聽一聽：假設(shè)思想和方程思想

讀一讀：基于五年級上冊學(xué)生解決“雞兔同籠問題”情況分析，淺談“雞兔問題”與“方程思想”。

輕松一刻：數(shù)學(xué)老師的新年賀詞

       節(jié)選自吳正憲老師主編的《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基本概念解讀》假設(shè)思想和方程思想。   

      上圖是五年級上冊第81頁練習(xí)十七第6題，是配合簡易方程例4的練習(xí)。

      看到這個題目，除了應(yīng)用本單元的方程策略來解決，同學(xué)們不禁想問：“能不能用四年級下冊學(xué)習(xí)的雞兔同籠問題策略來解決呢？”讓我們來試一試吧。

①可以用畫圖法嗎？

       一只雞和一只兔同時圈一圈，能夠得出結(jié)果，但與雞兔問題模型的畫圖法仍有區(qū)別。

②可以用列表法嗎？

③可以用假設(shè)法或抬腿法嗎？

       學(xué)生嘗試了很久，由于不知道雞和兔的總只數(shù)所以都認為假設(shè)法或者抬腿法解決不了這個問題。

④應(yīng)用算術(shù)思想和方程思想的策略

1．兩個例題

左圖：四年級下冊“數(shù)學(xué)廣角——雞兔同籠”例題1

右圖：五年級上冊“第五單元簡易方程”例題4

左圖：是在古代趣題的基礎(chǔ)上呈現(xiàn)了一道數(shù)據(jù)比較小的雞兔同籠問題，在引導(dǎo)學(xué)生探索解決問題方法的過程中，呈現(xiàn)了猜測、列表、假設(shè)等方法。

右圖：這個例題的特點是要求兩個未知數(shù)，而且用兩個已知條件來說明未知數(shù)的關(guān)系，比如已知兩個未知數(shù)的和與差，或者已知兩個未知數(shù)的和（差）與兩個未知數(shù)的倍數(shù)關(guān)系。

       這兩個例題的相同點是，都有兩個相關(guān)聯(lián)的未知數(shù)，都是根據(jù)一定的數(shù)量關(guān)系來求這兩個未知數(shù)分別是多少。不同點是簡易方程例題4中的兩個未知數(shù)可以成倍數(shù)關(guān)系，也可以成和差關(guān)系，而雞兔同籠問題中的兩個未知數(shù)成和差關(guān)系，所以五年級上冊的簡易方程例題4并不屬于雞兔同籠模型，而雞兔同籠問題是從屬于方程模型，也可以用方程思想來解決。

2．幾種策略

       比較上述兩個例題的配合練習(xí)，可見假設(shè)法和抬腿法僅僅能夠解決雞兔同籠問題，有局限性。而畫圖法、列表法、方程法能夠解決更多類型的數(shù)學(xué)問題。

３．一個問題

       為什么五年級上冊“簡易方程”單元的練習(xí)中要編排雞兔問題呢？

       這道雞兔問題所處的單元環(huán)境是五年級上冊第五單元“簡易方程”，這個單元的教學(xué)目標之一是初步學(xué)會列方程解決一些簡單的實際問題，培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)具體情況，靈活選擇算法的意識和能力。這道練習(xí)是例4的簡化，是實際問題與方程x+bx=c的應(yīng)用，以雞兔同籠為題材，設(shè)計為雞兔只數(shù)相同，以了解當兩個未知數(shù)相同時，設(shè)句可以怎么寫，也是引發(fā)學(xué)生回顧能否應(yīng)用“方程思想”來解決四年級下冊的“雞兔同籠問題”。

      學(xué)生在四年級下冊已經(jīng)學(xué)習(xí)了“雞兔同籠問題”，掌握了畫圖法、列表法、假設(shè)法、抬腿法等各種解決這類問題的策略。那么學(xué)生到了五年級上冊期末階段，對于這類問題還能不能辨識出來呢？還能不能應(yīng)用上述策略解決呢？學(xué)生會不會應(yīng)用其它策略呢？

1．調(diào)查問卷

２.　學(xué)生能否正確辨識雞兔同籠問題

       能夠正確辨識“雞兔同籠問題”的學(xué)生人數(shù)大約僅占了調(diào)查總?cè)藬?shù)的30%，大多數(shù)學(xué)生在半年間對該類模型有所遺忘，或者是與相近類型產(chǎn)生了混淆。

３.　學(xué)生在解決這兩類問題時分別應(yīng)用的策略

       針對不同類型的問題，大多數(shù)學(xué)生采用了不同的策略來解決相應(yīng)問題?！半u兔同籠問題”中應(yīng)用假設(shè)法的大約占了60%，列方程解決的人數(shù)大約占20%?！昂喴追匠虇栴}”中應(yīng)用列方程解決的超過了55%，也有大約45%的學(xué)生列算式直接計算來解決。

       在不能辨識“雞兔同籠問題”的學(xué)生中，有極個別學(xué)生應(yīng)用了畫圖法和列表法的策略來解決雞兔同籠問題，這些學(xué)生解決另外三個問題時都采用了列方程解決。

       在能夠正確辨識“雞兔同籠問題”的學(xué)生之中，出現(xiàn)了兩類情況：一是雞兔同籠三個問題都用假設(shè)法的，方程例題4的配合練習(xí)都采用算式計算；二是雞兔同籠三個問題都用方程解決的，方程例題4配合練習(xí)也是用方程解決的。

       初一七年級下冊數(shù)學(xué)教材第2章“二元一次方程組”的主題圖正是學(xué)生從小學(xué)就熟知的“雞兔同籠問題”。

      教材中有這樣一段話“本章將學(xué)習(xí)二元一次方程（組）的有關(guān)概念，以及二元一次方程組的解法和應(yīng)用。通過本章的學(xué)習(xí)，我們將找到解決上述問題的方法?！憋@然，學(xué)生在這里要學(xué)習(xí)運用二元一次方程來解決這類問題。原來人教版教材的“雞兔同籠問題”安排在六年級下冊，教材不僅編排了列表法、假設(shè)法，也編排了方程解決的策略，教材調(diào)整后編排在四年級下冊后舍棄了方程策略，這樣的取舍不僅是因為學(xué)生在四年級還沒有學(xué)習(xí)方程，而且是要凸顯列表法和假設(shè)法，以發(fā)展學(xué)生的抽象思維、推理能力和模型思想。

       在各個不同版本小學(xué)教材“雞兔同籠問題”教學(xué)中都采用了“列表枚舉”，在初一下冊數(shù)學(xué)教材“二元一次方程組”教學(xué)中，也編排著很多“列表法”。

       在方程組中x、y的值必須同時滿足各個方程的解，才叫做這個方程組的解，教材是通過“列表嘗試”的方法引導(dǎo)學(xué)生理解二元一次方程的解，在小學(xué)教材編排中也是通過“列表嘗試”的方法引導(dǎo)學(xué)生找到雞與兔的只數(shù)。