一 定義

    假設(shè)矩陣A為n*n方陣，x為n*1向量，則y=Ax表示矩陣A對向量x的線性變換結(jié)果，由于A為n*n方陣，則y為n*1向量。對大多數(shù)x進(jìn)行線性變換，得到向量y與原向量x一般都不共線，只有少數(shù)向量x滿足 ，其中  被稱為矩陣A的特征值，x 被稱為矩陣A的特征向量。

    為了求解特征值  與特征向量 x,  對上式改寫為 ，則特征向量在 零空間中，通過選取一定特征值使得矩陣  為奇異矩陣，即 。根據(jù)矩陣行列式計算公式，得到關(guān)于  的n次方程，然后根據(jù)計算出的特征值，通過尋找矩陣  的零空間計算特征向量。

    在求解特征值時，有兩個定理可以簡化計算：

     1），矩陣A的特征值之和等于矩陣A的跡；

      2），矩陣A的特征值之積等于矩陣A的行列式值；

    在求解  時，可能出現(xiàn)特征值 重復(fù)情況，這可能導(dǎo)致特征向量 x 不足，這樣后面的分析也無法繼續(xù)。特征值重復(fù)并不一定導(dǎo)致特征向量不足，如單位矩陣I，雖然其特征值都為1，但有n個不同的特征向量。

    針對各個元素均為實(shí)數(shù)2*2情況，其特征值可能出現(xiàn)負(fù)數(shù)，如矩陣 特征值為 i 和 -i。通過觀察，如果矩陣A為對稱矩陣，其特征值為實(shí)數(shù)；如果矩陣A為反對稱矩陣，其特征值為一對共軛虛數(shù)。也就是說矩陣越接近對稱矩陣，其特征值越有可能為實(shí)數(shù)。

二 矩陣對角化

    假設(shè)矩陣A為n*n方陣，矩陣A有n個線性獨(dú)立的特征向量 ，構(gòu)成特征向量矩陣，其對應(yīng)的特征值為 ，構(gòu)成特征值矩陣，則矩陣A可被對角化分解，其公式為：，推導(dǎo)如下：

    ，。

    如果已知，則有 ，這表明矩陣 的特征值為矩陣A的對應(yīng)特征值的平方，矩陣 與矩陣A有相同的特征向量。以上推導(dǎo)也可以通過矩陣對角化公式得到：。

    針對A的任意整數(shù)次冪，可對角化為：，這就提供了一個計算  的方法。

    如果矩陣A可逆，則有：，其逆矩陣與原矩陣有相同的特征向量和互為倒數(shù)的特征值。

三 應(yīng)用（冪級數(shù)與微分方程）

    1 Fibonacci序列

     Fibonacci定義為：，該表達(dá)式為二階差分，可通過一些技巧變換為一階差分：，。

     已知，可推導(dǎo)出 。如果矩陣A可對角化，對  可做如下變換：

      ，將 詳細(xì)代入，則有 ，令 ，則 ，表明  由特征向量S按系數(shù)向量c線性組合得到。

      最終可被表示為：。

      通過以上推導(dǎo)，如果僅需要計算某個特定的  值，僅需使用公式  即可。使用  線性組合關(guān)系，可以通過特征值取值范圍判斷k趨近無窮大時其收斂狀態(tài)；當(dāng)所有特征值均滿足， 趨近穩(wěn)定狀態(tài)，可表示為：（假設(shè) ）或者  （假設(shè)所有特征值絕對值都小于1）。

      針對矩陣，計算特征值為 ，，特征向量為 ，。根據(jù)以上分析，當(dāng)k逐漸變大時，有：。

    2 Markov矩陣

     Markov矩陣定義如下：

       1）矩陣所有元素均滿足 ；

       2）矩陣每列元素和等于1；

     Markov矩陣具有如下性質(zhì)：

       1） 為Markov矩陣的一個特征值；

       2）對應(yīng)的特征向量 各個元素都為非負(fù)值；

       3）其他特征值滿足 ；

       4）Markov矩陣的冪級數(shù)穩(wěn)定狀態(tài)為：。

       給出一個具體的Markov矩陣 ，假設(shè)  是該矩陣的一個特征值，則有 ，觀察矩陣 為奇異矩陣， 處于矩陣  的零空間，則證明  為Markov矩陣的一個特征值。

       3 微分方程

        標(biāo)量常微分方程：，u(0)已知，其解為：。

        矢量常微分方程：，矩陣A特征值與特征向量為：；類比標(biāo)量常微分方程，其解表達(dá)為：

        ，代入微分方程中可證明解的正確性：

        ，約去  即證明等式成立。將解整理：

        ，，，，。

        觀察以上微分方程解，當(dāng)所有特征值均滿足 ，u(t)收斂；當(dāng) ，u(t)發(fā)散。

參考資料：Linear Algebra And Its Applicaions    Gilbert Strang