【原題呈現(xiàn)】

已知在四邊形 ABCD 中，點(diǎn) E、F 分別是 BC、CD 邊上的一點(diǎn)

（1）如圖 1：當(dāng)四邊形ABCD是正方形時(shí)，且∠EAF=45°，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段 EF、BE、DF 三者之間的數(shù)量關(guān)系: ▲ ；

（2）如圖 2：當(dāng) AB=AD ，∠B=∠D=90°，∠EAF=1/2∠BAD ，問(wèn)：（1）中的數(shù)量關(guān)系是否還存在，并說(shuō)明理由；

（3）在（2）的條件下，將點(diǎn)E平移到BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出EF、BE、DF 的關(guān)系．

【解題背景之定義】

我們習(xí)慣把“過(guò)等腰三角形頂角的頂點(diǎn)引兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半”這樣的模型，稱為半角模型（也稱“角含半角模型”）。

有的時(shí)候也會(huì)利用正方形來(lái)定義：從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)引出夾角為45°的兩條射線，由于兩射線的夾角是正方形內(nèi)角度數(shù)的一半，故名半角模型，又稱“角含半角模型”。

概括來(lái)說(shuō)，所謂“半角模型”，就是某個(gè)特殊角的一半的意思，即：一個(gè)小角等于大角的一半。半角模型主要出現(xiàn)在四邊形與等腰三角形的考題中，是初中幾何的一類典型模型。

半角模型，在三角形全等、相似、四點(diǎn)共圓等幾何問(wèn)題中常有應(yīng)用。常見(jiàn)的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等。

解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)到一邊合并形成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過(guò)全等的性質(zhì)得出線段之間的數(shù)量關(guān)系，從而解決問(wèn)題。

【來(lái)看第一問(wèn)】解題技巧：看到有相等的線段，考慮旋轉(zhuǎn)，那是必須的，會(huì)柳暗花明。

【來(lái)看第二問(wèn)】解題技巧：看到有相等的線段，考慮旋轉(zhuǎn)，好吧，不夠嚴(yán)謹(jǐn)，那么再添一個(gè)旋轉(zhuǎn)的條件，必須對(duì)角互補(bǔ)，才可以旋轉(zhuǎn)，這是旋轉(zhuǎn)的必要條件，如本題強(qiáng)調(diào)了∠B+∠D=180°，這樣才能確保E、B、F’三點(diǎn)共線。

【來(lái)看第三問(wèn)】乍看很扎手，無(wú)從下筆，這時(shí)候怎么辦？好辦，看下上一問(wèn)是怎么解的，那么下一問(wèn)也可以嘗試用上一問(wèn)的解法，不出意外的話會(huì)水到渠成。

到這里，我們發(fā)現(xiàn)，半角模型里，好像沒(méi)有什么是旋轉(zhuǎn)解決不了的問(wèn)題，是的，半角模型也是中考的重要考點(diǎn)，有一句話叫做得半角，得天下。

下面延伸一下，想給學(xué)有余力的同學(xué)提供3個(gè)有意思的小問(wèn)題：

（1）如圖1，已知BE＝3，DF＝2，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．

（2）如圖1，連接BD,交AE于點(diǎn)M，交AF于點(diǎn)N，請(qǐng)寫(xiě)出BM、MN、ND之間的數(shù)量關(guān)系。

（3）如圖1，，若邊長(zhǎng)為3，求△ECF面積的最小值。