數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)幾大基本數(shù)學(xué)思想之一，常在高考數(shù)學(xué)中用到，在適當(dāng)?shù)念}目上運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想往往能夠事半功倍，甚至對(duì)于解答題的思路有很明確的指導(dǎo)作用。

直接看一道2020屆浙江名校五校聯(lián)考，學(xué)軍中學(xué)命題的一道經(jīng)典的選擇題，題目難度可能不大，但是對(duì)于基本數(shù)學(xué)思想的掌握來說，確實(shí)是一道非常好的題目。

一、題目

對(duì)數(shù)相關(guān)函數(shù)單調(diào)性、含參數(shù)的三次函數(shù)與方程結(jié)合，根據(jù)方程解的情況，求參數(shù)的取值范圍。

二、思路解析

1、函數(shù)單調(diào)性 賦值法確定函數(shù)f(x)的解析式

函數(shù)單調(diào)性：

函數(shù)在定義域上單調(diào)，則自變量與函數(shù)值是嚴(yán)格的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，可知f(x) log(?)x=常數(shù)，設(shè)為t，于是可得：f(x)=常數(shù)t-log(?)x=常數(shù)t log?x。

賦值法：

令x=t，則4=f(t)=t log?t，可得t=3。

于是函數(shù)f(x)的解析式為：f(x)=3 log?x。

2、常規(guī)通法導(dǎo)數(shù)法：

確定函數(shù)f(x)單調(diào)遞增、定區(qū)間上的值域，函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間、極值。

導(dǎo)數(shù)為正，可知f(x)單調(diào)遞增，進(jìn)而可得f(x)在定區(qū)間(0，3]上的值域?yàn)?-∞，4]，且|f(x)-3|在(0，1]上單調(diào)遞減，在[1，3]上單調(diào)遞增，|f(x)-3|的值從＋∞減到0，再從0增到1。

令g(x)=x3-6x2 9x-4 a，導(dǎo)數(shù)g′(x)=3x2-12x 9=3(x-1)(x-3)，知g(x)極大值點(diǎn)1，極小值點(diǎn)3，在(0，1]上單調(diào)遞增，在[1，3]上單調(diào)遞減。

3、數(shù)形結(jié)合思想事半功倍

方程|f(x)-3|=g(x)在區(qū)間(0，3]上有兩解，應(yīng)該沒有誰會(huì)傻傻地直接研究方程，那是費(fèi)力不討好的事。

由數(shù)形結(jié)合思想，|f(x)-3|的圖像、g(x)的圖像在區(qū)間(0，3]上有兩個(gè)交點(diǎn)，畫一個(gè)草稿圖，問題瞬間明朗：

在區(qū)間(0，3]上，

x=1處，|f(x)-3|的最低點(diǎn)必須在g(x)最高點(diǎn)的下方，即a＞0。

x→0處，|f(x)-3|→＋∞必然在g(0)=a-4上方。

于是，|f(x)-3|的圖像、g(x)的圖像在區(qū)間(0，3]上要有兩個(gè)交點(diǎn)，只需x=3處|f(x)-3|與g(x)重合或者在g(x)上方即可，即|f(3)-3|≥g(3)，即a≤5。

于是問題就輕松解決了。

三、數(shù)學(xué)思想方法啟示

對(duì)于較復(fù)雜的函數(shù)與方程結(jié)合的題，很多時(shí)候巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，能起到四兩撥千斤的作用：

比如2019年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第14題，填空壓軸題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想能夠很直觀簡潔地解決問題，然而如果不運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，必然事倍功半，高考場(chǎng)上甚至無法解出問題。

數(shù)形結(jié)合思想對(duì)于一些解答題的思路有很好的指導(dǎo)意義：

比如2019年高考數(shù)學(xué)全國卷一第20題第⑵問，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)與對(duì)數(shù)相關(guān)函數(shù)的圖像交點(diǎn)，可以很直觀地判斷函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在什么位置、或者什么范圍之內(nèi)。

于是根據(jù)零點(diǎn)的分布，分類討論思想應(yīng)運(yùn)而生。

再以導(dǎo)數(shù)法作為主線貫穿，解題過程自然而然水到渠成。

四、小結(jié)

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，不外乎這樣幾方面：

一是基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、解析幾何、立體幾何、集合、復(fù)數(shù)、向量、三角函數(shù)、排列組合、概率與統(tǒng)計(jì)等，所有高考要求的知識(shí)點(diǎn)全部掌握牢固。

二是中學(xué)幾大基本數(shù)學(xué)思想：

化歸轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想。類別簡單，蘊(yùn)含豐富，掌握好基本數(shù)學(xué)思想，很多表面看起來復(fù)雜的問題，在你的火眼金睛之下根本無處遁形。

當(dāng)然，本篇文章筆者就以數(shù)形結(jié)合思想來拋磚引玉。

三是各個(gè)內(nèi)容板塊的方法：

比如數(shù)列一、二階線性、非線性遞推的幾種經(jīng)典類型和處理方法，特別是累加法、累乘法、待定系數(shù)法、取倒數(shù)法、取對(duì)數(shù)法、特征方程法、不動(dòng)點(diǎn)法。

比如數(shù)列的經(jīng)典求和方法，倒序相加法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法等。

比如解析幾何很多題的常規(guī)通法：聯(lián)立方程→韋達(dá)定理→弦長公式→函數(shù)最值、不等式等問題，當(dāng)然不要死板，并不是所有解析幾何大題都是這樣的一條主線。

比如立體幾何“面面——線面——線線”的轉(zhuǎn)化主線(不外乎尋找輔助線，判定定理、性質(zhì)定理結(jié)合運(yùn)用)，二面角轉(zhuǎn)化為平面角、體積法、面積法等。

四是一些特殊技巧：

比如放縮法的一些經(jīng)典形式：如導(dǎo)數(shù)四線放縮的多個(gè)結(jié)論。

比如裂項(xiàng)相消的一些經(jīng)典形式和類比技巧。

比如向量里的極化恒等式、等和線。

比如解析幾何里的點(diǎn)差法、設(shè)而不求，等等。

本篇以一道經(jīng)典的含參數(shù)的函數(shù)與方程結(jié)合的選擇題為例，注意給大家講解一下數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，啟示大家注重和掌握好中學(xué)基本數(shù)學(xué)思想。

順便提醒大家：不要無休止地亂刷題，不是所有題都有必要刷，甚至一些輔導(dǎo)資料里面有“可刷性”的題只占很少的一部分，大家一定要注意根據(jù)自己的具體情況“大肆”取舍。

而像這類經(jīng)典的題，不要只關(guān)心一下正確答案就了事，好題就應(yīng)該充分地發(fā)光發(fā)熱，作為“題母”深度研究，深度研究一題勝過一些同學(xué)盲目濫刷十題百題。

掌握好這幾個(gè)方面，你自然而然可以淡定從容地面對(duì)高考數(shù)學(xué)。