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重要幾何模型1--半角模型 倍長中線或類中線（與中點有關的線段）構(gòu)造全等三角形 如圖①： （1）∠2=1/2∠AOB；（2）OA=OB。 如圖②： 連接 FB，將△FOB 繞點 O 旋轉(zhuǎn)至△FOA 的位置，連接 F′E、FE，可得△OEF′≌△OEF。 如圖．在四邊形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF=1/2∠BAD，求證：EF＝BE﹣FD． 【分析】在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．根據(jù)SAA證明△ABG≌△ADF得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，根據(jù)∠EAF =1/2∠BAD，可知∠GAE＝∠EAF，可證明△AEG≌△AEF，EG＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF． 【解析】證明：在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． 在△ABG和△ADF中， 易證△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF=1/2∠BAD． ∴∠GAE＝∠EAF． 在△AEG和△AEF中， 易證△AEG≌△AEF（SAS）． ∴EG＝EF， ∵EG＝BE﹣BG ∴EF＝BE﹣FD． 問題情境：已知，在等邊△ABC中，∠BAC與∠ACB的角平分線交于點O，點M、N分別在直線AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關系． 方法感悟：小芳的思考過程是在CM上取一點，構(gòu)造全等三角形，從而解決問題； 小麗的思考過程是在AB取一點，構(gòu)造全等三角形，從而解決問題； 問題解決：（1）如圖1，M、N分別在邊AC，AB上時，探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關系，并證明； （2）如圖2，M在邊AC上，點N在BA的延長線上時，請你在圖2中補全圖形，標出相應字母，探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關系，并證明． 【分析】（1）在AC上截取CD＝AN，連接OD，證明△CDO≌△ANO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OD＝ON，∠COD＝∠AON，證明△DMO≌△NMO，得到DM＝MN，結(jié)合圖形證明結(jié)論； （2）在AC延長線上截取CD＝AN，連接OD，仿照（1）的方法解答． 【解析】解：（1）CM＝AN+MN， 理由如下：在AC上截取CD＝AN，連接OD， ∵△ABC為等邊三角形，∠BAC與∠ACB的角平分線交于點O， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， ∴OA＝OC， 在△CDO和△ANO中， 易證△CDO≌△ANO（SAS） ∴OD＝ON，∠COD＝∠AON， ∵∠MON＝60°， ∴∠COD+∠AOM＝60°， ∵∠AOC＝120°， ∴∠DOM＝60°， 在△DMO和△NMO中， 易證△DMO≌△NMO， ∴DM＝MN， ∴CM＝CD+DM＝AN+MN； （2）補全圖形如圖2所示： CM＝MN﹣AN， 理由如下：在AC延長線上截取CD＝AN，連接OD， 在△CDO和△ANO中， 易證△CDO≌△ANO（SAS） ∴OD＝ON，∠COD＝∠AON， ∴∠DOM＝∠NOM， 在△DMO和△NMO中， 易證△DMO≌△NMO（SAS） ∴MN＝DM， ∴CM＝DM﹣CD＝MN﹣AN． 如圖，在正方形ABCD中，M、N分別是射線CB和射線DC上的動點，且始終∠MAN＝45°． （1）如圖1，當點M、N分別在線段BC、DC上時，請直接寫出線段BM、MN、DN之間的數(shù)量關系； （2）如圖2，當點M、N分別在CB、DC的延長線上時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，給予證明，若不成立，寫出正確的結(jié)論，并證明； （3）如圖3，當點M、N分別在CB、DC的延長線上時，若CN＝CD＝6，設BD與AM的延長線交于點P，交AN于Q，直接寫出AQ、AP的長． 分析
已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N，AH⊥MN于點H． （1）如圖①，當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關系：AH＝AB； （2）如圖②，當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明； （3）如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點H，且MH＝2，NH＝3，求AH的長．（可利用（2）得到的結(jié)論）
【分析】（1）由三角形全等可以證明AH＝AB， （2）延長CB至E，使BE＝DN，證明△AEM≌△ANM，能得到AH＝AB， （3）分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分別延長BM和DN交于點C，得正方形ABCE，設AH＝x，則MC＝x﹣2，NC＝x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，解得x．
（1）如圖1，將∠EAF繞著正方形ABCD的頂點A順時針旋轉(zhuǎn)，∠EAF的兩邊交BC于E，交CD于F，連接EF．若∠EAF＝45°，BE、DF的長度是方程x2﹣5x+6＝0的兩根，請直接寫出EF的長； （2）如圖2，將∠EAF繞著四邊形ABCD的頂點A順時針旋轉(zhuǎn)，∠EAF的兩邊交CB的延長線于E，交DC的延長線于F，連接EF．若AB＝AD，∠ABC與∠ADC互補，∠EAF∠BAD，請直接寫出EF與DF、BE之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論； （3）在（2）的前提下，若BC＝4，DC＝7，CF＝2，求△CEF的周長． ①EF的長為：5； ②數(shù)量關系：EF＝DF﹣BE．
【分析】（1）先證明△ABE≌△ADM，再證明△AEF≌△AMF，得到EF＝DF+BE即可； （2）先證明△ADM≌△ABE，再證明△EAF≌△MAF，即可； （3）直接計算△CEF的周長＝EF+BE+BC+CF＝DF+BC+CF＝9+4+2＝15．
（3）由上面的結(jié)論知：DF＝EF+BE； ∵BC＝4，DC＝7，CF＝2， ∴DF＝CD+CF＝9 ∴△CEF的周長＝EF+BE+BC+CF＝DF+BC+CF＝9+4+2＝15． 即△CEF的周長為15． ①EF＝DF﹣BE＝FC+CD﹣BE＝5 ②和（2）方法一樣，EF＝DF﹣BE． 故答案為EF＝DF﹣BE．  重要幾何模型2--將軍飲馬模型
重要幾何模型3--弦圖模型 弦圖模型，包含兩種模型：內(nèi)弦圖模型和外弦圖模型. （一）內(nèi)弦圖模型：如圖，在正方形ABCD中，AE⊥BF于點E，BF⊥CG于點F，CG⊥DH于點G，DH⊥AE于點H，則有結(jié)論：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH.
外弦圖模型：如圖，在正方形ABCD中，E，F，G，H分別是正方形ABCD各邊上的點，且四邊形EFGH是正方形，則有結(jié)論：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH.
例題1. 如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，分別以AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG，連接EG，若AB=12，BC=16，求△AEG的面積.
變式練習>>> 1．如圖，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點E在邊AD上，連接CE，以CE為邊作正方形CEFG，點D，F在直線CE的同側(cè)，連接BF，若AE=1，求BF的長.
例題2. 如圖，以Rt△ABC的斜邊BC在△ABC同側(cè)作正方形BCEF，該正方形的中心為點O，連接AO.若AB=4，AO=6倍根號2，求AC的長.
變式練習>>> 2．如圖，點A，B，C，D，E都在同一條直線上，四邊形X，Y，Z都是正方形，若該圖形總面積是m，正方形Y的面積是n，則圖中陰影部分的面積是___________.
例題3. 如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，D為△ABC外一點，滿足∠CBD=90°，BC=BD，若三角形ADC面積為4.5，求AC的長.
變式練習>>> 3．點P是正方形ABCD外一點，PB=10cm，△APB的面積是60cm2，△CPB的面積是30cm2．求正方形ABCD的面積.
例題4. 在邊長為10的正方形ABCD中，內(nèi)接有6個大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形邊上的小正方形的頂點，如圖所示，求這六個小正方形的面積.
例題5. 如圖，在等腰Rt△ACB和等腰Rt△DCE中，∠AXB=∠DCE=90°，連接AD，BE，點I在AD上， （1）若IC⊥BE，求證：I為AD中點； （2）若I為AD中點，求證：IC⊥BE
例題6. 在平面直角坐標系中，直線l的解析式為y=2x+b，其與x軸交于點A,與y軸交于點B，在直線l移動的過程中，直線y=4上是否存在點P，使得△PAB是等腰直角三角形，若存在，請求出滿足條件的所有點P的坐標，如不存在，請說明理由.
1.我國古代數(shù)學家趙爽利用弦圖證明了勾股定理，這是著名的趙爽弦圖（如圖1）．它是由四個全等的直角三角形拼成了內(nèi)、外都是正方形的美麗圖案．在弦圖中（如圖2），已知點O為正方形ABCD的對角線BD的中點，對角線BD分別交AH，CF于點P、Q．在正方形EFGH的EH、FG兩邊上分別取點M，N，且MN經(jīng)過點O，若MH＝3ME，BD＝2MN＝4根號5．則△APD的面積為多少．
2.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接CE，BG，EG．（正方形的各邊都相等，各角均為90°） （1）判斷CE與BG的關系，并說明理由； （2）若BC＝3，AB＝5，則AEG面積等于多少．
重要幾何模型4--費馬點模型 費馬點的定義：數(shù)學上稱，到三角形3個頂點距離之和最小的點為費馬點。 它是這樣確定的： 1. 如果三角形有一個內(nèi)角大于或等于120°，這個內(nèi)角的頂點就是費馬點； 2. 如果3個內(nèi)角均小于120°，則在三角形內(nèi)部對3邊張角均為120°的點，是三角形的費馬點。 費馬點的性質(zhì)：費馬點有如下主要性質(zhì)： 1．費馬點到三角形三個頂點距離之和最小。 2．費馬點連接三頂點所成的三夾角皆為120°。 費馬點最小值快速求解： 費爾馬問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和最小，解決問題的方法是運用旋轉(zhuǎn)變換. 秘訣：以△ABC任意一邊為邊向外作等邊三角形，這條邊所對兩頂點的距離即為最小值
例題1. 已知：△ABC是銳角三角形，G是三角形內(nèi)一點。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°. 求證：GA+GB+GC的值最小.
變式練習>>> 1．如圖，點P是三角形邊長為1的等邊內(nèi)的任意一點，求PA+PB+PC的取值范圍.
變式練習>>> 2．若P為銳角△ABC的費馬點，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4, 求PB的值.
例題3. 如圖，矩形ABCD是一個長為1000米，寬為600米的貨場，A、D是入口，現(xiàn)擬在貨場內(nèi)建一個收費站P，在鐵路線BC段上建一個發(fā)貨站臺H，設鋪設公路AP、DP以及PH之長度和為l，求l的最小值．
變式練習>>> 3．如圖，某貨運場為一個矩形場地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，頂點A，D為兩個出口，現(xiàn)在想在貨運廣場內(nèi)建一個貨物堆放平臺P，在BC邊上（含B，C兩點）開一個貨物入口M，并修建三條專用車道PA，PD，PM．若修建每米專用車道的費用為10000元，當M，P建在何處時，修建專用車道的費用最少？最少費用為多少？（結(jié)果保留整數(shù)）
例題4. 如圖1，已知一次函數(shù)y＝x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y＝﹣x2+bx+c過A、 B兩點，且與x軸交于另一點C． （1）求b、c的值； （2）如圖1，點D為AC的中點，點E在線段BD上，且BE＝2ED，連接CE并延長交拋物線于點M，求點M的坐標； （3）將直線AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)15°后交y軸于點G，連接CG，如圖2，P為△ACG內(nèi)一點，連接PA、PC、PG，分別以AP、AG為邊，在他們的左側(cè)作等邊△APR，等邊△AGQ，連接QR ①求證：PG＝RQ； ②求PA+PC+PG的最小值，并求出當PA+PC+PG取得最小值時點P的坐標．
重要幾何模型5--隱圓模型 1.觸發(fā)隱圓模型的類型 （1）動點定長模型
（2）直角圓周角模型
（3）定弦定角模型
（4）四點共圓模型①
（5）四點共圓模型②
2.圓中旋轉(zhuǎn)最值問題
例題1. 如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上的一動點，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A`MN，連接A`C，則A`C長度的最小值是__________．
【分析】考慮△AMN沿MN所在直線翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’軌跡是以M點為圓心，MA為半徑的圓?。B接CM，與圓的交點即為所求的A’，此時A’C的值最小．構(gòu)造直角△MHC，勾股定理求CM，再減去A’M即可，答案為根號7減去1
變式練習>>> 如圖，在直角三形ABC中， ∠C=90°，AC=6，BC=8，點F在邊AC上，并且CF=2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是__________．
【分析】考慮到將△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P點軌跡是以F點為圓心，FC為半徑的圓?。^F點作FH⊥AB，與圓的交點即為所求P點，此時點P到AB的距離最?。上嗨葡惹?/span>FH，再減去FP，即可得到PH．答案為1.2.
例題2. 如圖，已知圓C的半徑為3，圓外一定點O滿足OC=5，點P為圓C上一動點，經(jīng)過點O的直線l上有兩點A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不經(jīng)過點C，則AB的最小值為________．
變式練習>>> 2．如圖，矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，P、Q分別是直線BC、AB上的兩個動點，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，連接PF、PD，則PF+PD的最小值是_________．
例題3. 如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點，滿足AE=DF，連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H，若正方形邊長為2，則線段DH長度的最小值是________．
變式練習>>> 3．如圖，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值是_________．
重要幾何模型6--胡不歸模型 在前面的最值問題中往往都是求某個線段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我們還可能會遇上形如“PA+kP”這樣的式子的最值，此類式子一般可以分為兩類問題：（1）胡不歸問題；（2）阿氏圓． 【故事介紹】 從前有個少年外出求學，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”（“胡”同“何”） 而如果先沿著驛道AC先走一段，再走砂石地，會不會更早些到家？
【模型建立】 如圖，一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使 的值最小．
【問題分析】
【問題解決】 構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，即CH/AC=K，CH=kAC．
將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。?/span>
【模型總結(jié)】 在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．而這里的PB必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到kPB的等線段．
重要幾何模型7--阿氏圓模型 在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“kPA+PB”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當P點軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題． 【模型來源】 “阿氏圓”又稱為“阿波羅尼斯圓”，如下圖，已知A、B兩點，點P滿足PA：PB=k（k≠1），則滿足條件的所有的點P的軌跡構(gòu)成的圖形為圓．這個軌跡最早由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”.
重要幾何模型8--角含半角模型 角含半角模型，顧名思義即一個角包含著它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型兩種類型。解決類似問題的常見辦法主要有兩種：旋轉(zhuǎn)目標三角形法和翻折目標三角形法。 類型一：等腰直角三角形角含半角模型
類型二：正方形中角含半角模型
重要幾何模型9--共頂點手拉手模型 共頂點模型，亦稱“手拉手模型”，是指兩個頂角相等的等腰或者等邊三角形的頂點重合，兩個三角形的兩條腰分別構(gòu)成的兩個三角形全等或者相似。尋找共頂點旋轉(zhuǎn)模型的步驟如下： （1）尋找公共的頂點 （2）列出兩組相等的邊或者對應成比例的邊 （3）將兩組相等的邊分別分散到兩個三角形中去，證明全等或相似即可。
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