Q:簡(jiǎn)述計(jì)算機(jī)三大變換的聯(lián)系和區(qū)別 (傅里葉變換 拉普拉斯變換 z變換)

（1） 傅里葉變換定義：

表示能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。傅立葉變換是一種分析信號(hào)的方法，它可分析信號(hào)的成分，也可用這些成分合成信號(hào)。許多波形可作為信號(hào)的成分，比如正弦波、方波、鋸齒波等，傅立葉變換用正弦波作為信號(hào)的成分。

f(t)是t的周期函數(shù)，如果t滿足狄里赫萊條件：在一個(gè)以2T為周期內(nèi)f(X)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，附f（x）單調(diào)或可劃分成有限個(gè)單調(diào)區(qū)間，則F（x）以2T為周期的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，和函數(shù)S（x）也是以2T為周期的周期函數(shù)，且在這些間斷點(diǎn)上，函數(shù)是有限值；在一個(gè)周期內(nèi)具有有限個(gè)極值點(diǎn)；絕對(duì)可積。則有下圖①式成立。稱為積分運(yùn)算f(t)的傅立葉變換，

②式的積分運(yùn)算叫做F(ω)的傅立葉逆變換。F(ω)叫做f(t)的像函數(shù)，f(t)叫做F(ω)的像原函數(shù)。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。

①傅立葉變換

②傅立葉逆變換

（2）拉普拉斯變換定義：

拉普拉斯變換是工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換，又名拉氏變換。 拉氏變換是一個(gè)線性變換，可將一個(gè)有參數(shù)實(shí)數(shù)t（t≥ 0）的函數(shù)轉(zhuǎn)換為一個(gè)參數(shù)為復(fù)數(shù)s的函數(shù)。拉普拉斯變換在許多工程技術(shù)和科學(xué)研究領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，特別是在力學(xué)系統(tǒng)、電學(xué)系統(tǒng)、自動(dòng)控制系統(tǒng)、可靠性系統(tǒng)以及隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)等系統(tǒng)科學(xué)中都起著重要作用。

拉普拉斯變換的公式：

拉普拉斯變換是對(duì)于t>=0函數(shù)值不為零的連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)通過關(guān)系式

(式中-st為自然對(duì)數(shù)底e的指數(shù))變換為復(fù)變量s的函數(shù)X(s)。它也是時(shí)間函數(shù)x(t)的“復(fù)頻域”表示方式。

（3）Z變換定義：

Z變換（英文：z-transformation）可將時(shí)域信號(hào)（即：離散時(shí)間序列）變換為在復(fù)頻域的表達(dá)式。它在離散時(shí)間信號(hào)處理中的地位，如同拉普拉斯變換在連續(xù)時(shí)間信號(hào)處理中的地位。離散時(shí)間信號(hào)的Z變換是分析線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)問題的重要工具，在數(shù)字信號(hào)處理、計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。

雙邊Z變換

離散時(shí)間序列x[n]的Z變換定義為：

式中 ，σ為實(shí)變數(shù)，ω為實(shí)變量，所以Z是一個(gè)幅度為 ，相位為ω的復(fù)變量。x[n]和X(Z)構(gòu)成一個(gè)Z變換對(duì)。

單邊Z變換

通常意義下的Z變換指雙邊Z變換，單邊Z變換只對(duì)右邊序列（

部分）進(jìn)行Z變換。單邊Z變換可以看成是雙邊Z變換的一種特例，對(duì)于因果序列雙邊Z變換與單邊Z變換相同。

單邊Z變換定義為 ：

（4）關(guān)系和區(qū)別：

傅立葉變換是最基本得變換，由傅里葉級(jí)數(shù)推導(dǎo)出。傅立葉級(jí)數(shù)只適用于周期信號(hào)，把非周期信號(hào)看成周期T趨于無窮的周期信號(hào)，就推導(dǎo)出傅里葉變換，能很好的處理非周期信號(hào)的頻譜。但是傅立葉變換的弱點(diǎn)是必須原信號(hào)必須絕對(duì)可積，因此適用范圍不廣。

拉普拉斯變換是傅立葉變換的推廣，傅立葉變換不適用于指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)的函數(shù)，而拉氏變換相當(dāng)于是帶有一個(gè)指數(shù)收斂因子的傅立葉變換，把頻域推廣到復(fù)頻域，能分析的信號(hào)更廣。然而缺點(diǎn)是從拉普拉斯變換的式子中，只能看到變量s，沒有頻率f的概念，要看幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)，還得令s=j2πf

Z變換的本質(zhì)是離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT），如果說拉普拉斯變換專門分析模擬信號(hào)，那Z變換就是專門分析數(shù)字信號(hào)，Z變換可以把離散卷積變成多項(xiàng)式乘法，對(duì)離散數(shù)字系統(tǒng)能發(fā)揮很好的作用。Z變換看系統(tǒng)頻率響應(yīng)，就是令Z在復(fù)頻域的單位圓上跑一圈，即Z=e^(j2πf)，即可得到頻率響應(yīng)。由于傅里葉變換的特性“時(shí)域離散，則頻域周期”，因此離散信號(hào)的頻譜必定是周期的，就是以這個(gè)單位圓為周期，Z在單位圓上不停的繞圈，就是周期重復(fù)。單位圓0°位置是實(shí)際頻率0HZ，單位圓180度的實(shí)際頻率就是采樣頻率的一般,fs/2.

總結(jié)一下：拉普拉斯變換是傅里葉變換的擴(kuò)展，傅里葉變換是拉普拉斯變換的特例，z變換是離散的傅里葉變換在復(fù)平面上的擴(kuò)展。