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黃金分割及應用 李新英 摘 要:黃金分割比在未發(fā)現之前～在客觀世界中就存在的～只是當人們揭示了這一奧秘之后～才對它有了明確的認識。當人們根據這個法則再來觀察自然界時～就驚奇的發(fā)現原來在自然界的許多優(yōu)美的事物中的能看到它～如植物的葉片、花朵～雪花～五角星??許多動物、昆蟲的身體結構中～特別是人體中更是有著豐富的黃金比的關系。當人們認識了這一自然法則之后～就被廣泛地應用于人類的生活之中。此后～在我們的生活環(huán)境中～就隨處可見了～如建處門窗、櫥柜、書桌,我們常接觸的書本、報紙、雜志,現代的電影銀幕。電視屏幕～以及許多家用器物都是近似這個數比關系構成的。它特別表現藝術中～在美術史上曾經把它作為經典法則來應用～許多藝術家自覺地被黃金分割的魅力所誘惑～從而使數學與藝術創(chuàng)作緊密的結合起來～創(chuàng)造了不少不朽的名著。 關鍵詞:黃金分割,藝術創(chuàng)作,斐波那契數列 1.引言 大千世界的萬事萬物都有其獨特的結構形式，因而關于形體的結構比例也是多種多樣的。人們最常見的一種和諧比例關系，就是畢達哥拉斯學派提出的“黃金分割”，又稱“黃金段”或“黃金律”。黃金分割指事物各部分間一定的數學比例關系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等于整體與較大部分之比，其比值是5^/2-1/2或二分之根號五減一，取其前三位數字的近似值是0.618。0.618被公認為最具審美意義的比例數字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此稱為黃金分割，也稱為中外比。這是一個十分有趣的數字，我們以0.618來近似，通過簡單的計算就可以發(fā)現: 1/0.618=1.618 [1] (1-0.618)/0.618=0.618 這個數值的作用不僅僅體現在諸如繪畫、雕塑、音樂、建筑等藝術領域，而且在管理、工程設計等方面也有著不可忽視的作用。黃金分割〔Golden Section〕是一種數學上的比例關系。黃金分割具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值。 1/17頁 洛陽師范學院本科畢業(yè)論文 其無窮魅力再許多偉大的作品中都有體現。 2. 神奇美妙的黃金分割 2.1黃金分割的起源與數學證明 公元前4世紀，古希臘著名的數學家、天文學家歐多克斯，他曾研究過大量的比例問題，提出“中外比”。雖然最先系統(tǒng)研究黃金分割的是歐多克斯，但是，現在人一般認為，黃金分割是由公元前6世紀的畢達哥拉斯發(fā)現的。用C點分割木棒AB，整段AB與長段CB之比，等于長段CB與短段AC之比。 畢達哥拉斯還發(fā)現，把較短的一段放在較長的一段上面，也產生同樣的比例，這一規(guī)律可以重復下去。 b經計算得出結淪:長段(CB)與短段(AB)之比為1:0.618，其比值為0.618。a 可用下面的等式表達 bb := ( a +) : aa 即長段長度的平方又恰等于整個木棒與短段長度的乘積，即 2bba= (+) a 在《幾何原本》一書中，歐幾里得將黃金分割做了系統(tǒng)的論述，這一神奇的比例關系，后來被古希臘著名哲學家、美學家柏拉圖譽為“黃金分割律”，簡稱“黃金律”、“黃金比”。19世紀威尼斯數學家帕喬里將黃金分割律譽為“神賜的比例”。文藝復興時期，許多藝術大師把黃金分割與人們的審美聯(lián)系在一起。黃金分割更被廣泛的應用于藝術創(chuàng)作之中。 黃金分割是古希臘人的重大發(fā)現，表現為數學命題:已知一線段，試把它分成兩部分，使長的一段為短的一段和原線段的比例中項。 axax例:設原線段常為，分成長為一段長為，那么短的一段長為-。如圖  2，，x,aa,x則 1 2/17頁 洛陽師范學院本科畢業(yè)論文 5,1解此方程得 x,a,0.618a2  于是得黃金分割的精確作圖 以上是分割點在原線段上的情況。如果分割點在已知線段的延長線上， 222 ，，a,x,a,x,ax,a,0 于是得相應的作圖  黃金分割在幾何學上，成為分已知線段為“中外比”。廣義上說 5,15，1,0.618,均是黃金分割數或者黃金分割。 ,1.61822 2.2黃金分割與裴波那數列 F,F,1裴波納奇數與黃金分割有何關系,數列存在這樣的遞推關系:，12 *,,FF,F，F,n,N1,1,2,3,5,8,13,21,。前幾項為??則數列叫做斐波那契數列，簡nn，nn，21 稱F-數列。它是13 世紀意大利數學家Fibonacci 在研究小兔問題時提出的。 裴波納奇數數列的遞推關系式: 2 3/17頁 洛陽師范學院本科畢業(yè)論文 ,,aa1,12 ,，，a,a，aa,3,n和a是自然數n，2nn，1, 看下列比值: 112，，，，，， ,1,1,0.5,2,0.667,3123 835，，，，，，,0.6,4 ,0.625,5 ,0.6184,6 8513 132134，，，，，，,0.619,7 ,0.6176,8 ,0.6182,9 213455 顯然這些數越來越接近0.618.這表明裴波納奇數列中任意相鄰兩項(前項比后項) 都可用來近似地表示0.618.隨著項數的增加，這些比值與0.618的誤差越來越小。數學 嚴格論證如下: nn，，,,,,[2]，,1515,,,,,, 因為裴波納奇數列的通項 ，則,,an,,,,22,,,,,,，， nn，，,,,,11，51,5,,,,,,,,,,,22,,5,,,,an，，,limlimn，1n，1a，，n,,n,,n，1,,,,11，51,5,,,,,,,,,,,22,,5,,,,，， n,,1,5,,,,21,,,n，1n1，5,,,,1，55,15,11,5,,,,,，,,,,22221，5,,,,,,limlimn，1n，1n,,n,,,,,,1,51,5,,,,1,,,,,21，5,,,,1,n，1,,1，5,,,,2,, nn，1,,,,1,51,5,,,,,0,,0？limlim,,,,1，51，5n,,n,, ,,,, a5,1n？,,0.618lima2n,,n，1 3 4/17頁 洛陽師范學院本科畢業(yè)論文 F4,,n另外，F-數列在分析方面有一個非常優(yōu)美的結:. 這使得黃金分割果lim,,n,,Fn，1 與F-數列的聯(lián)系更加緊密。因此，它們在應用上也有很多共同之處，斐波那契數列和黃金分割法相似，他們的區(qū)別在于斐波那契數列每次的縮短率不是常數，而是由斐波那契數列決定的。 3 黃金分割法的應用 1953 年，美國的弗基提出0.618 法獲得大量應用, 特別是工程設計方面.20 世紀70 年代初，我國著名數學家華羅庚在應用優(yōu)選法方面做出了杰出貢獻，使得黃金分割法在我國得以推廣，并取得了很大的成就，以下給出黃金分割法在生產生活及計算數學 ,,4中的應用實例。 3.1 黃金分割法的基本思想及優(yōu)選法 黃金分割法, 也叫0.618 法，是黃金分割在優(yōu)選法上應用的一種方法,是優(yōu)化計算中的經典算法，以算法簡單、效果顯著而著稱，是許多優(yōu)化算法的基礎，它適用于一維區(qū)間的單峰函數，其基本思想是:依照“去壞留好”原則、對稱原則、以及等比收,,a,b 縮原則來逐步縮小搜索范圍。具體地說: *x設f是定義在區(qū)間的下單峰函數，有唯一的極小點間(即最優(yōu)點)。在區(qū)間,,a,b 中取點, ,,，，a,bx,a，0.618b,a，，x,a，0.382b,a21 如果? ，，，，， 則令 ，取區(qū)間 ,, a,xx,bfx，fx1112 如果? ，，，，，則令 ，取區(qū)間,,? b,xa,xfx,fx2212 ，，，，,,,,,,這樣，通過比較的大小,就可以將區(qū)間a,b縮短為區(qū)間x,b或a,x，fx,fx1212 因為新的區(qū)間內包含了一個已經計算過函數值的點，所以從其中找出一個試點，又可將這個新的區(qū)間再縮短一次，不斷地重復這個過程,直至最終的區(qū)間長度縮短到滿足預先給定的精度為止。 目前，由于史文譜、劉迎曦等人的努力，用推廣的黃金分割法已經能夠求解部分多 ,,3維區(qū)域上的函數的最優(yōu)解了(如例2)。 2例2:用黃金分割法和Fibonacci 法求函數，，在區(qū)間[-1，3]上的極小fx,x,x，2 點，要求最終區(qū)間長不大于原始區(qū)間長的0.08。 2，，,,3，1，0.08,0.32解:函數，，在區(qū)間[-1，3]上為下單峰函數，且 fx,x,x，2 |
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