說明：

• 概率論通常是已知概率分布，去研究分布的的各種性質(zhì)（比如分布的期望（即通常所說的均值）怎么算、方差怎么算，均值符從什么分布等）
• 數(shù)理統(tǒng)計(jì)則恰好相反，它要解決的問題知道從某個(gè)總體分布中抽取出的數(shù)據(jù)，要去推斷分布及其相關(guān)參數(shù)
• 無論但無論概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)其實(shí)都非常關(guān)注概率的定義及在現(xiàn)實(shí)中含義

1.先看四個(gè)問題

• 扔一枚均勻硬幣出現(xiàn)正面的概率是50%，這個(gè)概率是怎么計(jì)算出來的？
• 天氣預(yù)報(bào)說明天下雨的概率是50%，這個(gè)是怎么算出來的？
• 某人說他感覺明顯下雨的可能性是70%，這個(gè)是怎么估計(jì)出來的？
• 在國(guó)內(nèi)新冠病毒的死亡率是4%左右，因此推斷出新冠患者的平均死亡概率是4%，這個(gè)怎么理解？

暫時(shí)不對(duì)這個(gè)四個(gè)問題給答案，看完后續(xù)的內(nèi)容大家應(yīng)該能找到答案。

2.概率的實(shí)際含義

• 頻率估計(jì)概率：扔均勻硬幣、擲骰子這種實(shí)驗(yàn)是可以重復(fù)的，而且可以比較方便的將每次實(shí)驗(yàn)控制的條件基本相同，這樣我們很方便的計(jì)算出投了10000次硬幣，出現(xiàn)正面的次數(shù)大概在4999次，由此計(jì)算出扔均勻硬幣的頻率約為50%，我們認(rèn)為這就是扔均勻硬幣的概率，這里面實(shí)際上是隱含著一種參數(shù)估計(jì)的思想。以下是歷史上若干有名的概率統(tǒng)計(jì)牛人扔硬幣的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

• 古典概型：以上實(shí)驗(yàn)有一個(gè)有一個(gè)特征：實(shí)驗(yàn)可以在同等條件下重復(fù)、實(shí)驗(yàn)基本結(jié)果是有限的、任意基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)等可能的，這種概率模型也稱之為古典概型
• 幾何概型：實(shí)際還有一種在同等條件下重復(fù)、基本實(shí)驗(yàn)結(jié)果無限、任意基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)等可能的。比如，一根長(zhǎng)3米的繩子拉直后在任意位置剪斷（只減一次），減下的兩段不小于1米的概率有多大。大家很容易算出概率是1/3。如下圖所示

幾何概型最初的運(yùn)用上并沒有碰到什么問題。1899年，法國(guó)學(xué)者貝特朗針對(duì)“幾何概型”了一個(gè)悖論：“在一個(gè)圓內(nèi)任意選一條弦，這條弦的弦長(zhǎng)長(zhǎng)于這個(gè)圓的內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率是多少？”。這里針對(duì)等可能性會(huì)有三種不同的解釋，因此會(huì)得出三種不同的概率，分別未1/3。這個(gè)悖論的提出為后續(xù)柯爾莫哥洛夫建立概率論公理化體系起了一定的推動(dòng)作用

以上對(duì)概率的理解更多是對(duì)頻率學(xué)派對(duì)概率的理解

• 主觀概率或者叫個(gè)人概率：指的是一個(gè)事件的個(gè)人概率是0到1之間的數(shù)字，代表的是個(gè)人對(duì)于該事件發(fā)生幾率的判斷。這種概率的有點(diǎn)很明顯：就是不限于“重復(fù)發(fā)生的事情”。但缺點(diǎn)也很明顯，就是不客觀。但主觀概率在貝葉斯學(xué)派和日常生活中應(yīng)用廣泛。

3.概率的數(shù)學(xué)定義

此處給出的概率論公理化體系是俄國(guó)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫在1933年提出的理論。在柯氏之前其實(shí)有若干大牛數(shù)學(xué)家做過類似的工作，但只有柯氏的定義流傳了下來。主要是柯氏的定義簡(jiǎn)潔明了，非常適用。在柯氏概率論公理化體系的基礎(chǔ)上可以推導(dǎo)出整個(gè)概率論的體系。

4.在現(xiàn)實(shí)中概率意味著什么？

根據(jù)柯氏的定義我們要應(yīng)用概率必須先確定當(dāng)前問題的抽象事件空間。天氣預(yù)報(bào)員宣布明天下雨的概率是50%時(shí)，他使用的抽象事件集合是什么呢？如果是每一個(gè)明天出門的人組成的集合。那么50%的人可能會(huì)淋雨（不考慮帶傘）。如果是每一時(shí)刻的集合，那么人們?cè)?0%的時(shí)間里面會(huì)淋雨。如果是某個(gè)地區(qū)每一平方米土地的集合。那50%的土地會(huì)淋雨。當(dāng)然，它不可能是這些集合，那么，這個(gè)集合到底是什么呢？ 盡管對(duì)這個(gè)問題有若干研究，但并沒有形成定論。