這個(gè)關(guān)于素?cái)?shù)的鮮為人知但很棒的屬性可能會(huì)改變您對(duì)加密的看法

Image by F. Zielen (original of Euler by J. E. Handmann)

質(zhì)數(shù)構(gòu)成現(xiàn)代加密的基礎(chǔ)。 原因很簡(jiǎn)單：到目前為止，我們還不了解它們的數(shù)學(xué)性質(zhì)。 但是，通過(guò)解開(kāi)素?cái)?shù)，世界將發(fā)生巨大變化。 在本文中，我介紹了一些關(guān)于素?cái)?shù)的鮮為人知但令人敬畏的特性，它可能會(huì)改變您對(duì)密碼學(xué)的看法。 不用擔(dān)心，這在高管層上將是簡(jiǎn)短易懂的內(nèi)容。

回顧和動(dòng)機(jī)

讓我們來(lái)回顧一下：質(zhì)數(shù)是整數(shù)，只能被1除或數(shù)字本身無(wú)除。 例如，5是質(zhì)數(shù)（除數(shù)1和5），但6不是質(zhì)數(shù)（除數(shù)1，2，3和6）。

有無(wú)限質(zhì)數(shù)，但到目前為止，尚無(wú)有效的算法來(lái)確定它們。 特別是，沒(méi)有公式來(lái)計(jì)算第n個(gè)素?cái)?shù)，也沒(méi)有遞歸的方法，即如果我們知道前面的（較小的）素?cái)?shù)，我們就可以計(jì)算素?cái)?shù)，也沒(méi)有明確的方式，即我們可以不知道前面的素?cái)?shù)而直接計(jì)算素?cái)?shù)。

例如，這使得著名的RSA密碼系統(tǒng)如此安全。 加密所需的公鑰基于兩個(gè)（很大）質(zhì)數(shù)的乘積。 如果要導(dǎo)出解密所需的私鑰，則'只是'需要確定該產(chǎn)品的主要因素。 但是，這目前需要花費(fèi)大量計(jì)算時(shí)間，因此RSA在實(shí)踐中無(wú)法解鎖。

但是，如果我們發(fā)現(xiàn)立即計(jì)算素?cái)?shù)的公式，將會(huì)發(fā)生什么？ 這也可能產(chǎn)生非?？焖俚乃?cái)?shù)分解方法，這對(duì)于當(dāng)今大多數(shù)密碼系統(tǒng)而言將意味著死刑。 但是，甚至有可能找到素?cái)?shù)的公式嗎？

驚人的歐拉公式

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）是世界上最杰出的數(shù)學(xué)家之一。 在18世紀(jì)，他得出了一種如今被稱為歐拉積的公式。 在這里，我們重點(diǎn)介紹他開(kāi)拓性發(fā)現(xiàn)的特殊情況。 即使下一行乍一看象形文字，也請(qǐng)不要停止閱讀。

Euler product

我們進(jìn)行翻譯：等式左側(cè)的符號(hào)代表乘積。 此外，它是所有質(zhì)數(shù)的無(wú)限乘積，即我們需要用所有質(zhì)數(shù)替換變量p并乘以項(xiàng)。 讓我們寫(xiě)下來(lái)清楚。

First factors of the Euler product

這意味著：如果我們計(jì)算以上乘積所有質(zhì)數(shù)的乘積，我們將得到明確定義的結(jié)果pi2/ 6。 太棒了，感覺(jué)像是個(gè)謎。 請(qǐng)讓我告訴你為什么。

破壞性后果

我們知道有無(wú)限的質(zhì)數(shù)，但是我們沒(méi)有質(zhì)數(shù)的封閉式有效表示形式（'公式'）。 有了計(jì)算能力，我們可以確定最大的已知質(zhì)數(shù)。 盡管如此，歐拉證明了如果我們根據(jù)歐拉乘積將所有素?cái)?shù)相乘，我們將獲得pi2/ 6值-盡管我們不知道所有素?cái)?shù)！

恕我直言，這表明到目前為止我們還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)很多有關(guān)質(zhì)數(shù)的知識(shí)。 如果我們可以在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)上計(jì)算出歐拉積，那么我們也應(yīng)該能夠?qū)С鏊財(cái)?shù)的公式。 例如，對(duì)于特殊質(zhì)數(shù)，閉合表示是已知的。

這表明我們必須加大數(shù)字理論研究的力度，以發(fā)現(xiàn)素?cái)?shù)的真實(shí)性質(zhì)。 可能會(huì)迷惑于此任務(wù)的人將受到慶?；蚱群?。

奧托羅

我問(wèn)自己這樣一個(gè)書(shū)呆子的話題是否會(huì)吸引讀者。 我是數(shù)論愛(ài)好者，但是，這不是我的日常工作，因此感謝您的評(píng)論。 如果您想進(jìn)一步了解這些東西或數(shù)學(xué)，請(qǐng)告訴我，也許我會(huì)寫(xiě)一篇后續(xù)文章。

(本文翻譯自Frank Zielen的文章《Why Euler's Formula for Primes could disrupt the World》，參考：https:///why-eulers-formula-for-primes-could-disrupt-the-world-edc41bd3ba5b)