 求實數(shù)a的取值范圍.

(注:此解法通過恰當?shù)闹笖?shù)的放縮方式, 求出了函數(shù)g(x)的上確界, 此時g(x)的最大值并不存在)

問題3: 已知函數(shù)f(x)=e^x+ln(x+1)+asinx,對于任意x∈[0, p], f(x)≥1恒成立, 求實數(shù)a的取值范圍.

解: 易證當x∈[0, p], x≥sinx. 又熟知不等式e^x≥x+1.

設h(x)=e^x+ln(x+1)-2x-1,

(注:此解法通過恰當?shù)闹笖?shù)對數(shù)的聯(lián)合整體放縮及正弦函數(shù)的放縮方式, 求出了函數(shù)g(x)的下確界, 此時g(x)的最小值并不存在)

(注：此解法中采用先必要后充分的方法, 其中h(x)是a=-2時的f(x), 對導數(shù)與原函數(shù)分別作了適當?shù)姆趴s)

(注:此解法中采用先必要后充分的方法, 對導數(shù)作了適當?shù)姆趴s)

通過上面的幾個問題, 可以用統(tǒng)一的參變分離法的解題模式, 利用放縮法求出相應的函數(shù)的上(下)確界達到解決問題的目的, 有時也可以采用先必要后充分的方法予以解決. 要做適當?shù)姆趴s, 須熟悉一些基本的指數(shù)對數(shù)及三角函數(shù)的相關的不等式, 通過具體問題具體分析, 加以靈活運用, 達到解題過程清楚明了, 盡量簡潔易行. 如能單獨放縮就能解決問題那是容易的情形, 有時須整體聯(lián)合放縮才能達到目的, 而先必要得到的結(jié)果能使這個過程變得不那么難一些. 當然, 解題過程若采用洛畢達法則會更簡潔, 這是為不超綱刻意避免的.

點評：不等式切線放縮與導數(shù)極限定義聯(lián)手，粗中有細，珠聯(lián)璧合！

 吳祥云老師認為洪老師的上述解法：牛！以前也看到過用放縮求范圍，但都感覺不嚴謹，洪老師的是我看到的最嚴謹?shù)陌姹尽?/strong>

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【作者簡介】洪一平,男, 1962年4月出生, 1979年考上浙江大學應用數(shù)學系并于83年畢業(yè), 獲理學士學位, 畢業(yè)后分配到杭州商學院擔任高數(shù)助教二年, 85年考上浙江大學應用數(shù)學系攻讀計算機輔助幾何設計專業(yè)碩士研究生學位, 89年獲得理學碩士學位, 畢業(yè)后回家鄉(xiāng)任教于浙江省平陽中學, 96年評上高中數(shù)學高級教師職稱, 曾連續(xù)二十多年擔任高中數(shù)學競賽及培優(yōu)輔導員。

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