多角度構(gòu)造等量關(guān)系求正方形中的線段長(zhǎng)（八年級(jí)數(shù)學(xué)）

在八年級(jí)下冊(cè)正方形學(xué)習(xí)時(shí)，由于它本身的對(duì)稱性導(dǎo)致可用等量關(guān)系非常多，無(wú)論從哪個(gè)角度出發(fā)，總能找到合適的思路去解決問(wèn)題，在例題教學(xué)中，我也發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)前面知識(shí)點(diǎn)的熟練程度直接導(dǎo)致了突破口選擇的不同，這樣的例題很難得，同時(shí)學(xué)生的多種思維更難得。

題目

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E在邊AB上，BE=4，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，分別交BD、CD于G、F兩點(diǎn)，若M，N分別是DG，CE的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng).

解析：

方法一，構(gòu)造中位線

在閱讀題目條件過(guò)程中，一般出現(xiàn)了兩個(gè)中點(diǎn)，多半可以聯(lián)想到中位線，當(dāng)然，圖中的MN目前還不是任何一個(gè)三角形的中位線，因此需要構(gòu)造圖形。

點(diǎn)M是DG中點(diǎn)，DG是△DFG的一條邊，N是CE中點(diǎn)，而CE所在三角形有兩個(gè)，分別是△EBC和△EFC，選擇哪一個(gè)，取決于綜合分析結(jié)果。

我們?nèi)F中點(diǎn)H，連接MH，再取CF中點(diǎn)K，連接NK，最后再過(guò)點(diǎn)M作NK的垂線，如下圖：

從上圖中，我們成功構(gòu)造出了兩條中位線，順便一個(gè)矩形MLKH，而我們要求的線段MN，在△MNL中。

正方形邊長(zhǎng)為6，BE=4，我們可以由它們求得DF=2，HF是DF的一半，F(xiàn)K是CF的一半，因此HK是CD的一半，HK=3，而MH是FG的一半，F(xiàn)G=DF=2，因此MH=1，同樣的NK是EF的一半，得到NK=3，于是我們可求得NL=3-1=2，在Rt△MNL中，利用勾股定理可求MN=√13；

方法二，構(gòu)造全等三角形

連接EM，CM，MF，如下圖：

先看圖中的△DFG，它是一個(gè)等腰直角三角形，M是斜邊上的中點(diǎn)，所以可得FM=GM，∠MFD=45°，再觀察圖中的△EMG和△CMF，∠EGM=∠BEF+∠ABD=135°，∠CFM=180°-∠MFD=135°，然后看圖中△BEG，它也是一個(gè)等腰直角三角形，于是EG=BE，再加上矩形BCFE，BE=CF，等量轉(zhuǎn)換得到EG=CF，至此全等的條件全部具備，可證明△EMG≌△CMF，所以∠EMG=∠CFM，EM=CM，而∠CMF+∠BMC=90°，因此∠EMG+∠BMC=90°，即∠EMC=90°，這就說(shuō)明△EMC也是一個(gè)等腰直角三角形，且N是斜邊上的中點(diǎn)，因此MN為CE的一半，顯然CE利用勾股定理可求，CE=2√13，所以MN=√13；

方法三，構(gòu)造一線三直角模型

連接EM，CM，取DF中點(diǎn)K，連接KM并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)H，如下圖：

這仍然利用了中位線，證明MK∥EF，再來(lái)看圖中△BHM，很容易證明它是一個(gè)等腰直角三角形，△DMK也是等腰直角三角形，所以我們可得到HM=HB，MK=DK=KF，圖中四邊形EFKH是矩形，因此MK=EH，圖中四邊形BCKH也是矩形，因此MH=CK，至此△EMH≌△MCK，和方法二類似，我們?nèi)匀荒茏C明△EMC是等腰直角三角形，從而求得MN=√13，不再贅述。

解題反思

在正方形幾何題中，常見(jiàn)的等量關(guān)系有矩形、等腰直角三角形、直角三角形、等腰三角形等，它們的出現(xiàn)并不是隨機(jī)的，而是有依據(jù)的，因此讀題的過(guò)程中，找出它們很關(guān)鍵，有些圖形是明擺著畫出來(lái)的，還有一些則是被命題者“拿掉一部分”的，這需要平時(shí)訓(xùn)練中，對(duì)常見(jiàn)模型爛熟于心。

解法之所以會(huì)多樣，原因是多角度看問(wèn)題，在教學(xué)過(guò)程中，這樣的一道題，勝過(guò)三道不同的題目，深入挖掘題目本身的構(gòu)造，有利于培養(yǎng)學(xué)生全面思考問(wèn)題的習(xí)慣，而一題多解本身，也考驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣與態(tài)度，通常情況下老師如果不作要求，那么多數(shù)學(xué)生完成之后便不會(huì)再思考另外的解法，這并不好，需要老師在批改作業(yè)時(shí)，對(duì)使用多種解法的學(xué)生進(jìn)行鼓勵(lì)，從而讓“題盡其用”。