在“圖形與幾何”教學(xué)中實(shí)施“動(dòng)態(tài)想象”有效性策略的思考。

——節(jié)選自《從良好數(shù)感到數(shù)學(xué)探究》錢(qián)金鐸著

一、談話(huà)引入

大家看這是一張長(zhǎng)方形紙，長(zhǎng)30厘米，寬16厘米，根據(jù)這些信息，你能提出哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題？

生：它的周長(zhǎng)和面積各是多少？

板書(shū)：周長(zhǎng)=92厘米面積=480平方厘米

師：能不能把這張紙簡(jiǎn)單處理一下，做成一個(gè)長(zhǎng)方體？

生：在四個(gè)角剪去相同的小正方形，再折成紙盒。

師：大家想一想，你能想象出他說(shuō)的紙盒嗎？課件動(dòng)態(tài)演示紙張折成紙盒的過(guò)程。

從數(shù)學(xué)的眼光看一張紙，基于平面的角度可以研究周長(zhǎng)和面積，從立體角度看可以折成一個(gè)無(wú)蓋的紙盒，在從平面到立體的轉(zhuǎn)化中，讓學(xué)生展開(kāi)動(dòng)態(tài)想象，把二維的面與三維的體有效聯(lián)接，學(xué)生的空間觀(guān)念、想象能力得到培養(yǎng)，思維也進(jìn)一步擴(kuò)展。

二、探究紙盒的最大容積

師：老師已經(jīng)給每個(gè)組發(fā)了這樣一張長(zhǎng)方形紙，請(qǐng)大家既動(dòng)腦又動(dòng)手，4人小組合作完成（出示合作任務(wù)）

1.  用這張紙做成一個(gè)容積最大的紙盒（紙張的厚度和接縫忽略不計(jì)）

2.  做成后準(zhǔn)備小組匯報(bào)（說(shuō)說(shuō)是怎么想的、怎么做的？）

組織匯報(bào)：

生1：我們剪去邊長(zhǎng)為1厘米的正方形，做成的紙盒的容積是28×14×1=392立方厘米。我們想盡量讓紙盒的底面大一些。

生2：我們剪去邊長(zhǎng)為2厘米的正方形，做成的紙盒的容積是26×12×2=624立方厘米。比第一組的容積大，因?yàn)榍笕莘e時(shí)還要乘以高，第一組高太小了。

生3：我們?nèi)莘e更大，剪去邊長(zhǎng)為3厘米，做成的紙盒的容積是24×10×3=720立方厘米。

師：還有沒(méi)有比他們?nèi)莘e更大的？

生：沒(méi)有了。

師：第3組是一下子就得到剪去邊長(zhǎng)是3厘米是最大的嗎？

生3：我們把所有情況都算過(guò)了，才發(fā)現(xiàn)剪去邊長(zhǎng)是3厘米后折成紙盒的容積是最大的。

師：把你們的計(jì)算給大家匯報(bào)一下。

 出示：

師：怎么不再往下剪了？

生：當(dāng)剪去邊長(zhǎng)是8厘米的時(shí)候，寬剪光了，做不成紙盒。

師：看來(lái)，剛才的問(wèn)題解決揭示一個(gè)策略：尋找最大值不能只計(jì)算一種情況，得把可能的多種情況都比較后才能得到。

板書(shū)：把可能的多種情況進(jìn)行比較

師：剛才大家在研究的時(shí)候都是剪去邊長(zhǎng)為整理米數(shù)的小正方形，為什么這樣剪？

生：因?yàn)檫呴L(zhǎng)是整厘米數(shù)的比較好算。

師：對(duì)，我們?cè)谘芯繂?wèn)題時(shí)先從簡(jiǎn)單的情形入手也是研究問(wèn)題常用的方法。

板書(shū)：從簡(jiǎn)單情形入手進(jìn)行研究

師：這些不同規(guī)格紙盒的容積你們都是怎么計(jì)算的？

板書(shū)：v=（30-2a）×（16-2a）×a

師：看著我們從剪去邊長(zhǎng)整厘米數(shù)入手做成的不同形狀的紙盒和它們的容積大小數(shù)據(jù)，你有什么想說(shuō)嗎？

生：隨著剪去的正方形邊長(zhǎng)不斷增加，紙盒的容積由小變大再變小。

師：請(qǐng)大家用做個(gè)手勢(shì)來(lái)表示這些數(shù)據(jù)的變化。

師：想不想看看做成的這7個(gè)紙盒是什么樣的？

師：第一個(gè)紙盒底面積最大，但是高只有1，第二個(gè)底面積變小，高變大，第三個(gè)底面積又小，高要大了，這樣底面積愈來(lái)愈小，但高越來(lái)越大，但是體積是第三個(gè)紙盒是最大的。

師：數(shù)學(xué)上有一種辦法能讓我們把這些數(shù)據(jù)的變化看得更清楚，是什么呀？

生：統(tǒng)計(jì)圖

師：對(duì)，老師把剪去小正方形邊長(zhǎng)1-7厘米畫(huà)成橫軸，做成紙盒的容積畫(huà)成縱軸，我們把剛才研究過(guò)的7組畫(huà)上去，再把這些點(diǎn)連起來(lái)，你有什么想說(shuō)的？

師：第一個(gè)紙盒底面積最大，但是高只有1，第二個(gè)底面積變小，高變大，第三個(gè)底面積又小，高要大了，這樣底面積愈來(lái)愈小，但高越來(lái)越大，但是體積是第三個(gè)紙盒是最大的。

師：數(shù)學(xué)上有一種辦法能讓我們把這些數(shù)據(jù)的變化看得更清楚，是什么呀？

生：統(tǒng)計(jì)圖

師：對(duì)，老師把剪去小正方形邊長(zhǎng)1-7厘米畫(huà)成橫軸，做成紙盒的容積畫(huà)成縱軸，我們把剛才研究過(guò)的7組畫(huà)上去，再把這些點(diǎn)連起來(lái)，你有什么想說(shuō)的？

生：剪去小正方形的邊長(zhǎng)與做成紙盒容積關(guān)系的曲線(xiàn)圖像過(guò)山車(chē)，非常直觀(guān)形象

師：對(duì)，數(shù)學(xué)上常用這種關(guān)系圖來(lái)研究量與量之間的變化規(guī)律，非常有用。

師：目前我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)剪去邊長(zhǎng)為3厘米時(shí)做成的紙盒的容積是最大的。請(qǐng)你想一想，有沒(méi)有可能用這張紙做出一個(gè)容積更大的紙盒？

生：會(huì)有，我覺(jué)得應(yīng)該可以剪去小數(shù)

師：你們覺(jué)得可以剪去幾呢？

生1：我覺(jué)得剪去3左右，我試了剪去2.9，發(fā)現(xiàn)比剪去3容積小，那應(yīng)該再試試3.1到3.9之間，因?yàn)槲野l(fā)現(xiàn)當(dāng)剪去邊長(zhǎng)為3厘米時(shí)，做成的紙盒的容積是最大的，到剪去4厘米時(shí)紙盒容積就開(kāi)始小了。

生2：我覺(jué)得整幅圖中數(shù)據(jù)的變化就像過(guò)山車(chē)一樣很好玩，可能是剪去邊長(zhǎng)3.5厘米的時(shí)候紙盒的容積會(huì)最大。

師：好像有道理，我們來(lái)試試看。(課件中的幾何畫(huà)板展示，剪去邊長(zhǎng)從3.1試到3.4，發(fā)現(xiàn)當(dāng)剪去邊長(zhǎng)3.3時(shí)做成的容積最大，3.4開(kāi)始下降。)

 師：剪去3.3最大了？還有其它想法嗎？

生：我們應(yīng)該再試試剪去的邊長(zhǎng)是兩位小數(shù)的時(shí)候，可能做出的紙盒容積會(huì)更大

師：想試剪去的兩位小數(shù)哪個(gè)范圍的？

生：比3.3大比3.4小。比如剪去3.31，3.32……

師：我們也來(lái)試幾個(gè)(課件中的幾何畫(huà)板展示，從剪去邊長(zhǎng)從3.31試到3.34，發(fā)現(xiàn)當(dāng)剪去邊長(zhǎng)3.33時(shí)做成的容積最大，3.34開(kāi)始下降。)

師：我們已經(jīng)把剪去小正方形邊長(zhǎng)從最初的精確到整厘米數(shù)的研究、精確到了一位小數(shù)、再精確到兩位小數(shù)的研究，目前得到了剪去3.33的時(shí)候做成的盒子容積最大，你還有什么猜想？

生1：那精確度還可以再提高呀，可能是3.3333一直3下去的時(shí)候容積最大。

生2：是3.3，3循環(huán)的時(shí)候紙盒的容積是最大的。

師：同學(xué)們真有想法，確實(shí)就在這幅圖中有一個(gè)最高點(diǎn)，也就是紙盒的最大容積，以這個(gè)最高點(diǎn)為分界，同學(xué)們想一下，最高點(diǎn)左右兩邊剪去的邊長(zhǎng)與做成的容積分別是怎么變化的？

生：最高點(diǎn)左邊剪去邊長(zhǎng)增大容積也增大，最高點(diǎn)右邊減去邊長(zhǎng)增大容積反而減少。

師：這樣的問(wèn)題我們會(huì)在以后初中、高中進(jìn)一步學(xué)習(xí)（課件演示單調(diào)上升和單調(diào)下降區(qū)間的動(dòng)態(tài)）

       這一環(huán)節(jié)緊緊圍繞“怎樣做一個(gè)容積最大的紙盒”這一核心問(wèn)題，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，因此教師把問(wèn)題的嘗試與解決放在4人小組的交流討論中進(jìn)行，隨著小組合作的深入，學(xué)生不僅在組內(nèi)、也在組與組之間不斷討論、交流、碰撞、計(jì)算、比較、修正中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)剪去邊長(zhǎng)是3厘米的時(shí)候做成的紙盒的容積是最大的，而后問(wèn)題層層推進(jìn)，學(xué)生思考有沒(méi)有可能做一個(gè)容積更大的紙盒，學(xué)生在猜測(cè)后，通過(guò)幾何畫(huà)板輔助教學(xué)，發(fā)現(xiàn)剪去邊長(zhǎng)3.3厘米時(shí)做成的紙盒更大，而剪去3.33時(shí)做成的紙盒還要大，而后學(xué)生大膽猜測(cè)剪去3.33333……時(shí)做成的紙盒最大，學(xué)生的猜測(cè)水到渠成。整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生累積了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷了做數(shù)學(xué)的過(guò)程，體驗(yàn)了探究樂(lè)趣，培養(yǎng)了歸納推理、數(shù)據(jù)分析、精度提高、區(qū)間逼近、函數(shù)分段變化等豐富的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

聊一聊

你若盛開(kāi) 蝴蝶自來(lái)