專題07  不等式

易錯點1  忽視不等式隱含條件致誤

易錯點2  忽略不等式性質(zhì)成立的條件

錯點3  忽略對二次項系數(shù)的討論導致錯誤

易錯點4  解含參不等式時不能正確分類導致錯誤

易錯點5 不能準確把握目標函數(shù)的幾何意義致誤

易錯點6  忽略等號成立的一致性導致錯誤

一、不等關系與不等式

1．比較大小的常用方法

（1）作差法的一般步驟是：作差，變形，定號，得出結論．

注意：只需要判斷差的符號，至于差的值究竟是什么無關緊要，通常將差化為完全平方式的形式或者多個因式的積的形式.

（2）作商法的一般步驟是：作商，變形，判斷商與1的大小，得出結論．

注意：作商時各式的符號為正，若都為負，則結果相反.

（3）介值比較法：

①介值比較法的理論根據(jù)是：若a>b,b>c,則a>c，其中b是a與c的中介值.

②介值比較法的關鍵是通過不等式的恰當放縮，找出一個比較合適的中介值.

2．不等式的性質(zhì)及應用

（1）應用不等式性質(zhì)解題的指導思想：理解不等式的性質(zhì)時，首先要把握不等式性質(zhì)成立的條件，特別是實數(shù)的正負和不等式的可逆性；其次，要關注常見函數(shù)的單調(diào)性對于理解不等式性質(zhì)的指導性.

（2）解決此類問題常用的兩種方法：一是直接使用不等式的性質(zhì)逐個驗證；二是利用特殊值法排除錯誤答案．利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時要特別注意前提條件．

3．求代數(shù)式的取值范圍的一般思路

（1）借助性質(zhì)，轉化為同向不等式相加進行解答；

（2）借助所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件；

（3）結合不等式的傳遞性進行求解；

（4）要注意不等式同向可乘性的適用條件及整體思想的運用.

二、一元二次不等式及其解法

1．解一元二次不等式的一般步驟

（1）一化：把不等式變形為二次項系數(shù)大于零的標準形式．

（2）二判：計算對應方程的判別式．

（3）三求：求出對應的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程有沒有實根．

（4）四寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集．

2．解含有參數(shù)的一元二次不等式的步驟

（1）二次項系數(shù)若含有參數(shù)應討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉化為二次項系數(shù)為正的形式．

（2）判斷方程的根的個數(shù)，討論判別式Δ與0的關系．

（3）確定無根時可直接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關系，從而確定解集形式.

4．已知不等式的解集求參數(shù)的解題方法

已知不等式的解集求參數(shù)問題的實質(zhì)是考查三個“二次”間的關系.其解題的一般思路為:

（1）根據(jù)所給解集確定相應方程的根和二次項系數(shù)的符號;

（2）由根與系數(shù)的關系，或直接代入方程，求出參數(shù)值或參數(shù)之間的關系，進而求解.

四、基本不等式

1．利用基本不等式求最值的方法

利用基本不等式，通過恒等變形及配湊，使“和”或“積”為定值.常見的變形手段有拆、并、配.

（1）拆——裂項拆項

對分子的次數(shù)不低于分母次數(shù)的分式進行整式分離——分離成整式與“真分式”的和，再根據(jù)分式中分母的情況對整式進行拆項，為應用基本不等式湊定積創(chuàng)造條件.

（2）并——分組并項

目的是分組后各組可以單獨應用基本不等式，或分組后先由一組應用基本不等式，再組與組之間應用基本不等式得出最值.

（3）配——配式配系數(shù)

有時為了挖掘出“積”或“和”為定值，常常需要根據(jù)題設條件采取合理配式、配系數(shù)的方法，使配式與待求式相乘后可以應用基本不等式得出定值，或配以恰當?shù)南禂?shù)后，使積式中的各項之和為定值.

注意：①基本不等式涉及的量為正實數(shù)，同時驗證等號能否取到．

②分子、分母有一個一次，一個二次的分式結構的函數(shù)以及含有兩個變量的函數(shù)，適合用基本不等式求最值.取倒數(shù)以應用基本不等式是對分式函數(shù)求最值的一種常見方法.

2．有關函數(shù)最值的實際問題的解題技巧

（1）根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值．

（2）設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)．

（3）解應用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍．

（4）在應用基本不等式求函數(shù)最值時，若等號取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.

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