摘要：

西南聯(lián)大是一所名師云集的高等學(xué)府, 為我國培育出了許多英才, 被海內(nèi)外人士喻為“藏龍臥虎”之地.西南聯(lián)大數(shù)學(xué)系的“數(shù)學(xué)三杰”——華羅庚、許寶祿、陳省身3位教授, 以及后起之秀鐘開萊先生均在海內(nèi)外享有盛譽.華羅庚先生講課的主要特點是, 他總是盡力把題材化繁為簡, 化難為易;強調(diào)搞學(xué)問必須有“看家工夫”;強調(diào)“讀書要從薄到厚, 再從厚到薄”.陳省身先生強調(diào)“數(shù)學(xué)為的是簡單性”.許寶祿和鐘開萊先生在教學(xué)中特別強調(diào)要“直觀地理解數(shù)學(xué)”, 主張要把數(shù)學(xué)定理及其證明的“原始思想”告知學(xué)生.所獲得的教益:認(rèn)識到追求簡單規(guī)律的重要性, 并以此作為研究數(shù)學(xué)的目標(biāo)和興趣出發(fā)點;學(xué)會使用直觀、聯(lián)想去理解數(shù)學(xué)并籍此去發(fā)現(xiàn)問題, 提出可以研究的題材;學(xué)會了重視“特例分析”、數(shù)學(xué)概括和抽象方法;向華羅庚、許寶祿先生學(xué)到了“不怕計算”和“樂于計算”的習(xí)慣并樂于從計算中發(fā)現(xiàn)規(guī)律和提煉一般性公式.

關(guān)鍵詞：西南聯(lián)大; 治學(xué)經(jīng)驗; 治學(xué)方法; 見解; 啟示.

(一)

西南聯(lián)大是由北大、清華、南開3所大學(xué), 在抗日戰(zhàn)爭年代遷移到昆明時, 聯(lián)合而成的大學(xué).那是一所名師云集的高等學(xué)府, 曾在艱難的8年歲月里 (1938—1946) , 培育出了許多英才, 他們在各個學(xué)術(shù)領(lǐng)域里分別做出了重要貢獻(xiàn), 其中居于世界級的人物也為數(shù)不少.因此西南聯(lián)大曾被海內(nèi)外人士喻為“藏龍臥虎”之地.

我有幸于1941—1945年間進(jìn)入西南聯(lián)大數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí).當(dāng)年即聞知校中有“數(shù)學(xué)三杰”——華羅庚、許寶祿、陳省身3位教授.他們分別從英國、法國留學(xué)歸國后, 鍥而不舍地從事數(shù)學(xué)工作, 雖然都很年輕, 但成就已很出名, 而且也都在昆明熬過了清苦艱難的歲月.

數(shù)學(xué)三杰的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)是屬于世界級的, 所以后來德國著名的斯普林格 (Springer) 出版社曾相繼出版了陳氏 (1911—) 、華氏 (1910—1985) 、許氏 (1910—1970) 的數(shù)學(xué)文集.當(dāng)年教師中還有一位后起之秀, 鐘開萊講師 (1917—) , 后來成為國際著名的概率論專家, 對馬爾柯夫鏈、隨機過程論做出了杰出貢獻(xiàn).現(xiàn)在是美國斯坦福大學(xué)的終身名譽教授.

在大學(xué)時代, 我曾學(xué)習(xí)了華先生、許先生和鐘開萊先生開設(shè)的4門課程.后來又和這3位老師有多年的接觸聯(lián)系.所以這篇回憶錄似的文章, 主要是介紹華、許、鐘3位有關(guān)治學(xué)的“經(jīng)驗之談”和某些學(xué)術(shù)觀點及科研與教學(xué)風(fēng)格.還要談到他們對我的影響.

中國數(shù)學(xué)會與北京師大合辦的《數(shù)學(xué)通報》專設(shè)“寄語數(shù)學(xué)青年”一欄, 曾邀我寫過一篇“談?wù)勎业囊恍?shù)學(xué)治學(xué)經(jīng)驗”的文章, 載該刊2000年5月號.在這篇文章中, 我曾寫道:“積半個世紀(jì)的數(shù)學(xué)教學(xué)與科研工作經(jīng)歷, 我的個人經(jīng)驗可概括為5句話:一是培養(yǎng)興趣, 二是追求簡易, 三是重視直觀, 四是學(xué)會抽象, 五是不怕計算.”后來2001年我在中山大學(xué)、浙江大學(xué)給研究生們講演時, 還補充了一句話:“六是喜愛文學(xué).”

事實上我的上述一些經(jīng)驗, 正好是反映和證實了西南聯(lián)大名師們對我的啟示和教益所起的作用.

(二)

華羅庚先生豐碩的學(xué)術(shù)成就和貢獻(xiàn), 已在不少人的著作和紀(jì)念性文章中介紹過.尤其是王元著《華羅庚》一書, 對華先生在諸多數(shù)學(xué)分支中的卓越成果, 已有極為詳盡的論述.

這里我只想就宏觀的角度來談一些華先生的主要治學(xué)經(jīng)驗和他的各種有關(guān)觀點以及教學(xué)與科研風(fēng)格.

我學(xué)過華先生講授的“數(shù)論課程”和“近世代數(shù)課程”.他的講課姿態(tài)很靈活, 雖然腿腳不靈 (因為他是跛子) , 卻喜歡在黑板前邊走來走去.他在黑板上寫字不多, 而很注重講問題的來龍去脈和論證思路, 有時也穿插講點小故事.他愛講的一句話是“卑人之無甚高論” (意思是, 他所論證的數(shù)學(xué)真理其實質(zhì)是平庸無奇的) , 所以聽他講課我感到是一種愉快的享受.

華先生并不看重考試, 他教我們2門課程時一次考試也沒有.當(dāng)然, 學(xué)生們對他這樣的老師是由衷歡迎的.但他要求我們做一批他所指定的習(xí)題, 最后根據(jù)做題的表現(xiàn)狀況打分?jǐn)?shù)定成績.這樣, 無疑是體現(xiàn)了對大學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性與自覺性的尊重和鼓勵.我想, 正因為華先生本人是自學(xué)成才的, 所以他看重人們的主動自覺性也就是自然的了.

華先生講課的主要特點是, 他總是盡力把題材化繁為簡, 化難為易.有時還對一些數(shù)學(xué)定理及其證明的妙處, 贊嘆幾句.我擔(dān)任他的助教 (助手) 期間, 他曾對我說過:“高水平的教師總能把復(fù)雜的東西講簡單, 把難的東西講容易.反之, 如果把簡單的東西講復(fù)雜了, 把容易的東西講難了, 那就是低水平的表現(xiàn).”這些話曾成為我從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作的座右銘, 因而居然能使我過去數(shù)十年間也一直享有“善于講課”的美名.

華先生具有爽朗直率、堅持求真的性格.記得有一次他講近世代數(shù)課時, 他對大家說, 他在這次步行來校的路上, 才真正想通了“舒爾引理” (Schur's Lemma) 的妙處.一位著名的數(shù)學(xué)教授, 竟能在學(xué)生們面前無保留地表白對一個著名定理的理解過程, 真使大家更加敬重他的坦誠性格和求實精神.

(三)

凡是自學(xué)成才者, 常常有獨到的經(jīng)驗和體會.華羅庚先生就是這方面的一個典型范例.

他的治學(xué)經(jīng)驗之一, 就是他所強調(diào)的搞學(xué)問必須有“看家工夫”.據(jù)他所說, 他有扎實的看家工夫主要是因為學(xué)習(xí)了3部有名的經(jīng)典著作:一是克里斯托爾 (Chrystal) 的《大代數(shù)》;二是蘭道 (Landau) 的《數(shù)論教程》;三是特恩波爾·愛德肯 (Turnbull Aitken) 的《標(biāo)準(zhǔn)矩陣論》.從這些經(jīng)典著作中他學(xué)到了計算技巧、分析功底和創(chuàng)建“矩陣幾何”的基本工具.

20世紀(jì)50年代前曾任清華大學(xué)數(shù)學(xué)系主任的段學(xué)復(fù)教授對我說過, 據(jù)他所知華先生在青年時代精讀蘭道的數(shù)論巨著共作了6大本筆記, 可見其功夫之深.《標(biāo)準(zhǔn)矩陣論》這本老書, 曾由華先生傳給了早年助教閔嗣鶴先生, 后來又由閔先生傳給了我.至今保存在我家已有50余年了.從這本昏色發(fā)黃的老書中, 還可以看到當(dāng)年身為名教授的華羅庚曾作過書中習(xí)題的痕跡.

“直接攻讀名家原著才能最有效地學(xué)到看家本事”, 這也是19世紀(jì)初葉歐洲杰出數(shù)學(xué)家阿貝爾 (Abel) 曾表述過的經(jīng)驗和見解.顯然華先生成功的經(jīng)歷與阿貝爾的成才經(jīng)驗及見解是完全一致的.事實上, 正因為名家的原著往往包含有一系列創(chuàng)作原始思想, 并表述原始創(chuàng)作過程, 所以名著最能啟發(fā)和誘導(dǎo)青年學(xué)子走向成才創(chuàng)新之路.

華先生的治學(xué)經(jīng)驗之二, 就是他所常說的“讀書要從薄到厚, 再從厚到薄”.所謂從薄到厚, 是指讀數(shù)學(xué)書一定要做題, 要在筆記中補充書中的不足之處, 要補足定理論證的缺陷等等.這樣就好像是“把薄書讀成厚書了”.他還強調(diào)要把書中的內(nèi)容要點和論證關(guān)鍵提煉出來, 使之成為直觀上一目了然的東西.這樣就會覺得書的題材內(nèi)容之精髓部分只是很少一點兒, 而需要存入頭腦記憶庫的也就是這一點兒, 于是也就把厚書讀成薄書了.

“做科學(xué)研究就怕出錯”, 但是華先生卻認(rèn)為從事探索性創(chuàng)作研究過程, 出差錯并不可怕.他說:“只有廟宇里的菩薩一事不做才永不出差錯.”這和法國已故分析學(xué)大師阿達(dá)瑪 (Hadamard) 的觀點見解是不謀而合的, 真是英雄所見略同.阿達(dá)瑪在其所著《數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的發(fā)明心理學(xué)》一書中寫到:“在數(shù)學(xué)中我們不怕出錯誤.實際上錯誤是經(jīng)常發(fā)生的.”“就他自己而言, 所發(fā)生的錯誤往往比他的學(xué)生出現(xiàn)的錯誤還多.但由于他總是不斷地加以改正, 故在最后的結(jié)果中, 就不會再留有這些錯誤的痕跡.”

事實上, 數(shù)學(xué)創(chuàng)造性研究往往要經(jīng)歷“猜測—不斷試證—不斷糾錯—確證真理”等步驟, 所以杰出的數(shù)學(xué)家們都有雷同的經(jīng)驗和見解也就不足為奇了.

(四)

在我擔(dān)任華羅庚先生助手期間, 還未能體會到他們的科研工作的方法特點, 后來我自己也成為教授了, 科研工作也有些經(jīng)驗了, 通過回憶反思, 才理解到當(dāng)年華先生的工作方法實際是和大數(shù)學(xué)家歐拉 (Euler) 、高斯 (Gauss) 、龐卡萊 (Poincaré) 十分相似的.他們都一致重視計算、觀察、歸納和分析.事實上, 華先生曾不止一次地向我談到過高斯和龐卡萊如何看重歸納法在發(fā)現(xiàn)真理中的作用.他曾說過:“只有對具體特例分析清楚了, 才能真正理解普遍定理的來源和實質(zhì).數(shù)學(xué)上許多抽象形式的普遍命題往往是通過諸特例的共性分析再由概括論證建立起來的.”

歸納法發(fā)現(xiàn)真理, 演繹法 (論證) 確立真理.可以說華先生當(dāng)年的許多科研成果也必定是通過這種方法途徑取得的.

華先生還很強調(diào)“聯(lián)想”在數(shù)學(xué)創(chuàng)造性研究過程中的作用.這里講一個真實故事.1946年春云南省發(fā)生“昆明事變”之后不久, 我去昆明郊外華家探望時, 華先生見到我就對我說, 昆明城區(qū)響了幾天槍炮聲, 他只好閉院不出門, 天天在院子里躺在帆布床上仰視天空, 觀賞一片片白云變幻, 忽使他聯(lián)想到一個美妙的數(shù)學(xué)新思想, 真是一大收獲云云.當(dāng)時他正研究矩陣幾何中的矩陣變換問題, 但他并未談?wù)摷?xì)節(jié).我知道那個時期是他科研的高產(chǎn)時期, 每年都有不少佳作寄往美國發(fā)表.他的好友徐賢修先生曾從美國來信告訴他, 已見華在美國一年里發(fā)表多篇論文的總頁數(shù)多達(dá)一百數(shù)十頁.

上述故事容易使人聯(lián)想到宋代文豪歐陽修.歐陽修曾說過, 他的佳作都是“三上文章”, 那就是在“馬上”、“廁上”和“枕上”產(chǎn)生靈感后創(chuàng)作出來的文章.如此說來, 華先生的某些佳作也可稱之為“枕上文章”了.

(五)

我在西南聯(lián)大的最后2年, 陳省身先生已去了美國, 所以無緣聽到他的講課.后來抗日戰(zhàn)爭勝利了我到清華大學(xué)任助教, 有機會旁聽了陳先生開設(shè)的“拓?fù)鋵W(xué)”課程.課后他常和我們幾個青年教師們閑談, 有一次他引用了歐洲某位大數(shù)學(xué)家的名言, 說“Mathematics is for simplicity” (“數(shù)學(xué)為的是簡單性”) .當(dāng)時我對“簡單性”一詞還不甚理解, 很想真正弄明白它的真實涵義.很幸運, 那時我已教過2遍“初等微積分”, 使我已經(jīng)開始領(lǐng)悟到“微積分基本定理——牛頓、萊布尼茲公式”之原理的簡單性、表述的簡明性和應(yīng)用上的可換操作性, 我想這些不正是顯示了數(shù)學(xué)模式的“簡易性 (或簡單性) ”特征嗎?

后來我又讀了“微積分發(fā)明史”, 就更進(jìn)一步懂得了“簡易性”正是數(shù)學(xué)發(fā)展過程中所追求的主要目標(biāo).另一方面, 數(shù)學(xué)作為科學(xué)語言和解析工具還使得其它各門科學(xué)變得簡單化.這樣就從內(nèi)外2方面想通了上述名言的涵義.

事實上, 數(shù)學(xué)簡單性意味著“規(guī)律性、協(xié)調(diào)性和形式上的統(tǒng)一性”.這些都是符合人的“美感”要求的.美學(xué)專家們甚至指出“簡單性乃是美的標(biāo)志”.阿達(dá)瑪發(fā)展了龐卡萊的“數(shù)學(xué)發(fā)明心理學(xué)”, 已闡明了美的意識與人腦創(chuàng)造性思維活動的深刻聯(lián)系.由此看來, 追求簡單性的意愿還有利于激發(fā)創(chuàng)造發(fā)明的心智能力.

如果說, 以往50年間我能對數(shù)學(xué)科研與教學(xué)工作做了一些貢獻(xiàn)的話, 那么就必須歸功于“數(shù)學(xué)為的是簡單性”這句名言對我的深刻啟示力量.

(六)

西南聯(lián)大時代數(shù)學(xué)系讓許寶祿先生給我們開設(shè)了“微分幾何”課程.第一次上課許先生就對我們說, 微分幾何不過是微積分的一種應(yīng)用而已, 而主要工具是泰勒級數(shù)展開, 再用一點兒初級代數(shù)計算.這些話多少曾對我產(chǎn)生了“負(fù)面影響”.其實, 這正是反映了許先生所主張的“良工示人以樸”的教學(xué)觀點, 也和華羅庚先生常愛說“卑之人無甚高論”的觀點一致.

許先生和鐘開萊先生一樣, 在教學(xué)中特別強調(diào)“直觀地理解數(shù)學(xué)”的重要性.他們都主張要把數(shù)學(xué)定理及其證明的“原始思想”告知學(xué)生.雖然不見得每堂課都能做到這一點, 但他們總是殷切地期望學(xué)生們能從直觀上領(lǐng)悟數(shù)學(xué)命題的來龍去脈.其實, 這樣做也有助于培養(yǎng)人的創(chuàng)造發(fā)明才能.

對待教學(xué)與科研, 許先生很有獨到之見.他有一些名言在學(xué)生中流傳很廣.他曾說:“教出狀元來的老師是值得尊敬的, 至于做狀元的學(xué)生那就沒有什么了.”關(guān)于發(fā)表論文成果的事, 他說:“我不希望自己的文章因登在有名的雜志上而出名, 倒是希望雜志因為登了我的文章而使雜志出名.”他還說:“一篇論文不能因為獲得發(fā)表就有了價值.其真正價值要看發(fā)表后被引用的狀況來評價.”數(shù)學(xué)史上曾記述了19世紀(jì)挪威天才數(shù)學(xué)家阿貝爾, 因為在德國克列爾數(shù)學(xué)雜志上發(fā)表了多篇論文而使該雜志名聲大振.一百七十余年來這份雜志始終享有世界聲譽.

現(xiàn)今世界上尤其是科技發(fā)展水平不太高的一些國家的學(xué)者, 往往很重視在所謂屬于“SCI”類刊物被索引的文章.我國有些高等院校甚至對教師們在這類雜志上發(fā)表論文給予高額金錢獎勵.他們不知道收錄進(jìn)“SCI”的雜志并非全按純學(xué)術(shù)水準(zhǔn)來收定的, 而且每一種雜志上刊登的論文的質(zhì)量也有“優(yōu)、良、中、可”等區(qū)別.怎么能不加區(qū)別地就一律給予金錢獎勵呢?至于科研論文成果的客觀現(xiàn)實價值未經(jīng)檢驗就給以立即獎勵, 這豈不帶有很大的盲目性嗎?我在中年時代就在國外知名刊物發(fā)表了不少論文, 但數(shù)十年來還一直能被國際間學(xué)者多次引用的, 實在為數(shù)寥寥, 不過數(shù)篇而已.誠所謂“文章千古事, 得失寸心知.”由此反思, 還是覺得許先生的至理名言是有深遠(yuǎn)指導(dǎo)意義的.現(xiàn)今有些院校的領(lǐng)導(dǎo)出于好心很想用“金錢獎勵法”激勵青年學(xué)子多出論文, 重獎被“SCI”等檢索性刊物收錄了論文的作者, 這樣做是否真正有利于出高素質(zhì)人才和成果, 恐怕是值得商榷的!

(七)

有一次許寶祿先生和我談到了英國的分析學(xué)大師哈代 (Hardy) 和德國大數(shù)學(xué)家希爾伯特 (Hilbert) .他認(rèn)為一個大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)生, 如果不知道哈代的貢獻(xiàn)那是并無損失的, 但是如果不知道希爾伯特的重要貢獻(xiàn)那就說不過去了.事實上正如大家所知, 物理學(xué)領(lǐng)域的“量子力學(xué)”的理論基礎(chǔ)的建立, 必須應(yīng)用希爾伯特空間算子理論.在變分法和積分方程理論中也有希爾伯特的重要貢獻(xiàn).

上述許先生的談話曾促使了20世紀(jì)50年代吉林大學(xué)的數(shù)學(xué)課程建設(shè).當(dāng)年吉林大學(xué)數(shù)學(xué)系系主任為王湘浩教授, 我是副主任.江澤堅教授是分析數(shù)學(xué)教研室主任.當(dāng)我把許先生的觀點告知王、江2位后, 我們3人便一致同意要為數(shù)學(xué)系高年級學(xué)生講授“希氏空間理論”課.就這樣, 我們通過教學(xué)相長的途徑也使自己學(xué)會了在大學(xué)時代尚未學(xué)過的東西.鐘開萊先生在西南聯(lián)大時代開設(shè)了“概率論”課程.我抱有濃厚的興趣學(xué)了這門課, 獲益頗豐.

1944年前后, 華羅庚先生曾應(yīng)邀出差去重慶市解決了一個關(guān)于日軍軍用密碼的破譯問題.華先生以其卓越的慧眼很快識破日本軍部所用密碼的轉(zhuǎn)換工具, 就是數(shù)論中的麥比烏斯 (M?bius) 反演公式.這一令人驚喜的信息, 曾鼓舞了我跟鐘開萊先生合作寫成一篇應(yīng)用麥比烏斯反演公式求解一類組合概率計算問題的短文, 發(fā)表于1945年美國數(shù)理統(tǒng)計年刊.后來我自己以及與海內(nèi)外合作者又曾發(fā)表了數(shù)篇有關(guān)廣義麥比烏斯反演的文章.飲水思源, 要感謝數(shù)十年前華、鐘2位先生的知識傳授與啟示.

數(shù)十年過去了, 至今回憶起來還清晰地能記得當(dāng)年得益于諸名師的指點與啟示的例子是不勝枚舉的.這里我樂于簡要地概述我所獲得的教益 (或啟示) :

(1) 認(rèn)識到追求簡單規(guī)律的重要性, 并以此作為研究數(shù)學(xué)的目標(biāo)和興趣出發(fā)點.

(2) 學(xué)會使用直觀、聯(lián)想去理解數(shù)學(xué)并籍此去發(fā)現(xiàn)問題, 提出可以研究的題材.

(3) 學(xué)會了重視“特例分析”、數(shù)學(xué)概括和抽象方法.由此還啟發(fā)我最先提出了“數(shù)學(xué)抽象度分析法”, 成為現(xiàn)今數(shù)學(xué)方法學(xué)的研究課題之一.

(4) 向華、許二師學(xué)到了“不怕計算”和“樂于計算”的習(xí)慣.十分樂于從計算中去發(fā)現(xiàn)規(guī)律和提煉一般性公式.和華先生相似, 我也十分重視顯式構(gòu)造, 這正好適應(yīng)于我后來長期從事“函數(shù)逼近論”、“計算方法”與“組合分析”研究的客觀要求.

(5) 我對科學(xué)方法論和科學(xué)哲學(xué)以及文學(xué)的興趣及愛好, 也是受到了華、許、鐘3位先生的談話啟示和影響.這方面的詳情細(xì)節(jié)我就略而不談了.

現(xiàn)今, 教育工作者都提倡青年學(xué)子們要向名師學(xué)習(xí), 這是很好的.我認(rèn)為最需要向名師學(xué)習(xí)的方面是, 他們的治學(xué)經(jīng)驗、治學(xué)方法和見解以及作為名師的求真精神與學(xué)者風(fēng)范.

編輯 ∑Gemini

來源：好玩的數(shù)學(xué)