【原】幾何壓軸題，有相似用相似，這可不是隨便說說的
自從初三復(fù)課以后，很多學(xué)校都進行模擬測試，考試結(jié)果有好有壞，有的學(xué)生正沉浸于進步的喜悅中，對中考充滿了信心；而有的學(xué)生正為成績的退步或停滯不前而感到沮喪，甚至讓自己面對中考，產(chǎn)生退縮的負(fù)面情緒。
我們通過對試卷的分析和研究，結(jié)合學(xué)生的實際學(xué)習(xí)情況，發(fā)現(xiàn)那些丟分的問題，主要是考查考生這兩方面：一是考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識和方法技巧掌握程度，另一方面是考查考生的邏輯推理能力。其實，不管你對成績滿不滿意，絕大部分時候你的成績就代表了你平時的努力程度，換句話說，你平時的努力程度，決定了你的中考成績，而不是運氣，工夫要下在平時。就像中考數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)，很多考生面對幾何類有關(guān)的問題就束手無策，問題往往就是相似三角形部分不知道如何去證明。在相似三角形這一章節(jié)知識內(nèi)容當(dāng)中，我們對一些常見的相似三角形的“基本圖形素材”，必須扎實掌握，這樣即使你面對復(fù)雜的圖形，也可以從中發(fā)現(xiàn)熟知的基本圖形，將圖形進行分解，能夠幫助大家迅速地找到解決問題的關(guān)鍵點。下面我們就結(jié)合歷年一些中考真題，幫助大家理解相似三角形在幾何問題中的運用，提高解題能力和復(fù)習(xí)效率。相似三角形有關(guān)的中考試題分析，講解1：如圖，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，點Q在線段BC上從B向C運動，點P在線段BA上從B向A運動．Q、P兩點同時出發(fā)，運動的速度相同，當(dāng)點Q到達(dá)點C時，兩點都停止運動．作PM⊥PQ交CA于點M，過點P分別作BC、CA的垂線，垂足分別為E、F．（2）當(dāng)點P、Q運動時，請猜想線段PM與MA的大小有怎樣的關(guān)系？并證明你的猜想；（3）設(shè)BP=x，△PEM的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x為何值時，y有最大值，并將這個值求出來．相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；解直角三角形。（1）由∠EPF=∠QPM=90°，利用互余關(guān)系證明△PQE∽△PMF；（2）相等．運動速度相等，時間相同，則BP=BQ，∠B=60°，△BPQ為等邊三角形，可推出∠MPA=∠A=30°，等角對等邊；（3）由面積公式得S△PEM=PE×PF/2，解直角三角形分別表示PE，PF，列出函數(shù)式，利用函數(shù)的性質(zhì)求解．本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，二次函數(shù)的性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)題意判斷相似三角形，利用相似比及解直角三角形得出等量關(guān)系。相似三角形有關(guān)的中考試題分析，講解2：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AB<AC，M是BC邊的中點，MN⊥BC交AC于點N，動點P從點B出發(fā)沿射線BA以每秒√3厘米的速度運動。同時，動點Q從點N出發(fā)沿射線NC運動，且始終保持MQ⊥MP。設(shè)運動時間為t秒（t>0）（1）△PBM與△QNM相似嗎？以圖1為例說明理由；② 設(shè)Rt△APQ的面積為S（平方厘米），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系，以圖1為例說明理由。（1）可以證明兩個三角形中的兩個角對應(yīng)相等，則兩個三角形一定相似；（2）①設(shè)BP=√3，根據(jù)△PBM∽△QNM，求得NQ的長，即Q一分鐘移動的距離，即Q的速度；②分別用時間t表示出AP，AQ的長，根據(jù)直角三角形的面積即可求得函數(shù)解析式．本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及相似三角形與函數(shù)的總和應(yīng)用，利用時間t正確表示出題目中線段的長度是解題的關(guān)鍵。相似三角形有關(guān)的中考試題分析，講解3：在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，對角線AC與BD相交于點O，線段OA，OB的中點分別為E，F(xiàn)．（3）若直線EF與線段AD，BC分別相交于點G，H，求（AB+CD）/GH的值．相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；三角形中位線定理；直角梯形；銳角三角函數(shù)的定義；證明題；代數(shù)幾何綜合題．（1）由EF是△OAB的中位線，利用中位線定理，得EF∥AB，EF= AB/2，又CD∥AB，CD= AB/2，可得EF=CD，由平行線的性質(zhì)可證△FOE≌△DOC；
（2）由平行線的性質(zhì)可知∠OEF=∠CAB，利用sin∠OEF=sin∠CAB=BC/AC，由勾股定理得出AC與BC的關(guān)系，再求正弦值；
（3））由（1）可知AE=OE=OC，EF∥CD，則△AEG∽△ACD，利用相似比可得EG= CD/3，同理得FH= CD/3，又AB=2CD，代入（AB+CD）/GH中求值．本題綜合考查了全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，中位線定理，銳角三角函數(shù)定義的運用．關(guān)鍵是由全等、相似得出相關(guān)線段之間的位置關(guān)系，數(shù)量關(guān)系．我們通過對試題的分析，總結(jié)題型和方法，特別是對相似三角形基本圖形的處理，更要做到得心應(yīng)手。我們不僅要發(fā)現(xiàn)、歸納基本圖形，更要關(guān)注它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，以便在解題過程中避免失誤、發(fā)揮更大的功效。
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