從本文開始，之后的三四篇我們都將沐浴在數學的海洋里，拼命地撲騰，這個系列我會盡力以通俗易懂的方式來講述這些數學知識。

1 函數

1.1 一次函數

在數學函數中最基本、最重要的就是一次函數。也就是函數之基礎、根本。它在神經網絡的世界里也同樣重要。

1.1.1 一元一次函數

這個函數可以用下面的式表示。被稱為斜率(用來控制直線的方向)，被稱為截距（用來控制直線和原點的偏移）

當x、y兩個變量滿足上述公式時，就稱為變量y和變量x是一次函數關系。

有兩個變量x和y，如果對每個x都有唯一確定的y與它對應，則稱y是x的函數，用  表示。此時，稱為自變量，為因變量。

一次函數的圖像是直線，如下圖的直線所示。

示例：一次函數的圖像如下圖所示，截距為 1，斜率為 2。

1.1.2 多元一次函數

上面我們說的中有一個變量x，我們稱為一元，如果有多個變量，我們就稱為是多元的，比如下面的式子。（有幾個變量就是幾元的，也可以理解為維度）

當多個變量滿足上述公式時，也稱為變量y與變量是一次函數關系。

就像我們之前說的神經元的加權輸入Z 就可以表示為一次函數關系。

如果把作為參數的權重與偏置b 看作常數，那么加權輸入z h和就是一次函數關系。

1.2 二次函數

1.2.1 一元二次函數

剛剛我們接觸了一次函數，下面說說二次函數。二次函數很重要，像我們經常使用的代價函數平方誤差就是二次函數。二次函數由下面的式表示。

二次函數的圖像是拋物線，如下圖所示。我們會發(fā)現拋物線的凹凸（開口朝向）是通過上方式子中a的正負來決定的。

• 當0時，拋物線向上開口，向下凸起

• 當時，拋物線向下開口，向上凸起。

所以當時該函數的存在最小值。（該性質是后面講的最小二乘法的基礎）

示例：二次函數的圖像如右圖所示。從圖像中可以看到，當時，函數取得最小值。

1.2.2 多元二次函數

在我們實際的神經網絡中需要處理更多變量的二次函數，這些二次函數統(tǒng)稱多元二次函數，學會了一元二次函數，那么多元二次函數就不會太難了，下面我們以一個二元二次函數進行舉例。

就像我們使用的代價函數平方誤差c就是多元二次函數:

1.3 單位階躍函數

之前，我們已經接觸過它了，還記得嗎，作為生物界神經元的激活函數。下面我們再說一遍吧。

單位階躍函數，在原點處不連續(xù)，也就是在原點處不可導，由于這兩個性質，所以單位階躍函數不能成為主要的激活函數。

單位階躍函數的圖像如下：

1.4 指數函數

什么是指數函數呢？我們之前講了一次函數和二次函數，其實只要把變量放到冪的位置，其實就是指數函數了，具有以下形狀的函數稱為指數函數，常數a被稱為函數的底數。

指數函數的圖像是類似于撇的一種樣式，如下所示

上面說到底數，就不得不說自然常數,又叫納皮爾數或歐拉數，它和派π類似，是一個無限不循環(huán)小數，它的值如下

1.4.1 sigmoid函數

上面說到自然常數e，那么就不得不提到大名鼎鼎的自然指數函數,它在數學界有自己的標識exp或exp(x)

而我們這里所要講的是包含自然指數函數的復合函數sigmoid函數，它是神經網絡中很具有代表性的激活函數。它的公式如下

通過下方的圖像,我們可以看到，這個函數是光滑的，這就代表著這個函數處處可導，函數的取值在(0,1)區(qū)間內，那么這個函數值就可以用概率來解釋

1.5 正態(tài)分布的概率密度函數

在計算機實際確定神經網絡時，我們需要首先給權重和偏置設定初始值，這樣神經網絡才能進行計算。而這個初始值怎么取呢，這個時候我們就會用到一個非常有用的工具，叫做正態(tài)分布

這里就不長篇大論的解釋啥是正態(tài)分布了，它也沒什么高大上的地方，就是概率分布中的一種分布方式，但是這個分布方式是及其復合人類和自然界的，有興趣的朋友可以去深入了解下。在這里只說一下，我們在給神經網絡分配權重和偏置時分配一個服從正態(tài)分布的隨機數，會比較容易取得好的結果。

正態(tài)分布是服從下面的概率密度函數的概率分布。公式如下

2 數列

2.1 數列的含義

2.2 數列的通項公式

數列中排在第項的數通常用表示，這里是數列的名字，可隨意取。當想要表達整個數列時，使用集合的符號來表示，如

2.3 數列與遞推關系式

一般，如果已知首項以及相鄰的兩項

2.4 聯(lián)立遞推關系式