之前，我們已經(jīng)了解了從微分到積分的轉(zhuǎn)換過(guò)程。其實(shí)，我們也可以反向推演從積分到微分的轉(zhuǎn)換過(guò)程。

對(duì)任一可導(dǎo)的函數(shù)y=f(x)，在區(qū)間x∈[a，b]上，有f(b) -f(a)，這是曲線(xiàn)y=f(x)在Y軸上的一段投影的長(zhǎng)度。

把區(qū)間x∈[a，b]分割成無(wú)限個(gè)無(wú)限小，每個(gè)無(wú)限小記為△x，則有b-a=∞*△x。

那么：

f(b) -f(a)=[f(b) -f(b-△x)]+[f(b-△x) -f(b-2*△x)]+......+[f(a+2△x) -f(a+△x)]+[f(a+△x) -f(a)]

因?yàn)?strong>△x/△x=1，又得到：

f(b) -f(a)=[f(b) -f(b-△x)]/△x*△x+[f(b-△x) -f(b-2△x)]/△x*△x+......+[f(a+2△x) -f(a+△x)]/△x*△x+[f(a+△x) -f(a)]/△x*△x

=f'(b)△x+f'(b-△x)△x+......+f'(a+2△x)△x+f'(a+△x)△x

因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)可導(dǎo)，我們把f'(b)~f'(a)，記作f'(x)，于是得：f(b) -f(a)=∫f'(x)dx，x∈[a，b]。

拿出式中一項(xiàng)，單獨(dú)表達(dá)：[f(x+△x) -f(x)]/△x=f'(x)。因?yàn)?strong>[f(x+△x) -f(x)]/△x要進(jìn)行極限運(yùn)算，表達(dá)式記作：

從上述的推演來(lái)看，導(dǎo)函數(shù)f'(x)是可以由原函數(shù)f(x)計(jì)算得出的，而原函數(shù)f(x)是由導(dǎo)函數(shù)f'(x)逆向推導(dǎo)得來(lái)的。為了能在微積分計(jì)算時(shí)，收放自如地推導(dǎo)原函數(shù)f(x)，我們需要先做好準(zhǔn)備工作：求導(dǎo)數(shù)f'(x)。

下面，我們一起來(lái)了解幾個(gè)常見(jiàn)函數(shù)的求導(dǎo)過(guò)程。

1、常數(shù)函數(shù)y=C求導(dǎo):

也可以記作：（C）'=0。

2、比例函數(shù)y=ax+b求導(dǎo)，a、b為實(shí)數(shù):

也可以記作：(ax)'=a。它也可以視為冪函數(shù)y=x^μ當(dāng)μ=1時(shí)的一個(gè)特例。

3、指數(shù)函數(shù)y=a^x求導(dǎo)：

初中學(xué)數(shù)學(xué)的時(shí)候，我們先學(xué)的冪次方運(yùn)算后學(xué)的指數(shù)運(yùn)算，但求導(dǎo)數(shù)不一樣，指數(shù)函數(shù)能用正常的方法求，但冪函數(shù)需要借助指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)結(jié)果來(lái)求導(dǎo)。所以，我們先來(lái)了解指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)。

也可以記作：（a^x）'=a^x*lna。

當(dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)取自然常數(shù)e，也就是a=e時(shí)，因?yàn)?strong>lne=1，所以（e^x）'=e^x。

4、冪函數(shù)的y=x^μ求導(dǎo)：

我們可以先求一個(gè)μ為正整數(shù)時(shí)的特例。取x=a，當(dāng)x無(wú)限趨近于a時(shí)，就可以求出y=x^μ在x=a處的導(dǎo)數(shù)。

把a替換成x，就有（x^μ）'=μx^(μ-1)，把μ從正整數(shù)域推廣到實(shí)數(shù)域，這個(gè)結(jié)論也是成立的。但這是類(lèi)比推論，（x^μ）'=μx^(μ-1)還需要去證明。這就需要借助指數(shù)函數(shù)y=e^x和對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx的求導(dǎo)結(jié)果以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。我們先把證明貼出來(lái)，有需要補(bǔ)對(duì)數(shù)函數(shù)和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)課的同學(xué)，可以回頭再來(lái)看。

首先我們做一個(gè)很有意思的轉(zhuǎn)換：x=e^lnx。有的同學(xué)可能忘了對(duì)數(shù)的運(yùn)算，那我們先證明一下這個(gè)等式。令e^lnx=y，則lnx=lny，x=y，所以x=e^lnx。那么有：

了解了這幾個(gè)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，反過(guò)來(lái)求積分，一般的求面積或路程的問(wèn)題，就不在話(huà)下了。