在現(xiàn)實(shí)生活中，我們對(duì)紐結(jié)并不陌生，解開(kāi)一個(gè)紐結(jié)幾乎是我們常常需要做的事，比如解開(kāi)纏繞的電源線、耳機(jī)繩等等等等。然而從數(shù)學(xué)的角度看，解開(kāi)紐結(jié)這一問(wèn)題并不像看起來(lái)那么簡(jiǎn)單，它涵蓋著許多復(fù)雜的抽象數(shù)學(xué)概念，涉及到高維空間中的幾何問(wèn)題。

紐結(jié)在數(shù)學(xué)上的定義是存在于三維空間中的簡(jiǎn)單閉曲線。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，它指的是當(dāng)我們將一根繩子隨意打成結(jié)，然后再將成結(jié)后的繩子的兩端粘在一起，得到的就一個(gè)數(shù)學(xué)意義上的紐結(jié)。這意味著，它是一個(gè)閉合的、不能被解開(kāi)成一個(gè)簡(jiǎn)單的環(huán)的曲線。假如將這樣的紐結(jié)放置在桌面上，再?gòu)纳舷蛳赂┮暭~結(jié)，那么呈現(xiàn)在你眼前的就是紐結(jié)的平面投影。在數(shù)學(xué)中，這種具有多個(gè)交叉的圖形被稱為紐結(jié)圖。

數(shù)學(xué)概念中，無(wú)論一個(gè)紐結(jié)在乍看之下多么繁雜，只要它可以通過(guò)移動(dòng)繩結(jié)而被解開(kāi)成為一個(gè)簡(jiǎn)單的環(huán)，那么就可以被稱為平凡紐結(jié)（unknot）。

一直以來(lái)，有這樣一個(gè)與平凡紐結(jié)有關(guān)的問(wèn)題困擾著許多數(shù)學(xué)家，那就是對(duì)于任意一個(gè)給定的紐結(jié)圖，要如何確定它所代表的是否為平凡紐結(jié)。在近100年的時(shí)間里，許多數(shù)學(xué)家和計(jì)算機(jī)科學(xué)家都致力于尋找一個(gè)能夠有效用于判斷一個(gè)給定紐結(jié)是否為平凡紐結(jié)的算法。

這個(gè)問(wèn)題最早是由數(shù)學(xué)家馬克斯·德恩（Max Dehn）于1910年提出的；1954年，阿蘭·圖靈（Alan Turing）在《可解決的和不可解決的問(wèn)題》一文中再次提到這個(gè)問(wèn)題，在論文中，圖靈寫道：“目前還沒(méi)有系統(tǒng)的方法可以判斷兩個(gè)紐結(jié)是否相同?！?/p>

直到1961年，德國(guó)數(shù)學(xué)家沃爾夫?qū)す?/strong>（Wolfgang Haken）才為如何確定一個(gè)紐結(jié)是否是為平凡紐結(jié)提供了首個(gè)算法。在接下來(lái)的幾十年間，數(shù)學(xué)家通過(guò)使用各種各樣的技術(shù)，發(fā)展出了許多不同的算法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。然而，這些算法都有一個(gè)共同的問(wèn)題，那就是當(dāng)紐結(jié)趨向于復(fù)雜，算法所需的計(jì)算時(shí)間會(huì)顯著增加。

一個(gè)紐結(jié)的復(fù)雜程度由它所含有的交叉數(shù)（n）來(lái)決定。要判斷一個(gè)紐結(jié)是否為平凡紐結(jié)，其實(shí)所要判斷的就是這個(gè)紐結(jié)中的交叉數(shù)是否可以降至為0。對(duì)于已存在的算法來(lái)說(shuō)，每當(dāng)一個(gè)給定的紐結(jié)的交叉數(shù)增加一個(gè)，判斷它是否是平凡紐結(jié)所需花費(fèi)的時(shí)間就要翻倍。

如此一來(lái)，這就留下了這樣一個(gè)問(wèn)題：我們能在多項(xiàng)式時(shí)間（p(n)）內(nèi)解決平凡紐結(jié)的識(shí)別問(wèn)題嗎？在這里，多項(xiàng)式時(shí)間意味著算法的運(yùn)行時(shí)間可由多項(xiàng)式p(n)給出，而p(n)的大小取決于交叉數(shù)n的多少。近十年來(lái)，從事這類研究的數(shù)學(xué)家大多得出的結(jié)論是——平凡紐結(jié)的識(shí)別問(wèn)題屬于NP類問(wèn)題，即那些當(dāng)答案為“是”時(shí)，存在一個(gè)有效的證明來(lái)表明“答案為是”的問(wèn)題。

現(xiàn)在，牛津大學(xué)的數(shù)學(xué)家Marc Lackenby找到了一種算法，能比以往任何算法都更快判斷一個(gè)紐結(jié)是否為“平凡紐結(jié)”。這種算法可以在所謂的“準(zhǔn)多項(xiàng)式時(shí)間（quasi-polynomial time）”，判斷出一個(gè)交叉數(shù)為n的紐結(jié)圖所代表的的紐結(jié)是否是平凡紐結(jié)。

Lackenby的算法依賴于使用分層（hierarchy）的概念來(lái)證明一個(gè)紐結(jié)是否為平凡紐結(jié)。這種算法可以在n^{c·log(n)}步之內(nèi)，判斷出一個(gè)有n個(gè)交叉點(diǎn)的紐結(jié)圖是否是平凡紐結(jié)。這里的c代表著準(zhǔn)多項(xiàng)式時(shí)間，它只比多項(xiàng)式時(shí)間稍慢一點(diǎn)，與之前的最好結(jié)果相比，是一次重大的進(jìn)步。

其實(shí)，研究一個(gè)紐結(jié)是否為平凡紐結(jié)的意義不僅在于滿足了數(shù)學(xué)家們的好奇心，它還有著許多非常實(shí)際且重要的應(yīng)用。例如在生物研究中，對(duì)紐結(jié)的理解可以幫助研究人員更好地了解DNA是如何在細(xì)胞內(nèi)纏繞的，再比如對(duì)一些包括流體、液晶、聚合物分子、蛋白質(zhì)等物理系統(tǒng)在內(nèi)的研究中，對(duì)紐結(jié)的性質(zhì)的更好理解也至關(guān)重要。