萬物光明

（筆者攝于劍橋三一學(xué)院）

道德觀念、宗教和社會信仰，科學(xué)知識的狀態(tài)，俱有來處。偷懶的辦法，從十七世紀(jì)看起。那時數(shù)學(xué)和物理學(xué)的空前發(fā)展，改變了人對物理世界的本質(zhì)，以及關(guān)于知識的本質(zhì)的看法。

笛卡爾、斯賓諾莎，萊布尼茨和霍布斯，皆賦予他們的觀念以數(shù)學(xué)式的論證結(jié)構(gòu)，將數(shù)學(xué)的方法和語言運(yùn)用于感知和存在，成為那個時代去發(fā)現(xiàn)和完善新知的惟一可靠的方法。一切觀念必定可用數(shù)學(xué)范式的語言陳述出來，從前那些缺乏精確性的文字可能隱含謬誤、迷信和偏見，令人生疑的神學(xué)，類似日心說般關(guān)于宇宙的含混見解，漸遭拋棄。數(shù)學(xué)、簡明有力的符號和推理終將取代它們。

十八世紀(jì)，牛頓的影響是最震撼的，威力持續(xù)至今。牛頓完成了解釋物質(zhì)世界這一沒有先例的任務(wù)。他通過相當(dāng)少的幾條關(guān)于物質(zhì)和力的基本公式，原則上使得確定宇宙中物質(zhì)實(shí)體的每一質(zhì)點(diǎn)及其運(yùn)動狀態(tài)成為可能。

牛頓定律的精確和簡明，是此前人們不曾夢想過的智慧的美。

秩序，力量，從此君臨觀念的王國：

自然和自然規(guī)律消失在黑暗中。

上帝說，要有牛頓！萬物俱成光明！

然而，哲學(xué)、政治學(xué)、倫理學(xué)，以及所有與人類社會生活相關(guān)的傳統(tǒng)學(xué)科仍停留在一片混亂之中，臣服于以往冥頑不化的傳統(tǒng)和語言的混亂。

被數(shù)學(xué)和物理的革命性進(jìn)步解放出來的人類“最強(qiáng)大腦”，無可避免地將數(shù)學(xué)和物理的方法用于那些顯然比外在物質(zhì)世界更重要、更需秩序的社會認(rèn)知和人的自我認(rèn)知的領(lǐng)域之中。

任務(wù)的確無比重要：如果沒有一幅關(guān)于人類靈魂的基本要素及其運(yùn)用的可靠且清晰的圖景，人們就不能確定該如何去界定人類知識的來源及其規(guī)律，也不能確定各種形式的知識間的關(guān)系。不弄清這些問題，當(dāng)然也無法徹底揭穿那些不學(xué)無術(shù)又假充內(nèi)行的主教、巫師、城主和騎士們的古怪主張，也不能將關(guān)于物質(zhì)世界的新發(fā)現(xiàn)與對人類甚為重要的其他問題——政治社會生活、歷史規(guī)律、道德觀念、美學(xué)原則、情感和想象等人類“內(nèi)在'活動，以及其他一切對人類具有頭等重要性的問題——充分地聯(lián)系起來。

一種關(guān)于自然的科學(xué)已被創(chuàng)立，關(guān)于精神的“科學(xué)”也必須創(chuàng)立。

兩者的目標(biāo)同樣應(yīng)該保持一致：在觀察和實(shí)踐的基礎(chǔ)上，形成一般規(guī)律；從規(guī)律出發(fā)，演繹出一些公理。對每一個真實(shí)的問題都有過眾多的錯誤解答，但正確的只有一個，一旦發(fā)現(xiàn)了正確答案，它就“放之四海而皆準(zhǔn)”。

如果規(guī)律是正確的，觀察是可靠的，推理是合理的，那么，正確且無可辯駁的結(jié)論，將提供迄今為止尚無人探究的終極方案，并將一改無知且無參照的認(rèn)知的混亂狀態(tài)，從而獲得一種在邏輯上互相關(guān)聯(lián)的、明晰而一致的體系——神圣的、和諧的“真理”。

既然舉世無雙的牛頓爵士已經(jīng)用這種方法為物理世界提供了優(yōu)雅的完整圖景，如果仿效者遵循同樣的路徑，也將在人類精神領(lǐng)域里收獲不亞于牛頓的豐碩果實(shí)。

將有關(guān)人類知識的各種形式及其范圍的研究成果直接用于政治學(xué)、倫理學(xué)、形而上學(xué)、神學(xué)等社會認(rèn)知領(lǐng)域，一勞永逸地結(jié)束它們的困境，從此成為影響至今的“理直氣壯”。

思想家們升級了“靈魂“的概念。靈魂被認(rèn)為是一個盒子，其中包含了與牛頓的質(zhì)點(diǎn)相似的精神等價物，這些精神的質(zhì)點(diǎn)即是觀念。它們是清晰的、獨(dú)立的、純粹的實(shí)體，一如外在物質(zhì)世界的原子，一如行星落入太陽系一樣降臨于靈魂之中。

這些原子般的“觀念”或獨(dú)立，或復(fù)合，組成了恢弘完美的認(rèn)知體系，就像物質(zhì)世界由基本物質(zhì)及復(fù)合物形成的一樣。物理空間在人類的內(nèi)在“空間”中有了它的完美倒影。哲學(xué)、政治學(xué)、社會學(xué)由此被改造成了一種自然科學(xué)。

無去來處

（筆者攝于蘇格蘭福斯灣）

“什么是善惡？'

“怎么能確定你我的感覺相似？'

“如何真正地理解你所說的一切，而不只是在我看來是這樣？'

如此一些問題，很難由人類知識的兩個偉大工具中的任何一個來回答。兩個工具：一個是以經(jīng)驗(yàn)為根據(jù)的研究。另一個是用于形式科學(xué)的演繹推理——比如數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)或邏輯論證。這些問題的一個基本特性是——無論如何，它們都既不是經(jīng)驗(yàn)的問題，也不是形式的問題。

這些問題的普遍性、模糊性，最主要是其顯著的（或真實(shí)的）在經(jīng)驗(yàn)或形式上的不可解性，賦予它們一種特有的狀態(tài)，哲學(xué)家傾向于稱之為哲學(xué)的狀態(tài)。

托爾斯泰在《戰(zhàn)爭與和平》的結(jié)尾中對人們炮制出來的歷史和社會哲學(xué)中他所認(rèn)為的簡單、平庸和粗鄙表達(dá)了相當(dāng)?shù)膽岩?，他還暗示，所有涉及使用純粹的理論家們所喜愛的那類抽象的概念化的方案注定要失敗，形式主義天生就不適合理解“極微量因素'的連續(xù)體——組成人類生活和經(jīng)歷無可計數(shù)的、微小的和相互聯(lián)系的行為和事件。

軌物化的社會和政治理論有一個基本特征：聲稱得救的道路只有一條，發(fā)展的橋梁只有一座，健康的生活方式只有一個，正確的價值觀只有一種......

正是這種主張，當(dāng)它脫離了隱蔽運(yùn)行狀態(tài)而得到狂熱表達(dá)時，導(dǎo)致了血腥革命、普遍的迫害、文明的衰落以及原教旨主義。

二十世紀(jì)人類文明所遭受的難以想象的無數(shù)創(chuàng)傷，代價之慘重，達(dá)到了后人因不敢直面而質(zhì)疑其真實(shí)的程度。

浪漫的理論者們的萬丈雄心集中于試圖證明歷史進(jìn)程遵循不可避免的規(guī)律或統(tǒng)一性：它們被理解為對未來和過去同樣有效，所以既能預(yù)言未來又能解釋過去。

但是，這種完美圖景所呈現(xiàn)的魅力代表著一種我們應(yīng)該拒絕的誘惑。

這些雄心引出的一些方案，其根本困難來自于超出歷史解釋和方法論界限之外的誤解，以及面對深深地扎根于一切人類生活和經(jīng)驗(yàn)的深層肌理的傲慢。

現(xiàn)在的苦難不能作為通向未來的、想象的至臻狀態(tài)的途徑，而被證明是合理的。

認(rèn)為現(xiàn)在的時代是犬儒主義與絕望的時代，價值崩潰的時代顯然并不真實(shí)，今天這個世界遠(yuǎn)未表現(xiàn)出即將崩潰的秩序那種松懈的肌理，相反卻因嚴(yán)厲的規(guī)則與法令、熱切而非理性的宗教而變得更加僵硬。

它遠(yuǎn)未表示出寬容的特征，它把異端當(dāng)作最大的危險。技術(shù)性技巧的進(jìn)步使得控制成為合理的而現(xiàn)實(shí)的選項。一個計劃的社會對成功的渴望，自然使得計劃者尋求與危險絕緣。

控制反過來產(chǎn)生人為的障礙，計劃者自己的資源受到越來越多的限制。在極端的場合，這種政策導(dǎo)致對不滿者的壓制，以及持久強(qiáng)化的約束，直到它越來越多地消耗了那些最初只想將其用作提高效率的計劃者的時間與才能。

觀念成為一種自身就是目的的丑惡的東西。壓制的實(shí)現(xiàn)導(dǎo)致了一種惡性循環(huán)：壓制是為了生存，而生存是為了去壓制。于是，治療變得比疾病更加可惡。

（戰(zhàn)后柏林）

康德曾說過的：“扭曲的人性之材，造不出筆直的東西”。

現(xiàn)實(shí)所需，并非更多的信仰、更強(qiáng)有力的領(lǐng)導(dǎo)或更科學(xué)的組織；而是恰恰與之相反：少一些彌賽亞式的熱誠，多一些開明的懷疑主義；多一些對差異性的寬容；為其觀念與趣味在多數(shù)人中很難找到共鳴的個人或少數(shù)人群實(shí)現(xiàn)他們的目標(biāo)多留出一些空間；少一些一般原則的機(jī)械的、狂熱的運(yùn)用，不管這些運(yùn)用多么合理或正確；將廣為接受的、經(jīng)過科學(xué)檢驗(yàn)的普遍方案運(yùn)用于未被檢驗(yàn)的個案時，預(yù)留出更多的謹(jǐn)慎、更少的傲慢與自負(fù)。

沒有一種解決方案是保證不會錯的，也就沒有一種部署是完全終極的。

放松的狀態(tài)，對缺少效率的最低限度的寬容，一定程度上允許沉溺于閑談、好奇、無目標(biāo)地追求這些或那些，允許更多的自發(fā)性與個體的多樣性（當(dāng)然，個體必須承受責(zé)任）等等，會比那種整齊劃一的、最結(jié)實(shí)細(xì)密的管制模式更蘊(yùn)含美好之味。

科學(xué)的、宗教的、社會的組織體系保證去解決的那些問題，事實(shí)上并不是人類生活的唯一核心。

不公正、貧困、奴役、無知，這些也許可以通過改革來治愈。但，人并不僅僅依靠與邪惡戰(zhàn)斗而生活。

個體或群體的一些積極的目標(biāo)對生活同樣重要。這些目標(biāo)具有巨大的多樣性，很少能夠預(yù)見，有時甚至是不相容的。正是對這些重大的、不可量度的、既不能保證變化也不能保證靜止的目標(biāo)的強(qiáng)烈關(guān)注，正是通過個體或集體對這些目標(biāo)竭盡全力的追求，人或人群的生活才達(dá)到其最佳狀態(tài)。

數(shù)學(xué)的反證

（筆者攝于劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)橋）

數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，形式證明是形式系統(tǒng)的產(chǎn)物，由一些公理演繹規(guī)則構(gòu)成。理論是形式證明的最后一行結(jié)論。這個推理演繹系統(tǒng)，即數(shù)學(xué)界通稱的形式主義。

對于形式系統(tǒng)的完備性和一致性，杰出的數(shù)學(xué)頭腦曾進(jìn)行過非常有趣的思考和碰撞。

“Wir müssen wissen, wir werden wissen.

We must know. We will know.

我們必須知道，我們終將知道?！?/b>

大衛(wèi)·希爾伯特(Hilbert,David，1862～1943)德國著名數(shù)學(xué)家。希爾伯特被稱為“數(shù)學(xué)界的無冕之王”，天才中的天才。他領(lǐng)導(dǎo)了著名的哥廷根學(xué)派，使哥廷根大學(xué)成為二十世紀(jì)初世界數(shù)學(xué)研究的重要中心。

希爾伯特的數(shù)學(xué)工作可以劃分為幾個不同的時期，每個時期他幾乎都集中精力研究一類問題。按時間順序，他的主要研究內(nèi)容有：不變量理論、代數(shù)數(shù)域理論、幾何基礎(chǔ)、積分方程、物理學(xué)、一般數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，其間穿插的研究課題有：狄利克雷原理和變分法、華林問題、特征值問題、希爾伯特空間等。在這些領(lǐng)域中，他都做出了重大的或開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)。

希爾伯特認(rèn)為，科學(xué)在每個時代都有它自己的問題，而這些問題的解決對于科學(xué)發(fā)展具有深遠(yuǎn)意義。

“只要一門科學(xué)分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力，而問題缺乏則預(yù)示著發(fā)展的衰亡和終止?！彼f。

1900年巴黎國際數(shù)學(xué)家大會上，希爾伯特發(fā)表了題為《數(shù)學(xué)問題》的著名講演。 “在我們中間，常常聽到這樣的呼聲：這里有一個數(shù)學(xué)問題，去找出它的答案！你能通過純思維找到它，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)中沒有不可知?！彼f。1920年，希爾伯特提出了如何論證數(shù)論、集合論或數(shù)學(xué)分析一致性的方案。他建議從若干形式公理出發(fā)將數(shù)學(xué)形式化為符號語言系統(tǒng)，并從不假定實(shí)無窮的有窮觀點(diǎn)出發(fā)，建立相應(yīng)的邏輯系統(tǒng)。然后再研究這個形式語言系統(tǒng)的邏輯性質(zhì)，從而創(chuàng)立了元數(shù)學(xué)和證明論。

希爾伯特的目的是試圖對某一形式語言系統(tǒng)的無矛盾性給出絕對證明，以便克服悖論引起的危機(jī)，一勞永逸地消除對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)以及數(shù)學(xué)推理方法可靠性的懷疑，一攬子解決數(shù)學(xué)當(dāng)時遇到的所有問題。1930年，在接受哥尼斯堡榮譽(yù)市民稱號的講演中，針對一些人信奉的不可知論觀點(diǎn)，他再次滿懷信心地宣稱：“我們必須知道，我們終將知道?！?/font>

希爾伯特計劃若能夠順利完成，意味著對于任意一個數(shù)學(xué)猜想，不管它多復(fù)雜，只要假以時日，通過持續(xù)努力，總是可以知道它對或不對，并且證明或證偽它。

或者說，在數(shù)學(xué)中，通過希爾伯特模型，我們必定會得到我們希望知道的答案。區(qū)別僅僅在于解題的時間。

然而，距希爾伯特最后一次公開演講僅一年之后，1931年，25歲的奧地利數(shù)學(xué)家哥德爾（Kurt FriedrichG?del，1906～1978）在論文《關(guān)于數(shù)學(xué)原理和相關(guān)系統(tǒng)的不確定命題》中便論證了希爾伯特計劃的不可實(shí)現(xiàn)。

哥德爾不完備定理的武器，就是希爾伯特計劃中使用的武器：形式化。

在哥德爾的證明中，他先將所有的數(shù)學(xué)陳述以及它們的證明用符號形式地表達(dá)出來，然后利用哥德爾自己發(fā)明的一種編碼方案，能給所有可能的語句賦予唯一的自然數(shù)編號，這個編號稱為對應(yīng)語句的“哥德爾數(shù)”。那么，借助數(shù)學(xué)歸納公理，我們可以遞歸地建立針對所有自然數(shù)的陳述，而一個這樣的陳述同時又是一個自然數(shù)，所以它描述了自己。

這種自指的情況，有用，也是不少悖論的源泉。例如說謊者悖論：“這句話是錯的”。

說謊者悖論有一個通俗版本，理發(fā)師悖論：

有一名理發(fā)師，他只為不給自己理發(fā)的人理發(fā)。那么他給不給自己理發(fā)？

如果他不給自己理發(fā)，他就屬于“不給自己理發(fā)的人“，他就要給自己理發(fā)；而如果他給自己理發(fā)呢？他又屬于“給自己理發(fā)的人”，他就不該給自己理發(fā)。

邏輯似乎在這里失效了。

還有羅素悖論，它引起了一次數(shù)學(xué)危機(jī)。羅素悖論也是希爾伯特計劃的一個起因。

羅素悖論：假設(shè)一個集合，它包含所有不包含自身的集合，它是否包含自身？

哥德爾構(gòu)造了一個命題，這個命題證明了它自身的不可證明性。如果公式G本身可證，則“公式G不可證”，如果公式G的否定可證，則證明了公式G可證——無論如何，哥德爾的論證都會同時證明公式G和公式G的否定，這是自相矛盾。

哥德爾之前，自信的人們曾經(jīng)認(rèn)為，數(shù)學(xué)是唯一可能存在絕對真理的領(lǐng)域。但是哥德爾不完備定理表明：

數(shù)學(xué)家試圖建立一個全面而完備的數(shù)學(xué)體系的努力沒有成功希望的。

無論數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)有多牢固，總有一些真理永遠(yuǎn)無法證實(shí)。

邱奇.圖靈

（筆者攝于硅谷CHM）

挑戰(zhàn)希爾伯特的還有美國數(shù)學(xué)家邱奇（Alonzo Church）、英國天才數(shù)學(xué)家圖靈（Alan Turing），亦師亦友的兩位天才先后通過各自方式解決了希爾伯特的判定問題，并發(fā)展出“邱奇.圖靈論題”（Church-Turing thesis），該論題認(rèn)為：

任何可計算的問題都可以由圖靈機(jī)計算。

希爾波特判定的不完備，并沒有造成世界的垮塌。

人類計算機(jī)科學(xué)的輝煌大幕由此開啟。

至今，所有人仍受益其中。

“世界上存在三種類型的事物。'

理論計算機(jī)科學(xué)家羅賓·赫希（Robin Hirsch）說:

“第一種在理論上可能做到，但現(xiàn)實(shí)中無法解決；

第二種在實(shí)際上可以做到（因此在理論上必定可能做到）；

第三種在理論上可能做到，但在實(shí)際上卻未必能做到。理論上有解，但現(xiàn)實(shí)中處理起來往往匪夷所思，所需時間可能長到即使地球壽命終結(jié)也未必能夠完成，所以也許可以解決，也許解決不了。'

無論技術(shù)發(fā)展到多么先進(jìn)的地步，這三種類型的事物會一直存在。費(fèi)爾伯特判定就屬于第一個范疇，要想解決它們是不可能的，不管你使用的是什么樣的算法和算力。

第二種類型就是在實(shí)際上可能解決的問題，比如圖片處理，高速運(yùn)算、海量存儲等。

第三種問題挑戰(zhàn)著人類的極限，解決起來需要付出巨大的努力，或天降的好運(yùn)，才有可能找到正確的方向；還可能在相當(dāng)長的時間內(nèi)，壓根兒無法實(shí)現(xiàn)，或由于無法突破的材料或能量極限，計算速度無法突破，或因難于預(yù)測的不可抗的挫折和干擾等等。

文明的驕傲和卑微，系于兩個永遠(yuǎn)不存在標(biāo)準(zhǔn)答案的追問之中：

Who am I ？

Why Not ????