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集合論導(dǎo)引

序言

線性代數(shù)學(xué)入門課程的內(nèi)容在時(shí)間軸上的分布涵蓋數(shù)千年的人類數(shù)學(xué)的發(fā)展，就算有一道看起來新鮮的習(xí)題也幾乎一定是重述先人智慧的產(chǎn)物。所以，在這本《導(dǎo)引》之中，不會(huì)有屬于作者的新發(fā)現(xiàn)；作為一本入門教材，這不過是總結(jié)別人智慧的產(chǎn)物，盡管在選材和結(jié)構(gòu)上可以有差別。同時(shí)，像研究型著作那樣去標(biāo)明每一道命題的原始出處將是困難、耗時(shí)且根本沒有必要的事情。現(xiàn)代信息時(shí)代，任何有心的讀者都可以在互聯(lián)網(wǎng)上一瞬間查獲所要的歷史淵源。這也就成了作者為自己節(jié)省時(shí)間免去繁瑣的借口，希望讀者海涵?！秾?dǎo)引》的最后列有基本參考書目，這本《導(dǎo)引》中的命題或者證明或者習(xí)題自然分別取自它們。它們是源，這本《導(dǎo)引》是池。作者則是將源中水?dāng)嚭驮谝黄鸬臋C(jī)器。既望作者們見諒，也望讀者們寬容作者看重的是《導(dǎo)引》中概念演繹的邏輯結(jié)構(gòu)和發(fā)展順序，因?yàn)樽髡咴敢庀嘈啪€性代數(shù)學(xué)無論是知識(shí)還是方法，就其思想而言，終究是有著深刻的典型的承前啟后自然發(fā)展的關(guān)聯(lián)的。也就是說，線性代數(shù)學(xué)有著自身天然的知識(shí)結(jié)構(gòu)。所以，在將源頭之水?dāng)嚭陀诔刂械臅r(shí)候，作者沒有太過注重其出處，只在意它們各自在統(tǒng)一邏輯進(jìn)程中的關(guān)聯(lián)和結(jié)構(gòu)位置。就影響的輕重多寡而言，柯斯特利金的《代數(shù)學(xué)引論》自然是重中之重，因?yàn)樗吘故菄?guó)科大一年級(jí)學(xué)生的通用教材，而且教學(xué)大綱就是以這本教材為藍(lán)本設(shè)計(jì)的；其次當(dāng)屬許以超的《線性代數(shù)與矩陣論》，因?yàn)樗牡谝话娈吘故嵌嗄昵熬蛶Ыo作者極大影響的一本書；然后當(dāng)然是席南華的《基礎(chǔ)代數(shù)》，因?yàn)槲覀兌荚谟酶髯缘睦斫鈦斫忉尶滤固乩鸬摹洞鷶?shù)學(xué)引論》，能夠參考他的書是一種特有的幸運(yùn)。盡管有著天然的保持獨(dú)立性的倔強(qiáng)，近朱者赤，受其影響到底是在所難免的。也借此機(jī)會(huì)表示對(duì)許先生和席先生真誠(chéng)的敬意和謝意，也對(duì)柯斯特利金《代數(shù)學(xué)引論》的翻譯者，尤其是張英伯先生，表示敬意和謝意。

最后，請(qǐng)?jiān)试S我借機(jī)表達(dá)對(duì)我高中時(shí)期既在課內(nèi)又在課外教我線性代數(shù)學(xué)的超級(jí)熱心的周典老師特別的敬意和謝意。周典老師是開啟我數(shù)學(xué)思維的啟蒙者。請(qǐng)?jiān)试S我表達(dá)對(duì)我大學(xué)時(shí)期教我線性代數(shù)和離散數(shù)學(xué)兩門課程的王義和老師的特別的敬意和謝意，王義和老師，亦師亦友，是無意之中引導(dǎo)我從計(jì)算機(jī)軟件專業(yè)轉(zhuǎn)向基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的導(dǎo)師。

當(dāng)然，我還要感謝的是科學(xué)出版社和李靜科編輯。如果沒有科學(xué)出版社和李編輯的熱情支持和細(xì)心幫助，這本《導(dǎo)引》未必可以與讀者見面。

2018年8月

中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究

中國(guó)科學(xué)院大學(xué)院

緒論

接下來的兩章中，《導(dǎo)引》會(huì)分別建立起整數(shù)和分?jǐn)?shù)以及實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的確切解釋。在第2章里，以自然數(shù)范圍內(nèi)的賒賬問題為引導(dǎo)，依托自然數(shù)結(jié)構(gòu)，應(yīng)用等價(jià)關(guān)系和商集概念，實(shí)現(xiàn)從自然數(shù)到整數(shù)的擴(kuò)展，并建立起整數(shù)理論以及同余類數(shù)理論；然后再以整數(shù)均分問題為引導(dǎo)，再次應(yīng)用等價(jià)關(guān)系和商集概念，實(shí)現(xiàn)從整數(shù)到分?jǐn)?shù)(也就是有理數(shù))之?dāng)U展，并建立起有理數(shù)有序域理論以及有理數(shù)平面有序域理論。由于整數(shù)和有理數(shù)都有關(guān)于數(shù)的加法和乘法的運(yùn)算，在這一章里，《導(dǎo)引》還系統(tǒng)地實(shí)現(xiàn)了在邏輯基礎(chǔ)部分所引入的抽象的由變?cè)?、常元、加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算迭代復(fù)合而成的項(xiàng)的含義的函數(shù)解釋：整系數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)以及有理系數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)被引進(jìn)。在這里讀者有機(jī)會(huì)第一次回到邏輯基礎(chǔ)部分體會(huì)“項(xiàng)”這個(gè)詞的含義以及“真”“假”這兩個(gè)相互沖突的名詞的內(nèi)涵?！秾?dǎo)引》關(guān)注有理數(shù)平面有序域是基于素?cái)?shù)開方問題。在這里，我們可以有比較滿意的對(duì)單個(gè)問題的解答，但沒有統(tǒng)一的解答。這也就為后面的實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的引入完成了鋪墊。從自然數(shù)到整數(shù)乃至同余類數(shù)，從整數(shù)到有理數(shù)，我們所用的工具就是很容易定義出來的自然的等價(jià)關(guān)系；從有理數(shù)域到包含單個(gè)素?cái)?shù)開方的擴(kuò)張域，也只需要在有理平面上引進(jìn)一個(gè)合適的但依舊自然的乘法運(yùn)算；但是，從有理數(shù)到實(shí)數(shù)，這些代數(shù)手段已經(jīng)捉襟見肘。要想一勞永逸地解決全部素?cái)?shù)開方問題，這已不是同樣適合于離散結(jié)構(gòu)的代數(shù)方法可以奏效的任務(wù)，因?yàn)閷?shí)數(shù)軸與有理數(shù)軸最根本的差別就在于實(shí)數(shù)軸的連續(xù)性以及有理數(shù)軸的處處間斷性。用邏輯學(xué)的行話說，這里涉及的是有理數(shù)的“二階”性質(zhì)，也就是說，有理數(shù)的子集合不得不被牽扯進(jìn)來因此，《導(dǎo)引》以有理數(shù)軸序完備化的方式定義實(shí)數(shù)軸，然后再根據(jù)有理數(shù)有序域的基本性質(zhì)在實(shí)數(shù)集合上定義實(shí)數(shù)的加法和乘法。這就為實(shí)數(shù)這一直覺中的概念提供了典范的解釋，正是這種實(shí)數(shù)軸的連續(xù)性保證了在正實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一元正整數(shù)次冪函數(shù)都是雙射，也就是說，任何正實(shí)數(shù)都可以開任意次方；也正是實(shí)數(shù)軸的這種連續(xù)性保證了任何奇次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式都有零點(diǎn)。自然，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的引入為我們提供了再次回訪邏輯基礎(chǔ)的機(jī)會(huì)，從實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)的歷程是代數(shù)的，因?yàn)榻鉀Q復(fù)數(shù)開方這樣的問題我們?cè)谟欣砥矫嫔弦呀?jīng)見到過，這里所需要的也是在實(shí)平面上引進(jìn)一個(gè)合適的、自然的乘法運(yùn)算。依舊利用實(shí)數(shù)軸的連續(xù)性，我們得以建立代數(shù)基本定理：復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式都有零點(diǎn)。在這一章里，利用數(shù)組，我們將有機(jī)會(huì)見識(shí)可構(gòu)造數(shù)，也就是那些可以在平面上利用圓規(guī)和直尺作圖標(biāo)注出來的數(shù)；也還有機(jī)會(huì)認(rèn)識(shí)四元數(shù)。所謂四元數(shù)，其實(shí)就是四維實(shí)數(shù)集合笛卡爾乘積空間中的點(diǎn)，或者向量。關(guān)鍵是這個(gè)空間上可以配置一個(gè)乘法，以至于所有的非零元構(gòu)成一個(gè)非交換的乘法群。為了解決開方問題，我們兩次步入平面、有理平面和實(shí)平面。在這些平面上，我們定義平面點(diǎn)之間的加法和乘法。這就意味著我們開始遠(yuǎn)離我們?cè)?jīng)全身心關(guān)注的數(shù)，因?yàn)檫@里的加法和乘法已經(jīng)不再單單是數(shù)之間的運(yùn)算。我們開始關(guān)注另一類嶄新的對(duì)象：向量。從數(shù)轉(zhuǎn)向向量，是線性代數(shù)實(shí)現(xiàn)華麗轉(zhuǎn)身的瞬間。而這種轉(zhuǎn)身，是在我們牢靠地建立起數(shù)系之后。只有在我們真正深切地明白關(guān)于數(shù)的解釋之后，我們才可以坦然地面對(duì)以數(shù)組為基本對(duì)象的向量，才可以坦然地面對(duì)幾何中的點(diǎn)以及物理學(xué)中的向量。當(dāng)然，只有在這種轉(zhuǎn)身之后，線性代數(shù)學(xué)才真正開始自己的探索，因?yàn)榫€性代數(shù)學(xué)畢竟不是數(shù)論。

第7章是純粹的抽象的線性代數(shù)理論。這里我們以公理化的方式引進(jìn)向量空間。這個(gè)時(shí)候我們所面臨的向量空間是那樣一種對(duì)象：我們只知道論域所在，只知道空間依賴的抽象的域所在，只知道空間上有一個(gè)遵守特定的等式規(guī)則的加法運(yùn)算，只知道空間與基域之間有一種被稱之為純量乘法的關(guān)聯(lián)函數(shù)以及這個(gè)關(guān)聯(lián)函數(shù)遵守特定的等式規(guī)則，別無其他。我們甚至都不清楚那個(gè)論域中的對(duì)象到底是什么，是一堆鵝卵石，還是一堆桌子或椅子；我們同樣不清楚那個(gè)基域里到底都是什么，是數(shù)，還是函數(shù)，還是什么莫名其妙的東西；相應(yīng)地，我們更加不知道所給的加法和純量乘法到底該怎樣計(jì)算。原因是這些根本不重要，重要的是所給的運(yùn)算遵守著那幾個(gè)等式，這些就是關(guān)于加法和純量乘法的公理。這些等式面對(duì)任何具體的挑釁都永保真實(shí)。換句話說，隨便從論域和基域之中取出一組數(shù)據(jù)，用那些給定的公理等式來檢測(cè)，結(jié)論總成立。這，便是那些公理的真正含義和用途，這也就是邏輯基礎(chǔ)部分所揭示的數(shù)學(xué)中的真和假的內(nèi)涵剩下的就是依據(jù)這些來展開所需要的分析。在完成線性空間或者向量空間的基本分析之后，我們所關(guān)注的是線性空間之間的線性映射-----那些嚴(yán)格遵守線性等式的映射。關(guān)于線性映射的核心內(nèi)容是它們的表示定理，這是一種將不知論域中向量為何物的抽象的線性空間同構(gòu)地轉(zhuǎn)化到由基域的笛卡兒乘積空間所確定的線性空間上去的系統(tǒng)過程，也就是從抽象回歸具體的過程。盡管基域之內(nèi)為何物也不得而知，但它畢竟和實(shí)數(shù)域或者復(fù)數(shù)域或者同余類數(shù)域很相近。所以，經(jīng)過同構(gòu)，事情就變得具體得多，在所有的線性映射之中，我們尤其關(guān)注兩類：一類是線性函數(shù)從向量空間到基域的線性映射；一類是線性算子從向量空間到自身的線性映射。

第8章探討定義在線性空間的有限維乘積空間之上的多重線性函數(shù)。最經(jīng)典的例子就是內(nèi)積函數(shù)、交叉函數(shù)和行列式函數(shù)，我們會(huì)仔細(xì)探索雙線性函數(shù)，包括對(duì)稱的和斜對(duì)稱的雙線性函數(shù)。繼而探討一般的多重線性函數(shù)，也就是張量。在這里，我們會(huì)感受統(tǒng)一理論的美妙，最終，我們能夠看到的是線性代數(shù)的一切，都是關(guān)于加法和乘法這兩種算術(shù)運(yùn)算的一系列美妙的提升和復(fù)合，因?yàn)樵趶埩磕抢锞褪侵挥屑臃ê统朔?，只不過它們被有機(jī)地以代數(shù)運(yùn)算方式復(fù)合在一起

第9章是內(nèi)積空間。這可以被看成三維實(shí)歐幾里得空間理論在有限維向量空間范圍內(nèi)的一般化。在任意一個(gè)有限維的實(shí)向量空間或者復(fù)向量空間上配置一個(gè)內(nèi)積函數(shù)并以此在向量空間上引進(jìn)長(zhǎng)度和夾角，從而完整地再現(xiàn)當(dāng)年笛卡兒引進(jìn)坐標(biāo)系建立解析幾何的基本思想，對(duì)內(nèi)積空間上線性算子的分類是一件完美的事情(也就自然而然地包含著對(duì)于方陣的分類)，因而也就是這一章的第二個(gè)探索的主題

《導(dǎo)引》的最后一章討論幾何向量空間。這是還原笛卡兒解析幾何思想的過程。原本歐幾里得幾何中并沒有任何特殊點(diǎn)存在，有的點(diǎn)都是一樣的，無論是用來作為線段的端點(diǎn)，或者一個(gè)三角形的定點(diǎn)，還是一個(gè)圓的圓心，任何不同的點(diǎn)都可以擔(dān)負(fù)起完全相同的幾何功能?？墒窃谧鴺?biāo)空間中，坐標(biāo)原點(diǎn)就極其不同于其他的點(diǎn)，而在向量空間中原點(diǎn)又是那樣的不可缺少。這自然地顯現(xiàn)出笛卡兒解析幾何與歐幾里得幾何之間有著差別。如何將線性代數(shù)中的向量與幾何向量，或者物理學(xué)中的向量，統(tǒng)一起來?這便是這一章的引導(dǎo)問題。線性代數(shù)學(xué)的解答就是在每一個(gè)幾何點(diǎn)上粘貼同一個(gè)線性空間。這樣一來，笛卡兒的幾何思想就被還原成歐幾里得幾何思想。其實(shí)，不僅僅在這種線性幾何，這種粘貼術(shù)在其他幾何之中也都被發(fā)揚(yáng)光大。這些自然就遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出這本《導(dǎo)引》所關(guān)注的范圍。

毫無疑問，有許多線性代數(shù)的內(nèi)容沒有在這本《導(dǎo)引》中涉及。因?yàn)椤秾?dǎo)引》的目的只是引導(dǎo)，引導(dǎo)讀者進(jìn)入一個(gè)廣闊天地，一旦進(jìn)到那里便是讀者自己的自由王國(guó)，所以，一切都只是圍繞著基礎(chǔ)和線性這兩條中心線來展開。作者用心于基礎(chǔ)無非強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：第一，當(dāng)我們初次真正準(zhǔn)備進(jìn)入數(shù)學(xué)領(lǐng)域的時(shí)候，我們就需要有不僅知其然更得知其所以然的心態(tài)；第二，在過去一百年里，集合論的確已經(jīng)成為當(dāng)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而線性代數(shù)學(xué)恰好可以成為說明這一點(diǎn)的一個(gè)范例。集合論之所以能夠?yàn)閿?shù)學(xué)奠定一個(gè)統(tǒng)一的基礎(chǔ)，數(shù)理邏輯發(fā)揮著根本性的作用。恰好線性代數(shù)學(xué)可以作為用來解釋數(shù)理邏輯最基本的真與假的思想的樣本。于是，就有了擺在讀者面前的這本《導(dǎo)引》。作者用心于線性無非是因?yàn)榫€性最能有效地?fù)?dān)當(dāng)起作為樣本的功能，因?yàn)樽詈?jiǎn)單的例子常常體現(xiàn)出深刻的數(shù)學(xué)思想。只要可能，一定使用最簡(jiǎn)單的。這不正是科學(xué)思想的一條基本原則嗎?這本《導(dǎo)引》花了不少篇幅討論具體的低維向量空間的線性問題。這是因?yàn)樽髡咭詾檫@些讓人看得見摸得著的具體事物本身其實(shí)也飽含抽象的道理。比起浩瀚宇宙萬(wàn)物來，它們或許顯得微不足道，但是見微知著是一種真功夫。再說，離開具體的抽象未必算得真抽象；只有從具體事物(來源于現(xiàn)實(shí))到抽象概念和理論(超越現(xiàn)實(shí))，再到更高層次的具體事物(更為復(fù)雜的新發(fā)現(xiàn))，繼而有進(jìn)一步的抽象，以此不斷推進(jìn)，才是人類數(shù)學(xué)思維的正道，才是數(shù)學(xué)理論既可以超前發(fā)展又可以被用來解釋現(xiàn)實(shí)以及解決當(dāng)前實(shí)際問題的根本原因，才是數(shù)學(xué)代代傳承、生生不息的理由。數(shù)學(xué)，既是抽象的，更是具體的。

中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院