例題：在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD互相垂直且相等，若∠BAD=105度，AD=4倍根號(hào)2，DC=13。請(qǐng)求出AB的長度。

審題：此題中有兩對(duì)角線互相垂直且相等，此條件的轉(zhuǎn)化應(yīng)該成為我們解題的關(guān)鍵點(diǎn)之一，我們可以通過平移構(gòu)造出等腰直角三角形；另外105度這個(gè)條件如何使用，是我們解題的關(guān)鍵點(diǎn)之二，我們發(fā)現(xiàn)105度=45度 60度，故需要構(gòu)造出含有這些角度的特殊三角形，也就是含45度的直角三角形和含60度的直角三角形。

前情回顧：在前文中我們抓住兩條對(duì)角線互相垂直且相等這一條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過平移其中一條對(duì)角線，構(gòu)造出等腰直角三角形，然后再作出第二個(gè)等腰直角三角形，從而構(gòu)成手拉手模型，然后或全等或相似，將條件集中到一個(gè)三角形中求解，得到了6種不同解法。

那么，兩條對(duì)角線互相垂直且相等這一條件還可以怎樣進(jìn)行轉(zhuǎn)化呢？可以通過中位線轉(zhuǎn)化到一個(gè)等腰直角三角形中。

思路7：通過中位線構(gòu)造等腰直角三角形，然后再構(gòu)造手拉手模型。

解法7：取AB、DC、AD中點(diǎn)E、F、G，連接EG、FG。顯然⊿EFG是等腰直角三角形，故以GD為一直角邊向形內(nèi)再作一個(gè)等腰直角三角形MGD，從而構(gòu)成手拉手模型！易證⊿GME≌⊿GDF（SAS）。在⊿AME中，可得ME=DF=6.5，AM=4，∠EAM=60度，易得AE=7.5，故AB=15。

思路8：通過中位線構(gòu)造等腰直角三角形，然后再構(gòu)造手拉手模型。

解法8：取AB、DC、AD中點(diǎn)E、F、G，連接EG、FG。顯然⊿EFG是等腰直角三角形，故以AG為一直角邊向形內(nèi)再作一個(gè)等腰直角三角形MGA，從而構(gòu)成手拉手模型！易證⊿GAE≌⊿GMF（SAS）。在⊿DME中，可得DF=6.5，DM=4，∠DMF=60度，易得MF=7.5，故AE=7.5，故AB=15。

由前面的各種解法，我們還可以受到啟發(fā)，得到如下兩種簡(jiǎn)化解法。

思路9：由解法1得到啟發(fā)，以AD為一直角邊向四邊形內(nèi)部作等腰直角三角形，構(gòu)造出全等三角形。

解法9：以AD為一直角邊作等腰直角三角形ADF，其中DA=DF，顯然有⊿DAC≌⊿FDB（SAS） ，所以BF=DC=13。在⊿ABF中，BF=13，AF=8，∠BAF=60度。再過F作FG⊥AB于G，則FAG=4，F(xiàn)G=4倍根號(hào)3。于是由勾股定理得BG=11，故AB=EF=15。

思路10：由解法4得到啟發(fā)，以AD為一直角邊向四邊形內(nèi)部作等腰直角三角形，構(gòu)造出全等三角形。

解法10：以AD為一直角邊作等腰直角三角形ADF，其中AF=AD，顯然有⊿DAB≌⊿AFC。所以FC=AB，∠AFC=∠BAD=105度。在⊿FDC中，DC=13，DF=8，∠DFC=60度。再過D作DG⊥FC于G，則FG=4，DG=4倍根號(hào)3.于是由勾股定理得CG=11。則CF=4 11=15，故AB=FC=15。

兩條對(duì)角線互相垂直且相等這一條件除了前面的兩種轉(zhuǎn)化方法，還可以怎樣進(jìn)行轉(zhuǎn)化呢？可以通過構(gòu)造旋轉(zhuǎn)中心來進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

思路11：由AC與BD相等且垂直，可以設(shè)想有一旋轉(zhuǎn)中心，點(diǎn)B繞其旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A，點(diǎn)D繞其旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C。故以AB為斜邊向四邊形內(nèi)部作等腰直角三角形，再證明其直角頂點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心。

解法11：以AB為斜邊向四邊形內(nèi)部作等腰直角三角形ABE，其中EA=EB。因?yàn)椤螧EA=∠BOA=90度，由八字形可得∠EBD=∠EAC，再由BD=AC，可證⊿EBD≌⊿EAC（SAS）（實(shí)際上就是手拉手的旋轉(zhuǎn)全等） 。所以ED=EC，ED⊥EC，即⊿ECD為等腰直角三角形。在⊿ADE中，AD=4根號(hào)2，DE=6.5根號(hào)2，∠EAD=60度。故過D作DG⊥AE于G，則AG=2根號(hào)2，DG=2倍根號(hào)6。于是由勾股定理得EG=5.5根號(hào)2。則AE=7.5根號(hào)2，故AB=15。

思路12：由AC與BD相等且垂直，可以設(shè)想有一旋轉(zhuǎn)中心，點(diǎn)A繞其旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D，點(diǎn)C繞其旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B。故以BC為斜邊向四邊形內(nèi)部作等腰直角三角形，再證明其直角頂點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心。

解法12：以BC為斜邊向四邊形內(nèi)部作等腰直角三角形BEC，其中EC=EB。因?yàn)椤螧EC=∠BOC=90度，由八字形可得∠EBD=∠ECA，再由BD=AC，可證⊿EBD≌⊿ECA（SAS）（實(shí)際上就是手拉手的旋轉(zhuǎn)全等） 。所以ED=EA，ED⊥EA，即⊿EAD為等腰直角三角形。此時(shí)CD=13這個(gè)條件聯(lián)系不上，怎么辦呢？再以DE為一邊構(gòu)造等腰直角⊿DEF，其中ED=EF。這樣再次構(gòu)造出手拉手模型，必有⊿EBF≌⊿ECD（SAS）（實(shí)際上就是手拉手的旋轉(zhuǎn)全等） 。在⊿ABF中，AF=8，BF=CD=13，∠BAF=60度。故過F作FG⊥AB于G，則AG=4，F(xiàn)G=4倍根號(hào)3。于是由勾股定理得BG=11。故AB=4 11=15。

總結(jié)：

解法1到解法6的共同點(diǎn)都是首先通過平移一條對(duì)角線，構(gòu)造出等腰直角三角形，然后再作出第二個(gè)等腰直角三角形，從而構(gòu)成手拉手模型，然后或全等或相似，將條件集中到一個(gè)三角形中求解；

解法7和解法8則是利用中位線，將兩條對(duì)角線互相垂直且相等這一條件，轉(zhuǎn)化為一個(gè)等腰直角三角形然后再構(gòu)造手拉手的三角形全等，從而將條件集中到一個(gè)三角形中求解；

解法9是在解法1和解法3的基礎(chǔ)上簡(jiǎn)化得到的，解法10是在解法4的基礎(chǔ)上簡(jiǎn)化得到的，它們的共同點(diǎn)是直接構(gòu)造一對(duì)全等三角形，將條件集中到一個(gè)三角形中求解，其思路實(shí)際上還是來自手拉手模型；

解法11和解法12則另辟蹊徑，抓住兩條對(duì)角線互相垂直且相等時(shí)必有旋轉(zhuǎn)中心，從而通過構(gòu)造等腰直角三角形來找到其旋轉(zhuǎn)中心，挖掘出隱含的手拉手模型，再將條件集中到一個(gè)三角形中求解。