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上一講當(dāng)中我們復(fù)習(xí)了行列式的內(nèi)容，行列式只是開胃小菜，線性代數(shù)的大頭還是矩陣。 矩陣的定義很簡單，就是若干個(gè)數(shù)按照順序排列在一起的數(shù)表。比如m * n個(gè)數(shù)，排成一個(gè)m * n的數(shù)表，就稱為一個(gè)m * n的矩陣。 矩陣運(yùn)算的相關(guān)性質(zhì)不多，主要的有這么幾點(diǎn)：
很多人會(huì)覺得矩陣乘法比較復(fù)雜，不僅是計(jì)算復(fù)雜，而且經(jīng)常會(huì)記不清運(yùn)算的方法。會(huì)覺得復(fù)雜，可能只是因?yàn)槲覀儗⑺?dāng)做了數(shù)學(xué)公式來生硬的記憶，而沒有理解其中的原理。 我們不妨假設(shè)A和B分別是一個(gè)m*n和n*k的矩陣： 那么， 其中， Arowi指的是A矩陣中第i行的行向量，同樣Bcolj指的是B矩陣中第j列的列向量。 我們單從公式上來看不太容易理解，但我們可以轉(zhuǎn)變一下思路。將B不要當(dāng)做一個(gè)完整的矩陣，而當(dāng)做是k個(gè)列向量的集合，代表一種線性變換。將一個(gè)n維的向量線性變換到k維空間的變換。 那么A和B矩陣相乘的結(jié)果，其實(shí)也就意味著A矩陣當(dāng)中m個(gè)n維向量分別進(jìn)行線性變換之后組合成的新矩陣。向量的數(shù)量沒有變，還是m個(gè)，只不過維度從n變成了k，所以最終的結(jié)果是一個(gè)m*k的矩陣。 這點(diǎn)搞明白了之后，就到了接下來的重頭戲——逆矩陣。 我們先來看一下逆矩陣的定義，假設(shè)A是一個(gè)n階的方陣，如果存在一個(gè)矩陣B，使得A?B的結(jié)果是單位矩陣I，那么就稱B是A的逆矩陣。 計(jì)算逆矩陣需要用到之前介紹過的代數(shù)余子式，如果不清楚的同學(xué)可以回顧一下之前關(guān)于行列式的相關(guān)內(nèi)容。 我們列舉出所有的代數(shù)余子式，將這些余子式組合成一個(gè)矩陣，這樣的矩陣稱為伴隨矩陣。定義如下： 通過上面的定義，我們可以看出來，伴隨矩陣也是一個(gè)n階的方陣。關(guān)于伴隨矩陣，有一個(gè)定理： 其中I是n階的單位矩陣，也即是正對(duì)角線全為1，其他位置均為0的方陣。 我們來試著證明一下這個(gè)定理：
當(dāng)i=j時(shí)， 在上一篇文章當(dāng)中，我們介紹過，矩陣中的某一行與它對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積為行列式的值：
我們令
我們以B12為例：
根據(jù)我們之前關(guān)于代數(shù)余子式的定義，這個(gè)式子其實(shí)是以下這個(gè)矩陣行列式根據(jù)第一行展開的結(jié)果：
同樣展開其他的Bij，我們可以證明：
所以B=|A|I，使用同樣的方法，也可以證明A?A=|A|I 我們費(fèi)這么大力氣證明伴隨矩陣有什么用呢？其實(shí)是為了求逆矩陣做準(zhǔn)備。有了伴隨矩陣的這個(gè)性質(zhì)，我們求逆矩陣就方便了。 在求解之前，我們先來看一下逆矩陣的定義。 假設(shè)存在方陣B，使得AB=BA=I，那么就稱作B是A的逆矩陣。 在我們介紹逆矩陣的計(jì)算方法之前，需要先明確，逆矩陣不等于矩陣轉(zhuǎn)置。矩陣轉(zhuǎn)置的操作是將一個(gè)矩陣行和列互換，在線性代數(shù)當(dāng)中，矩陣A的轉(zhuǎn)置記作AT，而A的逆矩陣記作A?1，看起來比較相似，很容易搞混。 我們之前證明了AA?=|A|I，當(dāng)矩陣A的行列式|A|不等于0時(shí)，那么顯然有：
根據(jù)我們之前逆矩陣的定義：
如果|A|=0怎么辦？ 行列式等于0的矩陣稱為奇異矩陣，奇異矩陣沒有逆矩陣。所以一個(gè)矩陣有逆矩陣的前提就是非奇異矩陣。 以上就是逆矩陣的推導(dǎo)過程和計(jì)算方法，當(dāng)然在實(shí)際的應(yīng)用當(dāng)中，我們并不需要如此麻煩。因?yàn)镻ython的numpy庫當(dāng)中已經(jīng)為我們封裝好了現(xiàn)成的計(jì)算工具，我們只需要直接調(diào)用即可，使用方法和之前的計(jì)算行列式基本一樣：
通過調(diào)用np.linalg.inv方法來得到逆矩陣：
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