最近幾篇將逐一介紹2020年黑龍江省的中考數(shù)學(xué)幾何壓軸題。

本篇內(nèi)容選自牡丹江中考，是倒數(shù)第3題?？傮w感覺難度一般，不算壓軸。

但是題目考查的知識(shí)點(diǎn)和幾何模型還是比較典型的。

因此也是非常有價(jià)值的題目，大家拭目以待吧。

【中考真題】

（2020·牡丹江）在等腰△ABC中，AB＝BC，點(diǎn)D，E在射線BA上，BD＝DE，過點(diǎn)E作EF∥BC，交射線CA于點(diǎn)F．請(qǐng)解答下列問題：

（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上，CD是△ACB的角平分線時(shí)，如圖①，求證：AE+BC＝CF；（提示：延長(zhǎng)CD，F(xiàn)E交于點(diǎn)M．）

（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上，CD是△ACB的角平分線時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上，CD是△ACB的外角平分線時(shí)，如圖③，請(qǐng)直接寫出線段AE，BC，CF之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；

（3）在（1）、（2）的條件下，若DE＝2AE＝6，則CF＝　    　．

【分析】

題（1）證明線段的和差關(guān)系，這里并不需要截長(zhǎng)補(bǔ)短。

而是“角平分線+平行線→等腰三角形”。

圖中MF與CF易得相等，然后進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可。

題（2）是在（1）的基礎(chǔ)上面變化而來的，所以結(jié)論的話類似。但是圖②這里BC的長(zhǎng)度是最大的，所以變成另外兩個(gè)之和等于BC。而圖③中最長(zhǎng)的又變成了AE了。證明方法都差不多。

題（3）知道AE、DE的長(zhǎng)度，那么BC的長(zhǎng)度就知道了。再利用等量關(guān)系求出CF即可。但需要根據(jù)3個(gè)圖進(jìn)行分類討論。

平行+角平分線必得等腰

【答案】解：（1）如圖①，延長(zhǎng)CD，F(xiàn)E交于點(diǎn)M．

∵AB＝BC，EF∥BC，

∴∠A＝∠BCA＝∠EFA，

∴AE＝EF，

∴MF∥BC，

∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD，

又∵∠FCM＝∠BCM，

∴∠M＝∠FCM，

∴CF＝MF，

又∵BD＝DE，

∴△MED≌△CBD（AAS），

∴ME＝BC，

∴CF＝MF＝ME+EF＝BC+AE，

即AE+BC＝CF；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上，CD是△ACB的角平分線時(shí)，BC＝AE+CF，

如圖②，延長(zhǎng)CD，EF交于點(diǎn)M．

由①同理可證△MED≌△CBD（AAS），

∴ME＝BC，

由①證明過程同理可得出MF＝CF，AE＝EF，

∴BC＝ME＝EF+MF＝AE+CF；

當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上，CD是△ACB的外角平分線時(shí)，AE＝CF+BC．

如圖③，延長(zhǎng)CD交EF于點(diǎn)M，

由上述證明過程易得△MED≌△CBD（AAS），BC＝EM，CF＝FM，

又∵AB＝BC，

∴∠ACB＝∠CAB＝∠FAE，

∵EF∥BC，

∴∠F＝∠FCB，

∴EF＝AE，

∴AE＝FE＝FM+ME＝CF+BC；

（3）CF＝18或6，

當(dāng)DE＝2AE＝6時(shí)，圖①中，由（1）得：AE＝3，BC＝AB＝BD+DE+AE＝15，

∴CF＝AE+BC＝3+15＝18；

圖②中，由（2）得：AE＝AD＝3，BC＝AB＝BD+AD＝9，

∴CF＝BC﹣AE＝9﹣3＝6；

圖③中，DE小于AE，故不存在．

故答案為18或6．

【總結(jié)】

等腰三角形，平行線和角平分線，知二得一。

特別是與圓有關(guān)的問題里面，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)類似的圖形。如下圖所示。