提起勾股定理大家一定都很熟悉——“勾三股四弦五”嘛！

其實(shí)，在古代幾大文明古國(guó)，數(shù)學(xué)家們不約而同地都發(fā)現(xiàn)了這一定律。在中國(guó)西周時(shí)期，就有一個(gè)叫商高的人發(fā)現(xiàn)了“勾三股四弦五”的規(guī)律，也就是說(shuō)只要一個(gè)直角三角形兩個(gè)直角邊分別是3、4，那么斜邊一定是5，當(dāng)然這只是一種典型的特例。公元一世紀(jì)成書(shū)的《九章算術(shù)》中則明確寫(xiě)道“勾股各自乘，并而開(kāi)方除之，即弦”，這就意味著找到了勾股定理的普遍形式。到公元三世紀(jì)，三國(guó)時(shí)代的趙爽對(duì)《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋?zhuān)?chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，對(duì)勾股定理做出了證明。

勾股定理在西方一般被稱(chēng)為“畢達(dá)哥拉斯定理”，因?yàn)樗彤呥_(dá)哥拉斯有密切關(guān)系。

其實(shí)，在西方，最早發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理的也不是畢達(dá)哥拉斯本人，而是古埃及人。相傳埃及人早就已經(jīng)知道了“三角形兩個(gè)直角邊分別是3和4或二者的倍數(shù)，那么斜邊一定是5或5的相應(yīng)倍數(shù)”。但是他們只是發(fā)現(xiàn)了它，沒(méi)能證明它。這就是“只知其然，而不知其所以然”。古希臘人素來(lái)熱愛(ài)純形式的理論，喜歡研究那些“沒(méi)有實(shí)用性”的知識(shí)，所以，當(dāng)身為古希臘人的畢達(dá)哥拉斯得知這一規(guī)律后，便想方設(shè)法找到其背后的原理。

畢達(dá)哥拉斯到底是怎樣證明這個(gè)原理的？因?yàn)槟甏眠h(yuǎn)、資料缺失，我們已經(jīng)不得而知了。我們只知道他成功后非常高興，特地宰殺了一百頭牛來(lái)祭神，所以古希臘也把“畢達(dá)哥拉斯定理”叫做“百牛定理”。（這說(shuō)明這個(gè)家伙還挺有錢(qián)的）。

在數(shù)學(xué)史乃至哲學(xué)史上，“畢達(dá)哥拉斯定理”的地位是非常高的。因?yàn)樗侨祟?lèi)第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來(lái)的定理，說(shuō)明二者之間是相通的、可以互相解釋說(shuō)明的。數(shù)是存在于抽象思維中的東西，形是存在于現(xiàn)實(shí)世界中的東西，數(shù)和形可以互相聯(lián)系，那么思維與存在當(dāng)然也可以，這就極大地激發(fā)了人們用數(shù)字和思維探究世界的勇氣和信心。

所以說(shuō)，畢達(dá)哥拉斯定理意義非凡，往小了說(shuō)，它解決了一個(gè)集合難題，為人們?cè)诠こ探ㄖū热缃鹱炙?、水利工程等）上提供了方便；往大了說(shuō)，它開(kāi)啟了新世界的大門(mén)：我們可以運(yùn)用看似虛無(wú)的理性去把握眼前這個(gè)復(fù)雜的世界。

甚至畢達(dá)哥拉斯由此更加堅(jiān)定了他的“數(shù)本原說(shuō)”（關(guān)于數(shù)本原說(shuō)的內(nèi)容，可參看我的上一篇文章《不想當(dāng)哲學(xué)家的數(shù)學(xué)家不是一個(gè)好教主——畢達(dá)哥拉斯思想簡(jiǎn)介》）：他認(rèn)為數(shù)之所以可以解釋形，是因?yàn)閿?shù)是世界的本原，世界上的一切具體事物都不過(guò)是對(duì)數(shù)的模仿。

可正是這個(gè)使畢達(dá)哥拉斯為之自豪的定理，卻無(wú)意間觸發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第一次危機(jī)。

這個(gè)危機(jī)是還是由畢達(dá)哥拉斯的一位門(mén)徒——希帕索斯引起的。接下來(lái)我們來(lái)詳述一下整個(gè)過(guò)程，在敘述中可能會(huì)出現(xiàn)一些數(shù)學(xué)符號(hào)，但是大家千萬(wàn)不要嫌棄。因?yàn)樽鳛橐幻目粕奈依斫馄饋?lái)都不覺(jué)得困難，所以你可以放心閱讀。而且我相信，通過(guò)閱讀，你一定會(huì)愛(ài)上又蠢又萌的古希臘人的。

好，我們接著這個(gè)希帕索斯往下說(shuō)。據(jù)說(shuō)這位徒弟為了發(fā)展師父的定理，他假設(shè)了一個(gè)等腰直角三角形，并且直角邊長(zhǎng)都是1。那么根據(jù)偉大的“畢達(dá)哥拉斯定理”，斜邊的平方應(yīng)該是2，那斜邊本身是多少呢？當(dāng)然我們現(xiàn)在都知道，是（根號(hào)下2），但是當(dāng)時(shí)希臘人沒(méi)有根號(hào)的概念，他們要徒手開(kāi)平方。

我們要知道，古希臘人還不具備無(wú)理數(shù)的概念，在他們看來(lái)，數(shù)字只有三種：要么是奇數(shù)，要么是偶數(shù)，要么是分?jǐn)?shù)，而且這個(gè)分?jǐn)?shù)必須要盡量約到最簡(jiǎn)，即分子和分母中至少有一個(gè)是奇數(shù)。

這個(gè)希帕索斯發(fā)現(xiàn)沒(méi)有一個(gè)整數(shù)的平方是2，那么這個(gè)數(shù)就只能是分?jǐn)?shù)。好，那他就假設(shè)這個(gè)分?jǐn)?shù)是（m/n），于是就得出（m/n）2=2。由此得出m2=2n2。

既然m2=2n2，那么m2一定就是偶數(shù)了。希臘人那個(gè)時(shí)候已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了偶數(shù)的平方一定是偶數(shù)，奇數(shù)的平方一定是奇數(shù)，所以m一定是偶數(shù)。希臘人還發(fā)現(xiàn)偶數(shù)的平方的一半也一定是偶數(shù)。既然這樣n2也一定是偶數(shù)了，那么n也就是偶數(shù)了。于是乎，m和n都是偶數(shù)了！

可是他剛開(kāi)始假設(shè)的時(shí)候，假定它是一個(gè)不能再約分的分?jǐn)?shù)了啊，也就是說(shuō)，這個(gè)分?jǐn)?shù)中m和n至少有一個(gè)應(yīng)該是奇數(shù)的?。?/p>

他的假設(shè)沒(méi)有問(wèn)題，論證過(guò)程也無(wú)懈可擊，但是最后得出的結(jié)論

卻是自相矛盾的。最終這個(gè)也沒(méi)有找出來(lái)。

這就是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。這個(gè)希帕索斯本來(lái)想證明師父的偉大，但是沒(méi)想到弄巧成拙，捅了這么個(gè)大簍子，搞得以數(shù)學(xué)見(jiàn)長(zhǎng)的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派焦頭爛額，很沒(méi)面子。惱羞成怒的畢達(dá)哥拉斯不顧師生情分，把徒弟裝進(jìn)麻袋，拋入地中海淹死了。

雖然不得不承認(rèn)這是個(gè)悲劇，但是我們都會(huì)忍不住笑出聲。首先，這個(gè)所謂的數(shù)學(xué)危機(jī)在我們看來(lái)是很幼稚的：歸根結(jié)底是因?yàn)楣畔ＥD人沒(méi)有“無(wú)理數(shù)”這個(gè)概念。其次，這個(gè)徒弟確實(shí)比較搞笑，這個(gè)師父確實(shí)也比較生猛，總之他們都好可愛(ài)。

我們現(xiàn)在覺(jué)得古希臘人可愛(ài)，站在上帝視角，或許我們也同樣可愛(ài)。這可能就是所謂的“人類(lèi)一思考，上帝就發(fā)笑”。一個(gè)人可愛(ài)大多是因?yàn)樗尚Α?/p>

我們剛才說(shuō)過(guò)，畢達(dá)哥拉斯以他的定理為依據(jù)提出了“數(shù)本原說(shuō)”，認(rèn)為世界上所有的事物都可以用數(shù)來(lái)表達(dá)，數(shù)和形之間是相通的。這就已經(jīng)不再是數(shù)學(xué)原理了，而是一個(gè)貨真價(jià)實(shí)的哲學(xué)思想了。但是在這個(gè)等腰直角三角形這里，明明可以看到一個(gè)形（三角形斜邊）在那擺著，但是他們卻死活找不到表示那個(gè)形的數(shù)字。于是一場(chǎng)數(shù)學(xué)危機(jī)就這樣變成了一個(gè)哲學(xué)問(wèn)題。

如果讀過(guò)我的前一篇文章（《不想當(dāng)哲學(xué)家的數(shù)學(xué)家不是一個(gè)好教主——畢達(dá)哥拉斯思想簡(jiǎn)介》），你會(huì)知道畢達(dá)哥拉斯這個(gè)人本來(lái)就喜歡搞那些神神叨叨的東西?，F(xiàn)在正好有一個(gè)數(shù)在一個(gè)直角三角形斜邊的背后隱而不彰，畢達(dá)哥拉斯對(duì)此又惶恐、又狂熱，以為自己窺到了天機(jī)。他認(rèn)為神秘的、隱而不彰的東西里一定隱藏著真理，隱藏著深刻的、本質(zhì)性的東西。這個(gè)東西越隱秘，越能激發(fā)他探究的欲望。

對(duì)于每一個(gè)學(xué)科而言，初創(chuàng)者的旨趣和個(gè)性往往能影響甚至決定這個(gè)學(xué)科的走向。畢達(dá)哥拉斯作為早期的一位哲學(xué)家，他的這種取舍傾向也埋伏在了哲學(xué)史的發(fā)展過(guò)程中。這種傾向就是：當(dāng)感覺(jué)和思維發(fā)生矛盾或沖突的時(shí)候，哲學(xué)家們更愿意選擇相信思維與理性；當(dāng)現(xiàn)實(shí)生活和抽象概念同時(shí)擺在眼前，哲學(xué)家們更喜歡投身后者，而不喜歡沉浸于前者。

世界本來(lái)是一覽無(wú)余地呈現(xiàn)在我們眼前的，但是我們總覺(jué)得有更本質(zhì)的東西或者一些神圣的秘密隱藏在更深處，等著我們?nèi)グl(fā)掘、去揭示。

這種傾向叫形而上學(xué)。