關(guān)于功率譜、功率譜密度、頻譜密度，多數(shù)同學(xué)認(rèn)為是同一回事，圖形看起來也很像......(見文末)

寫這篇文章，最大的難點(diǎn)就是編輯公式。

而公式，恰恰也是理解頻譜、頻譜密度、能量譜密度、功率譜密度的難點(diǎn)所在。

可以用語言描述，但沒有公式看起來簡約。

最后我引用了一個(gè)高斯脈沖的實(shí)例(多圖，代碼請(qǐng)私信)，便于對(duì)前述概念進(jìn)行理解。

為了讓大家互動(dòng)起來^_^，文章中間有一個(gè)判斷投票。

總而言之，值得你收藏。

1Ω的電阻

我們?yōu)槭裁搓P(guān)注一個(gè)1Ω的電阻呢？圖1

就是因?yàn)樗?，所以在計(jì)算中可以省略。

圖1 1Ω電阻兩端的電壓信號(hào)x(t)

給定一個(gè)1Ω的電阻，其兩端電壓為V，電流為I，那么在時(shí)間T之內(nèi)，電阻消耗的能量Er為：

那么電阻在單位時(shí)間內(nèi)消耗的能量，我們稱之為瞬時(shí)功率Pr

看到?jīng)]，平方！這就是很多教科書求功率能量時(shí)候，為什么一上來，就喜歡平方！

現(xiàn)在我們把電壓換成普通信號(hào)x(t)，x(t)隨著時(shí)間t變化。

那么現(xiàn)在信號(hào)的功率為Px

在時(shí)間T內(nèi)，信號(hào)的能量可以表示為Ex

把這里時(shí)間變化區(qū)間改成∞，也就是積分上下限，改為為-∞到+∞，可以定義為一般信號(hào)的能量E：

如果E存在為一個(gè)正的有限值，我們把x(t)叫做能量信號(hào)。

現(xiàn)在定義信號(hào)x(t)的平均功率為P，能量除以時(shí)間就是功率

若第一個(gè)極限E存在，即稱為能量信號(hào);

若第二個(gè)極限P存在，則稱為功率信號(hào)。

這個(gè)2個(gè)公式適用與普遍的信號(hào)的，一個(gè)不存在，就試試另外一個(gè)！

一個(gè)信號(hào)可以既不是能量信號(hào)，也不是功率信號(hào)，但不可能既是能量信號(hào)，又是功率信號(hào)。

在實(shí)際的通信系統(tǒng)中，信號(hào)都具有有限的發(fā)射功率、有限的持續(xù)時(shí)間，因而具有有限的能量E。但是，若信號(hào)的持續(xù)時(shí)間非常長，例如廣播信號(hào)，則可以近似認(rèn)為它具有無限長的持續(xù)時(shí)間。此時(shí)，認(rèn)為定義的信號(hào)平均功率是一個(gè)有限的正值，但是其能量近似等于無窮大。我們把這種信號(hào)稱為功率信號(hào)。

能量與功率信號(hào)舉例

首先先看階躍信號(hào)與絕對(duì)指數(shù)信號(hào)，見圖2

圖2 左邊為階躍信號(hào)，右邊為絕對(duì)值指數(shù)信號(hào)

階躍信號(hào)u(t)

根據(jù)能量與功率公式，可以計(jì)算出

能量E無窮大，功率P為1/2，所以階躍信號(hào)為功率信號(hào)。

“絕對(duì)”指數(shù)信號(hào)e^|2t|

根據(jù)能量與功率公式，可以計(jì)算出

能量E為1/2，功率P為0，所以絕對(duì)指數(shù)信號(hào)為能量信號(hào)。

復(fù)指數(shù)信號(hào)e^(-jwt)

根據(jù)能量與功率公式，可以計(jì)算出

功率P為1，能量E為無窮大，所以復(fù)指數(shù)信號(hào)為功率信號(hào)。

圖3 復(fù)指數(shù)信號(hào)的三維圖

現(xiàn)在我們來自己動(dòng)手算一個(gè)信號(hào)f(t)=e^(-2t)，它是什么信號(hào)呢？

歡迎大家投票哦。

圖4 指數(shù)函數(shù)e^-2t

功率信號(hào)與能量信號(hào)小結(jié)

對(duì)于無限長時(shí)間的周期信號(hào)，均為功率信號(hào)；

對(duì)于非周期信號(hào)，再分為三種情況，見圖5所示

圖5 能量信號(hào)與功率信號(hào)的常見形式，來源網(wǎng)絡(luò)

功率信號(hào)的頻譜

功率信號(hào)，尤其是周期性的功率信號(hào)，它的頻譜就是我們熟悉的傅里葉級(jí)數(shù)。

設(shè)一個(gè)周期性功率信號(hào)s(t)的周期為T0，則將其頻譜(frequency spectrum)函數(shù)定義為下式積分變換。其中f0=1/T0，n為整數(shù)，C(nf0)表示C是nf0的函數(shù)，并簡記為Cn。

圖6 功率信號(hào)的頻譜

當(dāng)n=0時(shí)，C0表示頻率為0的分量，即是直流分量。

上述的公式同樣適用于非周期的功率信號(hào)。

對(duì)于周期性的功率信號(hào)來說，其頻譜函數(shù)Cn是離散的，只在f0的整數(shù)倍上取值。由于n可以取負(fù)值，所以在負(fù)頻率上Cn也有值。

通常Cn為雙邊譜。

圖7 周期信號(hào)的頻譜

雙邊譜中的負(fù)頻譜僅在數(shù)學(xué)上有意義。在物理上，并不存在負(fù)頻率。

但是我們可以找到物理上實(shí)信號(hào)的頻譜和數(shù)學(xué)上的頻譜函數(shù)之間的關(guān)系：

C-n = Cn*

即負(fù)頻譜和正頻譜的模是偶對(duì)稱的，相位是奇對(duì)稱的。

對(duì)于非周期的功率信號(hào)，可將其周期看作是無窮大，然后再用圖X中的公式去計(jì)算。

能量信號(hào)的頻譜

能量信號(hào)的頻譜，就是其傅里葉變換。

設(shè)一個(gè)能量信號(hào)為s(t)，則將它的傅里葉變換S(f)定義為它的頻譜密度(frequencuy spectrum density)

圖8 能量信號(hào)的頻譜密度

能量信號(hào)的頻譜密度S(f)和周期性功率信號(hào)的頻譜Cn的主要區(qū)別：

S(f)是連續(xù)譜，Cn是離散譜

S(f)的單位是V/Hz,Cn的單位是V

能量信號(hào)的能量有限，并分布在連續(xù)頻率軸上，所以每個(gè)頻率段f上信號(hào)的幅度是無窮??；只有在一小段頻率間隔df上才有確定的非零振幅。

功率信號(hào)的功率有限，但能量無限，它在無限多的離散頻率點(diǎn)上有確定的非零振幅。

一般，討論能量信號(hào)的問題時(shí)，頻譜密度也會(huì)常常成為頻譜。

頻譜密度和頻譜這兩個(gè)概念，在一般的教材上，不做嚴(yán)格區(qū)分！

能量信號(hào)的能量譜

能量是守恒的，不會(huì)管你變換來、變換去。所以，不管是在時(shí)域還是頻域，能量守恒。

這也是巴塞伐爾定理，見圖X中E和ET的公式

能量信號(hào)s(t)，其傅里葉變換為S(f)。

在頻率軸上取一小塊頻率△f，然后|S(f)|^2△f就是這一塊頻率對(duì)應(yīng)的能量。

那么在頻率軸f上的積分，就是信號(hào)的能量E。見圖9的上半部分。

圖9 能量信號(hào)的能量譜密度

G(f)就是能量譜密度。

如果信號(hào)是能量信號(hào)，通過傅里葉變換，就很容易分離不同頻域分量所對(duì)應(yīng)的能量，頻率f對(duì)應(yīng)的能量為: df = |X(f)|2d(f)，對(duì)f積分就能得到信號(hào)的總能量，由此， |X(f)|2 就定義為能量譜密度，也常簡稱為能量譜，意為能量在某一頻率上的分布集度或，量綱是J/Hz 。

功率信號(hào)的功率譜密度

由于功率信號(hào)具有無窮大的能量，所以按照能量E的公式，這個(gè)積分是不存在的。

但是我們可以把這個(gè)信號(hào)截?cái)喑尚K。

例如，把信號(hào)s(t)截?cái)喑梢粋€(gè)截短信號(hào)sT(t),-T/2<t<T/2。

這樣sT(t)就是一個(gè)能量信號(hào)了，我們利用傅里葉變換可以求出其能量譜密度|ST(f)|^2。

根據(jù)巴塞伐爾定理，我們可以定義功率譜密度(PSD，power spectrum density)

圖10 功率信號(hào)得到功率譜密度

圖10中P(f)就是定義的功率譜密度。

功率譜密度在頻率軸上積分，T趨向無窮大，就是信號(hào)的功率。

有上述的內(nèi)容可知，功率信號(hào)一般為周期信號(hào)，也是非周期的形式。

功率信號(hào)具有周期性

如果這個(gè)功率信號(hào)恰巧是周期信號(hào)。

生活中最常見。

可以將T選作等于信號(hào)的周期T0，并且用傅里葉級(jí)數(shù)代替傅里葉變換，求出信號(hào)的頻譜

圖11 巴塞伐爾定理

Cn為此周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。若f0是此信號(hào)的基波頻率，則Cn是此信號(hào)的第n此諧波的振幅；

|Cn|^2為第n次諧波的功率，可以稱為信號(hào)的（離散）功率譜。

注意，這里是功率譜，而不是功率譜密度！

如果還想用功率譜密度表示此離散譜，可以利用δ函數(shù)的性質(zhì)

圖12 周期性功率信號(hào)的功率與功率譜密度

高斯脈沖實(shí)例

這里我們舉一個(gè)高斯脈沖的例子。

高斯脈沖的傅里葉變換是可以手動(dòng)計(jì)算得出的，各位小伙伴可以挑戰(zhàn)一下，正確答案可以私信我哦。

這里直接給出結(jié)論，就是高斯脈沖的傅里葉變換仍然還是高斯函數(shù)形式。

我們先畫出一個(gè)高斯脈沖，中心點(diǎn)在2.5ns處，幅度值為1V，窗口時(shí)間為5ns。

利用FFT函數(shù)，求出其雙邊幅度譜與相位譜。

見圖13。

圖13 高斯脈沖的雙邊譜

FFT計(jì)算的過程中，其實(shí)隱含著將這個(gè)高斯脈沖周期延拓的過程。所以這里的信號(hào)可以看作為周期性的，而且在每個(gè)周期內(nèi)其能量是有限的。

所以，這里是周期功率信號(hào)。

由上文分析可知，其功率譜為頻譜系數(shù)的平方，功率譜密度為單位頻率處的功率，即df處的功率。

見圖14。

圖14 高斯脈沖的雙邊功率譜與密度

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