似乎突如其來，似乎合情合理，我們和巴菲特老先生一起親見了一次，又一次，雙一次，叒一次的美股熔斷。身處歷史的洪流，渺小的我們會不禁發(fā)問：那以后呢？還會有叕一次嗎？于是就有了這篇記錄：利用ARIMA模型來預(yù)測美股的走勢。

1. Get Train Dataset and Test Dataset

library(quantmod)
stock <- getSymbols("^DJI", from="2020-01-01", from="2020-03-31", auto.assign=FALSE)
names(stock) <- c("Open", "High", "Low", "Close", "Volume", "Adjusted")
stock <- stock$Close
stock <- na.omit(stock)
train.id <- 1: (0.95*length(stock))
train <- stock[train.id]
test <- stock[-train.id]

2. Stationarity Test

其實對于多次熔斷向下再向下的道指來說，撇開各種觀察和檢驗的方法，我們都知道他一定是非平穩(wěn)時間序列了。下面兩種方法就是打個版：當(dāng)我們遇到不太明顯的時間序列時可以怎么做？

2.1 Observational Method

下圖斷崖式下降的曲線表明訓(xùn)練集為非平穩(wěn)時間序列。

library(ggplot2)
library(scales)
plot<-ggplot(data=train) +
      geom_line(aes(x=as.Date(Index), y=Close), size=1, color="#0072B2")+
      scale_x_date(labels=date_format("%m/%d/%Y"), breaks=date_breaks("2 weeks"))+
      ggtitle("Dow Jones Industrial Average") +
      xlab("")+
      theme_light()
print(plot)

2.2 Ljung‐Box Statistics Test

利用 Ljung–Box test 得到 p-value = 2.2e-16 < 0.05, 由此拒絕時間序列為白噪聲的假設(shè)。

Box.test(train, lag=1, type = "Ljung-Box")

3. Differencing

所以我們將利用其二階差分序列進行ARIMA預(yù)測。

library("tseries")
train.diff1 <- diff(train, lag = 1, differences = 1)
train.diff2 <- diff(train, lag = 1, differences = 2)
adf.test(train)
adf.test(na.exclude(train.diff1))
adf.test(na.exclude(train.diff2))

4. ARIMA Model

4.1 Choosing the order

當(dāng)我們確定用二階差分序列進行預(yù)測后，則需要對模型進行定階。如下圖所示，對于ACF，滯后1-2階在2倍標(biāo)準(zhǔn)差外，所以q=2；對于PACF，同樣也是滯后1-2階都在2倍標(biāo)準(zhǔn)差外，所以p=2，所以將會選擇模型ARIMA(2,2,2)。

acf <- acf(na.omit(train.data.diff2$Close), plot=TRUE)
pacf <- pacf(na.omit(train.data.diff2$Close), plot=TRUE)

為了保證選擇的模型是最優(yōu)的，建議可以多選擇接近的模型，然后根據(jù)AIC準(zhǔn)則或者BIC準(zhǔn)則選取最優(yōu)的模型。比如利用自動定階的方法，得出一個模型ARIMA(1,1,0)

library(forecast)
auto.arima(train.data,trace=TRUE) #Best model is ARIMA(1,1,0)

經(jīng)過比較發(fā)現(xiàn)還是模型ARIMA(2,2,2)較優(yōu)：

data.autofit<-arima(train.data,order=c(1,1,0))
AIC(data.autofit)
BIC(data.autofit)
data.fit<-arima(train.data,order=c(2,2,2))
AIC(data.fit)
BIC(data.fit)

4.2 Model Validation

對擬合殘差進行白噪聲檢驗，得到p-value = 0.8221 > 0.05，而且acf在lag=1后迅速減小，可得殘差為白噪聲。

forecast <-forecast(data.fit, h=4, level=c(99.5))
forecast.data <- data.frame("Date"=index(train), "Input"=forecast$x, "Fitted"=forecast$fitted, "Residuals"=forecast$residuals)
acf(forecast.data$Residuals)
Box.test(forecast.data$Residuals, lag=sqrt(length(forecast.data$Residuals)), type = "Ljung-Box")

我們將訓(xùn)練集數(shù)據(jù)和擬合數(shù)據(jù)同時畫在圖上，可以看到兩者的差別是在可接受范圍的。

4.3 Forecast and Test Data

將預(yù)測結(jié)果與測試集對比，兩者的最大相對誤差為 0.056，可見模型是表達充分的，預(yù)測結(jié)果良好。

5. Forecast

data.forecast<-arima(stock,order=c(2,2,2))
newforecast<-forecast(data.forecast, h=5, level=c(99.5))