簡解一道向量題

浙江省平陽中學(xué)        洪一平

甘肅省蘭州市       王 冰

湖北省陽新縣高級(jí)中學(xué)        鄒生書

【編者按】浙江省平陽中學(xué)洪一平老師在高中數(shù)學(xué)解題交流二群里給出了一個(gè)解法（下文解法1），甘肅省蘭州市王冰老師私下里給編者分享了他的一個(gè)簡解（下文中的解法5），受兩個(gè)老師的解法啟示，編者對(duì)該題的解法作了一點(diǎn)探究，與讀者朋友交流分享，不妥之處敬請(qǐng)批評(píng)指正。

分析：解決本題的關(guān)鍵是對(duì)向量等式ABsinA+ACsinC=AQ所隱含的信息的挖掘和利用。挖掘信息的多少及質(zhì)量直接影響解題的繁與簡。你能直接從這個(gè)向量等式得到哪些結(jié)論？怎樣挖掘這個(gè)向量等式所隱藏的性質(zhì)或內(nèi)在聯(lián)系？題根在哪里？也就是說問題的本源在哪里？

思路一  對(duì)已知向量等式兩邊點(diǎn)乘某個(gè)向量實(shí)施數(shù)量積運(yùn)算入手求解

解法1：對(duì)已知向量等式兩邊平方+三角函數(shù)和差化積 

洪一平老師  提供

  解法2：對(duì)已知向量等式兩邊平方+余弦定理+面積公式

解法3：對(duì)已知向量等式兩邊點(diǎn)乘向量BC求解

讀者朋友，對(duì)已知向量等式兩邊點(diǎn)乘向量AC或向量AQ試試，看看可以得到什么？能否將解法進(jìn)行到底？

思路二  從題根三點(diǎn)共線的充要條件入手求解

解法4：從平面向量共線定理和平面向量基本定理入手求解

如果熟知三點(diǎn)共線向量等式的兩個(gè)結(jié)論，則上述解法4可以優(yōu)化。

解法5：直接運(yùn)用三點(diǎn)共線向量等式的兩個(gè)重要結(jié)論求解