【原】端點(diǎn)效應(yīng)失靈了？
有很多朋友留言問：2020年高考全國(guó)I理科數(shù)學(xué)卷的壓軸導(dǎo)數(shù)題，為什么用不了端點(diǎn)效應(yīng)??？針對(duì)不等式恒成立的題型，江湖人士總結(jié)出所謂的“端點(diǎn)效應(yīng)”解法.舉例說明一下所謂端點(diǎn)效應(yīng)的解法.第2問是恒成立問題，不等式在端點(diǎn)0處取等.第1步，根據(jù)端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)≥0，討論a的取值范圍.第2步，說明該范圍是符合題意的，再說明該范圍的補(bǔ)集區(qū)間是不符合題意的.第2問也是恒成立問題，不等式也在端點(diǎn)處取等.不僅如此，端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)也等于0.第1步，根據(jù)端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)≥0，討論a的取值范圍.第2步，說明該范圍是符合題意的，再說明該范圍的補(bǔ)集區(qū)間是不符合題意的.即我們要說明結(jié)果是充分且必要的——這個(gè)范圍內(nèi)的a的取值是符合題意的，這個(gè)范圍外的a的取值都不符合題意.我從來不認(rèn)為有所謂的“端點(diǎn)效應(yīng)”，雖然這樣起一個(gè)名字，好像問題就被簡(jiǎn)化了.但同時(shí)也容易固化、僵化思維，容易犯錯(cuò).我愿意稱呼它為——端點(diǎn)取等恒成立問題.也就是說，端點(diǎn)取等恒成立問題≠端點(diǎn)效應(yīng)問題.因?yàn)樯厦胬又械牡?步，并不總能實(shí)現(xiàn).也就是說，第1問求出的a的取值范圍，可能既不是充分的，也不是必要的.什么時(shí)候能用所謂的“端點(diǎn)效應(yīng)”？有一小撮題目的確適用于所謂端點(diǎn)效應(yīng)的解法.
我們假設(shè)不等式f(x)≥0在端點(diǎn)k處取等，即f(k)=0.若端點(diǎn)處的n階導(dǎo)數(shù)≠0，端點(diǎn)處的前n-1階導(dǎo)數(shù)都等于0，則根據(jù)端點(diǎn)處的n階導(dǎo)數(shù)≥0，求出a的范圍.且，注意且，且n階導(dǎo)數(shù)是單調(diào)遞增的.大家往上看，我在前面舉的兩個(gè)栗子，是不是都是這個(gè)類型？把你手邊上的所謂端點(diǎn)效應(yīng)的題目對(duì)照對(duì)照，是不是都是這個(gè)類型？回到2020年全國(guó)1卷的這道導(dǎo)數(shù)壓軸題，分離參數(shù)依然是首選.當(dāng)然，指數(shù)與冪函數(shù)混合，用“指數(shù)找朋友”的策略也不錯(cuò).但是，需要一定的討論能力.我的專欄《圓錐曲線要你命》依然超值，學(xué)起來，用起來.
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