解：（1）△ABE≌△CBF，理由如下：

∵△ABC和△BEF都是等邊三角形

∴AB=BC,BE=BF,∠ABC=∠EBF=60°

∴∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC

∴∠ABE=∠CBF

∴△ABE≌△CBF

（2）∵S[△ABE]=S[△CBF]

∵S[四邊形ABFC]=S[△ABC]+S[△CBF]=(7√(3)/4)

∴S[△ABC]+S[△ABE]=(7√(3)/4)

過點(diǎn)C作CH⊥AB

∵AB=2，∠CAH=60°

∴CH=√(3)

∴S[△ABC]=(1/2)×2×√(3)=√(3)

∴S[△ABE]=(7√(3)/4)-√(3)=(3√(3)/4)

過點(diǎn)E作EG⊥AB

∴(1/2)AB*EG=(3√(3)/4)

EG=(3√(3)/4)

∵∠EAG=60°

∴AE=(3/2)

（3）S[2]-S[1]=√(3)，理由如下：

∵△ABC和△BEF都是等邊三角形

∴AB=BC,BE=BF,∠ABC=∠EBF=60°

∴∠ABC+∠EBC=∠EBF+∠EBC

∴∠ABE=∠CBF

∴△ABE≌△CBF

∴S[△ABE]=S[△CBF]

∵S[2]=S[△CBF]-S[△CDB]=S[△ABE]-S[△CDB]=S[△ABC]+S[1]

∴S[2]-S[1]=S[△ABC]=√(3)

∴S[2]-S[1]=√(3)

（4）過點(diǎn)E作EN⊥CD,過點(diǎn)B作BM⊥DF

∵△ABE≌△CBF

∴∠A=∠FCB=60°

∴∠ECD=60°

∵∠ECD=∠FBD,∠CDE=∠BDF

∴△CDE∽△BDF

∴(S[△CDE]/S[△BDF])=((CE^2)/B(F^2))

∵S[1]=(√(3)/6),S[2]-S[1]=√(3)

∴S[2]=(7√(3)/6)

∴((CE^2)/B(F^2))=(1/7)

∴CE:BF=1:√(7)

∵∠FCB=∠ABC=60°

∴AB∥CF

∴BM=√(3)

∴DF=(7/3)

∴DE=(√(7)/3)

設(shè)CE=x，則BE=√(7)x

∴BD=√(7)x-(√(7)/3)

∵AB∥CD

∴(CE/AC)=(DE/BD)

∴(x/2)=((√(7)/3)/√(7)x-(√(7)/3))

解得：x=1

∴AE=3

勾股定理的解法也很不錯(cuò)的

2019河南中考數(shù)學(xué)壓軸題

解：(BD/CP)=1,直線BD與直線CP相交所成的較小角

的度數(shù)是60°,理由如下：

∵α=60°,AC=BC

∴△ABC是等邊三角形

∴AC=AB,∠CAB=60°

∵AP=PD,α=60°

∴△APD是等邊三角形

∴AP=AD,∠PAD=60°

∵∠CAP+∠PAB=∠BAD+∠PAD

∴∠CAP=∠BAD

∴△CAP≌△BAD

∴CP=BD

∴(BD/CP)=1

延長(zhǎng)CP與BD延長(zhǎng)線交與點(diǎn)E

∵△CAP≌△BAD

∴∠ACP=∠ABD

∵∠ACP+∠BCP+∠ABC=120°

∴∠ABD+∠BCP+∠ABC=120°

∴∠CEB=180°-120°=60°

∴直線BD與直線CP相交所成的較小角

的度數(shù)是60°

解：(BD/CP)=√(2),直線BD與直線CP相交所成的較小角

的度數(shù)是45°,理由如下：

∵α=90°,AC=BC

∴△ABC是等腰直角三角形

∴√(2)AC=AB,∠CAB=45°

∵AP=PD,α=90°

∴△APD是等腰直角三角形

∴√(2)AP=AD,∠PAD=45°

∵∠CAB+∠DAC=∠PAD+∠DAC

∴∠DAB=∠PAC

∴△DAB∽△PAC

∴(BD/CP)=√(5)，∠DBA=∠PCA

設(shè)PC與BD相交于點(diǎn)F

∵∠CFB+∠PCA=∠CAB+∠DBA

∴∠CFB=∠CAB=45°

∴直線BD與直線CP相交所成的較小角

的度數(shù)是45°

解：（1）當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外時(shí)，C,D,P三點(diǎn)共線

∵△PAC∽△DAB

∴∠CPA=∠BDA=90°

∵∠PDA=45°

∴∠DAC+∠DCA=45°

∵E,F是CA,CB的中點(diǎn)

∴∠CEF=45°,CE=AE

∵∠CPA=90°

∴PE=CE=AE

∴∠EPC+∠ECP=45°,∠ECP=∠EPC

∴∠DAC=∠DCA

∴AD=DC

設(shè)AP=a，則PD=a，AD=CD=√(2)a

∴(AD/CP)=(√(2)a/a+√(2)a)=2-√(2)

解：（2）當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)時(shí)，C,P,D三點(diǎn)共線

∵△PAC∽△DAB

∴∠CPA=∠BDA=90°

∵∠PDA=45°

∴∠DAC+∠DCA=135°

∵E,F是CA,CB的中點(diǎn)

∴∠CEF=45°,CE=AE

∵∠CPA=90°

∴PE=CE=AE

∴∠EPC+∠ECP=135°,∠ECP=∠EPC

∴∠DAC=∠DCA

∴AD=DC

設(shè)AD=√(2)a，則PD=a，CD=√(2)a

∴(AD/CP)=(√(2)a/√(2)a-a)=2+√(2)

解：（1）∵∠BAC=∠BED=90°

∴∠ABE+∠ADE=180°

∴∠FDE+∠ADE=180°

∴A,D,F三點(diǎn)共線

∵AD=2AB,AB=2

∴AD=4,DF=2

∴AF=6

∵AE=FE,∠AEF=90°

∴AF=√(2)AE

∴AE=3√(2)

（2）將△AEB繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△FED

∵AE=EF,∠AEF=90°

∴AF=√(2)AE

∵AD=2AB=2m

∴AF=m

∴AE=(√(2)/2)m

（3）第一種情況：點(diǎn)F在正方形外部

設(shè)AF[1]=2x，則AE[1]=x，AB=6x

∴BE[1]=√(35)x

∴ME[1]=√(35)x+x

∴OE[1]=(√(70)+√(2)/2)x

∵AB=6x

∴OE[1]=(√(70)+√(2)/12)AB

第二種情況：點(diǎn)F在正方形內(nèi)部

設(shè)AF[2]=2x，則AE[2]=x，AB=6x

∴BE[2]=√(35)x

∴ME[2]=√(35)x-x

∴OE[2]=(√(70)-√(2)/2)x

∵AB=6x

∴OE[2]=(√(70)-√(2)/12)AB

∴OE=(√(70)±√(2)/12)AB

解：（1）①當(dāng)α=0°時(shí)

∵BC=12,AB=6,∠B=90°

∴AC=6√(5)

∵D是BC的中點(diǎn)

∴BD=6

∵E是AC的中點(diǎn)

∴AE=3√(5)

∴(AE/BD)=(√(5)/2)

②當(dāng)α=180°時(shí)

∵DE=3，CD=6,∠D=90°

∴CE=3√(5)

∴AE=9√(5)

∵BC=12,CD=6

∴BD=18

∴(AE/BD)=(√(5)/2)

（2）(AE/BD)的大小無變化，理由如下：

∵∠ACB=∠ECD

∴∠ACB+∠DCA=∠ECD+∠DCA

∴∠BCD=∠ACE

∵BC=12,AC=6√(5)

∴(AC/BC)=(√(5)/2)

∵CD=6,CE=3√(5)

∴(CE/CD)=(√(5)/2)

∵(AC/BC)=(CE/CD)=(√(5)/2),∠ACE=∠BCD

∴△ACE∽△BCD

∴(AE/BD)=(√(5)/2)

（3）①當(dāng)A,D,E三點(diǎn)共線時(shí)

BD=AC=6√(5)

②當(dāng)A,E,D三點(diǎn)共線時(shí)

∵AC=6√(5),DC=6

∴AD=12

∵DE=3

∴AE=9

∵△AEC∽△BDC

∴(AE/BD)=(√(5)/2)

∴BD=(18√(5)/5)