 不久占巖老師就給出了一種解法，并說到此解法是從單墫老師的書里學到的。 我印象中此題是一個經(jīng)典的“網(wǎng)紅題”，很早以前（大概1、2年前）有人問過我，當時比較忙，大概做了一下沒做出來就沒有繼續(xù)往下思考。 昨天（2月23日）我們學校高二學生李希遠又在我們學校的競賽QQ群里問到這個問題，今天我就想仔細思考一下這個問題，看看有沒有什么思路。 本題中，相當于△ABC中PA、PB、PC長度已知，∠ACB也是定值，這樣還是能變化的，所以其面積確實存在最大值。 開始的想法是希望通過旋轉(zhuǎn)或者對稱將面積轉(zhuǎn)化為其他的形式，重新分割圖形計算面積得到最值，或者通過托勒密定理得到結(jié)果，經(jīng)過嘗試發(fā)現(xiàn)都是不容易的。 后來我就想，不行就硬算吧，設(shè)AC=x,BC=y,在△PCA，△PCB中分別利用余弦定理，再加上兩角和為60°，就能得到一個關(guān)于x,y的等式，由此等式，得到一個關(guān)于xy的一個不等式即可求出面積的最大值。  首先由余弦定理可得  由∠ACB=60°可得  下面將余弦值代入上式，消去角度，得到關(guān)于x,y的等式，  至此，似乎卡住了，由此等式要得到xy的最大值殊為不易。 直接將上式展開也比較復(fù)雜，而且其中只能有一個變量，也就是說只能用一個不等式，更準確的說只能有一個取等條件。所以要多次使用均值或者柯西不等式的希望也比較渺茫。 經(jīng)過幾次拼湊的嘗試失敗以后，我想不行就用最笨的辦法吧，設(shè)xy=t,從而消去y，得到關(guān)于x,t的等式，看如何由此等式求出t的最大值。  至此又陷入窘境，如何求出t的范圍呢，即消去變量x,得到關(guān)于t的一個不等式。 雖然看起來表達式很復(fù)雜，但是自然的思路是以x為主元，得到一個二次函數(shù)或者均值不等式的形式，如果以x為主元t為參數(shù)，展開上述表達式，不難發(fā)現(xiàn)表達式中只有x^2和1/x^2項，這樣就能有均值不等式或者一元二次方程判別式得到一個關(guān)于t的不等式，雖然此不等式可能很復(fù)雜，但是理論上由此不等式即可求出t的最大值。實在沒有更好的辦法，就先這樣走一步看一步吧，希望關(guān)于t的不等式能比較好解。  此不等式看起來確實比較復(fù)雜，沒有好的辦法，只能硬著頭皮將右邊的式子展開得到9項，希望能簡化，通過化簡及配方發(fā)現(xiàn)可以將其表示為關(guān)于t+51*64/t的式子，這樣設(shè)u=t+51*64/t，上述不等式就化成兩個二次不等式基本就能解決了。  最后將xy帶入面積S中，即可得到面積的最大值，取等條件也不難得到，  上述最值的取等條件為  這樣按這個思路本題就解決了。 回顧上述解題過程，此思路比較直接，沒有添加任何輔助線，應(yīng)該算是最自然而直接的思路，不過也并不容易。難點一個在于如何將關(guān)于x,y的表達式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x,t的表達式， 還有一個是計算比較復(fù)雜，令人望而卻步，不敢往下做。本題再次展示了計算的重要性，要敢算，也要能算。不要怕麻煩，說不定在計算過程中能夠峰回路轉(zhuǎn)、柳暗花明，關(guān)鍵是不要輕易放棄一個思路。 解決完本題以后，我希望對照一下其他人的解法。 我首先學習了占巖老師的解法，北京的占巖老師酷愛幾何，功力十分深厚，思維靈活，經(jīng)常秒殺各種難題。 他發(fā)布的圖片如下：  占巖老師惜墨如金，過程似乎很短，卻妙筆生花、步步驚心。 他首先做出平行四邊形PBCE,將a,b平移成一個凸四邊形EAPC的兩條對角線，這樣就可以通過托勒密不等式得到一個關(guān)于ab的不等式。 但是凸四邊形EAPC中還有一個邊長EA需要算出來，由a,b夾角為60°及四邊形EAPC中的余弦定理可以得到關(guān)于x和a,b的等式。 這樣就得到了ab及S的最大值。 占巖老師的上述證明難點在于一個是第一步平移很難想到，再一個四邊形中的余弦定理也比較少用，所以能想到本思路的人很少。 當然占巖老師提到了他是從單墫老師的書中學到的本方法，我好像大概有點印象。查了單老最新的平面幾何書《平面幾何的知識與問題》，此書上前兩年單老寫的《初中數(shù)學學習指津（平面幾何的知識與問題）》的擴充版本?！镀矫鎺缀蔚闹R與問題》第四章的第57題確實是本題的一般性結(jié)果，即： P在△ABC內(nèi)部，PA=a,PB=b,PC=c,∠ACB=α，求△ABC面積的最大值。 單老的解決方法確實是占巖所說的方法，單老詳細的討論了存在解的參數(shù)需要滿足的條件，并指出了取等條件及滿足條件的尺規(guī)作圖方法。 我在前面的很多文章中反復(fù)強調(diào)過：單老出品、必為精品。單老著作等身，所寫的書的質(zhì)量也都首屈一指。每本書都值得用心學習，本書當然也不例外，此書是平面幾何由入門到精通的最佳讀物，我把它推薦給很多學生及老師學習。 當然本題還有其他的解法，當天占巖老師發(fā)布了解答以后，趙老師也發(fā)布了一個解答，據(jù)說是一位競賽學生的解答，如下： 此解答也精妙異常，用軸對稱及中心對稱將三角形對稱到外面，再利用勾股定理及三角函數(shù)公式完成計算及證明，思路也非常不容易想到。 下一步的想法當然是用我的方法解決一般的情形，即 PA=a,PB=b,PC=c,∠BAC=θ,求△ABC面積最大值。 就是字母多一些，計算量大一些，基本思路差不多，過程如下 這樣本題的一般情形就完全解決了。至此，本題找到了兩個思路，單老的思路精妙異常，令人嘆為觀止。我的思路比較笨，容易想到，不過計算量大，不容易堅持算下去。 當然，此類問題還能進一步思考，類似的問題也比較多，其本質(zhì)是平面四邊形中邊角之間的一些恒等式。有興趣的讀者可以進一步收集和探究。 參考文獻 [1]《平面幾何的知識與問題》 單墫 2019年9月 中科大出版社 |
|
|
來自： 昵稱71018231 > 《數(shù)學競賽》
