了解阿基米德和阿波羅尼奧斯的人，對(duì)后代杰出人物的成就不會(huì)再那么欽佩了。 ——萊布尼茨

一、希臘數(shù)學(xué)的成就

亞歷山大希臘文明雖持續(xù)到公元640年最終被回教徒摧毀時(shí)為止，但由于其創(chuàng)造的成就越來(lái)越少，所以這個(gè)文明在公元頭幾個(gè)世紀(jì)里顯然已開(kāi)始衰落了。

人們把數(shù)學(xué)成為抽象化科學(xué)歸功于希臘人。這一重大貢獻(xiàn)有其不可估量的意義和價(jià)值，因?yàn)橥粋€(gè)抽象的三角形或代數(shù)方程能應(yīng)用于幾百種不同的自然現(xiàn)象，正是數(shù)學(xué)的力量和奧秘之所在。

希臘人堅(jiān)持要演繹證明，這也確是了不起的一步。在世界上的幾百種文明里，有的也的確搞出了一種粗陋的算術(shù)和幾何，但只有希臘人才想到要完全用演繹推理來(lái)證明結(jié)論。這種決心是同人類(lèi)在其他一切領(lǐng)域里的習(xí)慣做法完全違背的。它實(shí)際上幾乎像件不合理的事，因?yàn)槿祟?lèi)憑經(jīng)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比和實(shí)驗(yàn)已經(jīng)獲得了那么多高度可靠的知識(shí)。但希臘人需要真理，并覺(jué)得只有用毋庸置疑的演繹推理法才能獲得真理。他們又認(rèn)識(shí)到要獲得真理就必須從真理出發(fā)，并且要保證不把靠不住的事實(shí)當(dāng)作已知。因此他們把所有公理明確說(shuō)出，并且在他們的著作中采取一開(kāi)頭就陳述公理的做法，使之能馬上進(jìn)行批判考察。

除了想出用這種非凡的方案來(lái)證實(shí)可靠的知識(shí)以外，希臘人還表現(xiàn)出一種為創(chuàng)新者所少見(jiàn)的細(xì)致精神。他們認(rèn)識(shí)到概念必須彼此沒(méi)有矛盾，以及不能用不存在的圖形（如正十面體）來(lái)搞出前后一致的邏輯結(jié)構(gòu)，這一切顯出他們幾乎有超人的并且肯定是空前的思想深度。現(xiàn)在我們知道他們?cè)谘芯恳粋€(gè)概念以前證明其存在的做法，是靠演示它能夠用尺規(guī)構(gòu)造出來(lái)的。

希臘人在發(fā)現(xiàn)定理與作出證明方面的能力之強(qiáng)，從歐幾里得《幾何原本》含467個(gè)命題以及阿波羅尼奧斯《圓錐曲線》含487個(gè)命題，而且所有這一切都是從《幾何原本》里的10個(gè)公理推出這一事實(shí)，可以得到證明。（邏輯結(jié)構(gòu)渾然一體可能還是次要的。）如果同樣這些結(jié)果是從許多組不同的（雖然是同樣可靠的）公理中獲得的，那么它們就遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如在這批知識(shí)那樣易于處理和易于為人所接受。

希臘人在數(shù)學(xué)內(nèi)容上的貢獻(xiàn)是巨大的：平面與立體幾何、平面與球面三角、數(shù)論萌芽、巴比倫和埃及的算術(shù)與代數(shù)的推廣，特別是鑒于當(dāng)時(shí)從事這項(xiàng)工作的人數(shù)不多而且廣泛活動(dòng)的時(shí)間也不過(guò)幾個(gè)世紀(jì)。在這些貢獻(xiàn)之外還必須加上幾何代數(shù)法，這項(xiàng)工作只要能承認(rèn)無(wú)理數(shù)并把內(nèi)容翻譯成符號(hào)式子，就可以變成相當(dāng)一部分初等代數(shù)的基礎(chǔ)。而他們用以處理曲邊圖形的窮竭法，則是微積分的萌芽。

希臘人對(duì)自然界的看法也是對(duì)后世人同樣重要的一種貢獻(xiàn)與啟發(fā)。他們把數(shù)學(xué)等同于物理世界的實(shí)質(zhì)，并在數(shù)學(xué)里看到關(guān)于宇宙結(jié)構(gòu)和設(shè)計(jì)的最終真理。他們建立了數(shù)學(xué)和研究自然真理之間的聯(lián)盟，這在以后便成為現(xiàn)代科學(xué)的基礎(chǔ)本身。其次，他們把對(duì)自然的合理化認(rèn)識(shí)推進(jìn)到足夠深遠(yuǎn)的程度，使他們能夠牢固樹(shù)立一種信念，感到宇宙確實(shí)是按照數(shù)學(xué)規(guī)律設(shè)計(jì)的，是有條理、有規(guī)律并且能被人所認(rèn)識(shí)的。

他們也并不忽視數(shù)學(xué)在美學(xué)上的意義。數(shù)學(xué)在希臘時(shí)代被人珍視為一門(mén)藝術(shù)，他們?cè)谄渲姓J(rèn)識(shí)到美、和諧、簡(jiǎn)單、明確以及秩序。算術(shù)、幾何與天文被人看作是心智的藝術(shù)與靈魂的音樂(lè)。帕拉圖喜愛(ài)幾何；亞里士多德不愿把數(shù)學(xué)和美學(xué)分開(kāi)，因他認(rèn)為秩序和對(duì)稱(chēng)是美的重要因素，而這兩者他能在數(shù)學(xué)里找到。在希臘人的思想里，對(duì)合理的、美的乃至對(duì)道德上的關(guān)心都是分不開(kāi)的。他們反復(fù)說(shuō)過(guò)球是一切形體中最美的，因而是神圣的、善的。圓也和球一樣從美學(xué)觀點(diǎn)上為人所喜愛(ài)，因此那些代表天上萬(wàn)劫不變的永恒秩序的天體，自然要以圓為它們的運(yùn)動(dòng)路徑，而在不完善的地上，則以直線運(yùn)動(dòng)居多。無(wú)疑是由于這門(mén)學(xué)科在美學(xué)上的吸引力，才使得希臘數(shù)學(xué)家把有些項(xiàng)目探索到超出為理解自然所必需的程度。

二、希臘數(shù)學(xué)的局限性

第一個(gè)局限性是他們不能掌握無(wú)理數(shù)概念。這不僅限制了算術(shù)和代數(shù)，而且使他們轉(zhuǎn)向并強(qiáng)調(diào)幾何。希臘人堅(jiān)持要有準(zhǔn)確的概念和證明這個(gè)美德，從數(shù)學(xué)的創(chuàng)造發(fā)明來(lái)說(shuō)卻是個(gè)缺點(diǎn)。

隨著數(shù)學(xué)范圍的擴(kuò)大，用幾何方法就使證明越來(lái)越復(fù)雜，特別是在立體幾何方面。而且即使在比較簡(jiǎn)單的證明里也缺乏一般性的方法，而這在我們有了解析幾何與微積分后是很清楚的事。

希臘人不僅把數(shù)學(xué)主要限制于幾何，甚至把幾何只限于那些能用直線和圓作出的圖形。帕普斯對(duì)曲線的分類(lèi)說(shuō)明希臘人要把曲線限制在一定范圍內(nèi)：平面曲線是從直線和圓作出的那些曲線；圓錐曲線被他們稱(chēng)為立體曲線，因它們是從圓錐產(chǎn)生的；割圓線、蚌線、蔓葉線和螺線這些曲線叫機(jī)械曲線，而不算幾何曲線。同樣，他們把問(wèn)題分為平面的、立體的和曲線的三類(lèi)。帕普斯強(qiáng)調(diào)用平面或立體軌跡解問(wèn)題的重要性，因在那種情形下就可給出存在實(shí)解的準(zhǔn)則。

為什么希臘人要把他們的幾何限于直線和圓以及那些易于從兩者得出的曲線呢？一個(gè)理由是這樣可以解決證明一個(gè)幾何圖形的存在問(wèn)題。希臘人特別是亞里士多德曾指出必須保證所引用的概念不自相矛盾，必須證明它們存在。為解決這問(wèn)題，希臘人至少?gòu)脑瓌t上只承認(rèn)那些可以作圖的概念是存在的。直線和圓是在公設(shè)里承認(rèn)它們是可作的，但其它圖形則必須從圓和直線來(lái)作出。

用作圖來(lái)證明存在的做法并未推行到三維圖形上。這里希臘人只是承認(rèn)了直觀上看來(lái)清楚的事實(shí)，例如球、圓柱和圓錐等旋轉(zhuǎn)形體的存在。對(duì)圓錐曲線的承認(rèn)頗為勉強(qiáng)。這一點(diǎn)笛卡爾在其《幾何》（La Géométrie）第二篇的開(kāi)頭處曾指出：“誠(chéng)然，圓錐曲線在古代幾何里從沒(méi)有正式獲得承認(rèn)……”

第二個(gè)原因來(lái)自柏拉圖，他認(rèn)為觀念要清楚才能加以接受。希臘人雖未明確定義整數(shù)但覺(jué)得整數(shù)觀念本身可以當(dāng)作一個(gè)清楚的概念來(lái)接受，而幾何圖形則應(yīng)該搞得明確些。直線、圓以及由它們得出的圖形是清楚的，而用機(jī)械工具（尺規(guī)之外）作出的圖形則不然，所以是不容許的。把圖形只限于那種清楚的，這就產(chǎn)生出簡(jiǎn)單、秩序井然、和諧與美妙的幾何學(xué)。

由于堅(jiān)持要把他們的幾何學(xué)搞得統(tǒng)一、完整和簡(jiǎn)單，由于把抽象思維同實(shí)用分開(kāi)，所以古典希臘幾何成為一門(mén)成就有限的學(xué)科。它狹隘了人們的視界，使他們的頭腦接受不到新思想和新方法。它的內(nèi)部存在著使它自己死亡的種子。如果沒(méi)有亞歷山大文化開(kāi)闊了希臘數(shù)學(xué)家的眼界，那么它那狹隘的活動(dòng)領(lǐng)域、局促的觀點(diǎn)、在美學(xué)上的限制，很可能使它的的發(fā)展受到限制。

希臘人的哲學(xué)思想又從另一方面限制了希臘數(shù)學(xué)的發(fā)展。在整個(gè)古典時(shí)期，他們相信數(shù)學(xué)事實(shí)不是人創(chuàng)造的，而是先于人而存在的。人只要肯定這些事實(shí)并記錄下來(lái)即可。柏拉圖在其《特埃特圖斯篇Theaetetus》一書(shū)中把探索知識(shí)比作在一個(gè)鳥(niǎo)族館中捕鳥(niǎo)。那些鳥(niǎo)是已經(jīng)被人網(wǎng)起來(lái)的，人只要進(jìn)去抓就是了。

希臘人未能領(lǐng)悟無(wú)窮大、無(wú)窮小和無(wú)窮步驟，對(duì)無(wú)窮的空間望而生畏。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把善與惡同有限與無(wú)限聯(lián)系起來(lái)。亞里士多德說(shuō)無(wú)窮是不完美的、未完成的，因而是不可思議的；它是不成形的、混亂的。只有那些限定而分明的東西才有其本性可言。從歐幾里得對(duì)直線和平行公理的敘述可看出他不愿涉及無(wú)窮大。他并不談伸向無(wú)窮遠(yuǎn)的兩根直線也不直接給出兩平行直線存在的條件，只提出兩直線相交于某有限點(diǎn)處的條件。

在點(diǎn)與直線的關(guān)系以及離散與連續(xù)的關(guān)系里要涉及無(wú)窮小概念，而芝諾的悖論很可能使希臘人不敢觸及這一概念。由于他們怕無(wú)窮步驟，所以他們也與極限步驟失之交臂。他們用一正多邊形來(lái)接近圓時(shí)滿足于使其相差小于任一給定的量，但總留下一些量。因此這一步驟在直觀上仍很清楚，而極限步驟則要用無(wú)窮小。

三、希臘人留給后代的問(wèn)題

由于他們未能把無(wú)理量接受為數(shù)，于是不可公度比是否可指定其為一數(shù)而用算術(shù)來(lái)處理就成為問(wèn)題。希臘人甚至對(duì)整數(shù)對(duì)整數(shù)之比都沒(méi)有奠立邏輯基礎(chǔ)，他們只提供頗為含糊的定義。這樣希臘人就留下兩門(mén)截然不同的、發(fā)展得不平衡的數(shù)學(xué)。一門(mén)是嚴(yán)格的、演繹式的、有系統(tǒng)的幾何學(xué)，一門(mén)是憑直觀的、經(jīng)驗(yàn)的算術(shù)及其到代數(shù)的推廣。直到17和18世紀(jì)情形依然如此，那時(shí)代數(shù)和微積分已經(jīng)廣為流行了，然而所謂嚴(yán)格數(shù)學(xué)仍然是指幾何。

歐幾里得幾何限于能用尺規(guī)作出的概念，使數(shù)學(xué)有待完成兩項(xiàng)任務(wù)。第一項(xiàng)任務(wù)是特殊的，即化圓為方、三等分角、立方倍積。第二項(xiàng)任務(wù)是把存在性的準(zhǔn)則放寬。以作圖作為證明存在性的一種方法，對(duì)于那些應(yīng)該為數(shù)學(xué)所考慮的概念來(lái)說(shuō)是限制太嚴(yán)了。為使其內(nèi)部臻于完善而對(duì)研究具體世界更為有用，數(shù)學(xué)必須在證明存在性問(wèn)題上不受狹隘的幾何方法的束縛。

許多希臘人想用其他公理來(lái)代替平行公理，或根據(jù)其余九個(gè)公理來(lái)證明它。托勒密曾對(duì)此寫(xiě)了一篇論文。普羅克洛斯在評(píng)注歐幾里得著作時(shí)提到了托勒密證明平行公設(shè)的嘗試，并且他自己也想作出證明。辛普利修斯提到另外一些研究過(guò)這一問(wèn)題的人，并進(jìn)一步指出“古代”人們反對(duì)使用平行公設(shè)。

同平行公設(shè)問(wèn)題密切相關(guān)的是物理空間是否為無(wú)限的問(wèn)題。歐幾里得在公設(shè)2中假定一直線段可按需要隨意延長(zhǎng)，他用了這一事實(shí)，但只為得出一個(gè)較大的長(zhǎng)度。海倫對(duì)這些定理給出新的證明，避免了延長(zhǎng)直線的做法，以堵反對(duì)者否認(rèn)有足夠空間可供延長(zhǎng)的口實(shí)。亞里士多德考慮過(guò)空間是否為無(wú)限的問(wèn)題，并列舉六點(diǎn)非數(shù)學(xué)上的理由來(lái)論證其為有限。他預(yù)料到這個(gè)問(wèn)題是難處理的。

留給后代的另一個(gè)問(wèn)題是計(jì)算面積和體積。窮竭法至少在兩方面是有缺點(diǎn)的。第一是對(duì)每個(gè)問(wèn)題都需要想出一種巧妙的方案來(lái)逼近所論的面積或體積，使人感到有智窮慮竭之時(shí)。其次是希臘人所取得的結(jié)果通常僅僅是指出所要求的面積或體積等于某一較簡(jiǎn)圖形的面積或體積，而后者的數(shù)值仍是未知的。但在應(yīng)用上所需要的恰恰是數(shù)量上的知識(shí)。

四、希臘數(shù)學(xué)的衰替

大約從公元的年代開(kāi)始，希臘數(shù)學(xué)的活動(dòng)能力逐漸衰退了。在這新時(shí)代里，托勒密和丟番圖的工作是唯一重要的貢獻(xiàn)。帕普斯和普羅克洛斯這兩大評(píng)注家是值得注意的，但他們只不過(guò)是寫(xiě)了這個(gè)時(shí)代最后的一頁(yè)。

第一次災(zāi)殃是羅馬人的來(lái)臨，它們?cè)跀?shù)學(xué)史上的全部作用是一種破壞因素。羅馬的數(shù)學(xué)不值一提。羅馬人活躍于歷史舞臺(tái)上的時(shí)期大約是從公元前750年到公元476年，至少?gòu)墓?00年起羅馬人就同希臘人有密切接觸。但在這整個(gè)1100年之間沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)一個(gè)羅馬數(shù)學(xué)家。

“數(shù)學(xué)”一詞在羅馬人那里的名聲是不好的，因?yàn)樗麄兎Q(chēng)占星術(shù)士為數(shù)學(xué)家。羅馬皇帝戴克里先（Diocletian，245—316）把幾何區(qū)別于數(shù)學(xué)。前者是要學(xué)習(xí)并應(yīng)用于公眾事務(wù)的，但“數(shù)學(xué)方術(shù)”（意即占星術(shù)）則被視為不法而完全禁止。禁止占星術(shù)的羅馬法律“數(shù)學(xué)和惡行禁典”在中世紀(jì)的歐洲仍被援用。但羅馬皇帝還是在宮廷里供養(yǎng)占星術(shù)士，以期萬(wàn)一他們的預(yù)言能夠靈驗(yàn)。羅馬人對(duì)數(shù)學(xué)的態(tài)度用西塞羅的話來(lái)說(shuō)：“希臘人對(duì)幾何學(xué)家尊崇備至，所以他們的哪一項(xiàng)工作都沒(méi)有像數(shù)學(xué)那樣獲得出色的進(jìn)展。但我們把這項(xiàng)方術(shù)限定在對(duì)度量和計(jì)算有用的范圍內(nèi)。”

羅馬君王不像托勒密諸王那樣支持?jǐn)?shù)學(xué)，而羅馬人也不懂純粹科學(xué)。他們竟然不想發(fā)展數(shù)學(xué)一事是令人驚訝的，因?yàn)樗麄兘y(tǒng)治了一個(gè)世界范圍的帝國(guó)，并且確實(shí)需要解決一些實(shí)際問(wèn)題。我們從羅馬人的歷史里所獲得的教訓(xùn)是，凡鄙視數(shù)學(xué)家及科學(xué)家高度理論性工作并斥其為無(wú)用的人民，他們對(duì)重要實(shí)際成果如何產(chǎn)生是盲目無(wú)知的。

公元前47年，凱撒縱火焚毀停泊在亞歷山大港的埃及艦隊(duì)，大火延及該城，燒掉了圖書(shū)館。兩個(gè)半世紀(jì)以來(lái)收集的藏書(shū)和50萬(wàn)份手稿毀于一旦。所幸的是藏書(shū)過(guò)擠的圖書(shū)館里有許多書(shū)容納不下存放在塞拉皮斯（Serapis）神廟里，所以那些書(shū)免于被焚。此外，死于公元前133年的帕加蒙的阿塔盧斯（Attalus）三世曾把他的大量藏書(shū)留在羅馬。安東尼（Mark Anthony）把這批藏書(shū)贈(zèng)送給克婁巴特拉女皇，使神廟里又增添了這些圖書(shū)?？偟牟貢?shū)量仍是很巨大的。

羅馬人熱衷于擴(kuò)張他們的政治勢(shì)力，但不熱心文化傳播。大多數(shù)羅馬君王是私欲之徒，把控制的每個(gè)國(guó)家都搞得民窮財(cái)盡。

從數(shù)學(xué)史的觀點(diǎn)看，基督教興起的后果是不幸的。雖然基督教領(lǐng)袖們采納了希臘人和東方的許多無(wú)稽之談和迷信習(xí)慣，以使基督教易于為新改宗的人所接受，但他們卻反對(duì)異教徒的學(xué)問(wèn)，嘲笑數(shù)學(xué)、天文和物理科學(xué)；基督徒是不許沾染希臘學(xué)術(shù)這個(gè)臟東西的?；浇屉m然受到羅馬人的殘酷迫害，但它仍廣為傳播并且勢(shì)力大到使君士坦丁王不得不奉它為羅馬帝國(guó)的國(guó)教。從此以后基督徒更有力量來(lái)摧毀希臘文化了。狄?jiàn)W多西王禁止人民信奉異教，并在392年下令拆毀希臘神廟。在整個(gè)帝國(guó)內(nèi)異教徒受人襲擊和屠殺。亞歷山大時(shí)期著名女?dāng)?shù)學(xué)家希帕蒂婭的命運(yùn)標(biāo)志著這一時(shí)代的終結(jié)。因?yàn)樗豢戏艞壪ＥD宗教，狂熱的基督徒在亞歷山大的街道上抓住了她，把她撕得粉碎。

在狄?jiàn)W多西宣布取締異教的那一年，基督徒焚毀了當(dāng)時(shí)唯一尚存大量希臘圖書(shū)的塞拉皮斯神廟。據(jù)估計(jì)有30萬(wàn)種手稿被焚。其他許多寫(xiě)在羊皮紙上的著作被基督徒洗刷掉用來(lái)寫(xiě)他們自己的著作。592年?yáng)|羅馬皇帝查士丁尼封閉所有希臘哲學(xué)學(xué)校，包括柏拉圖的學(xué)院在內(nèi)。許多希臘學(xué)者離開(kāi)東羅馬，其中有些人如辛普利修斯遷居波斯。

新崛起的回教徒在640年征服埃及，給予亞歷山大以最后的打擊。殘留的書(shū)籍被阿拉伯征服者奧馬爾（Omar）下令焚毀，其理由是：“這些書(shū)的內(nèi)容或者是可蘭經(jīng)里已有的，那樣的話我們不需要讀它們；或者它們的內(nèi)容是違反可蘭經(jīng)的，那樣的話我們不該去讀它們。”因此在亞歷山大的浴堂里接連有六個(gè)月用羊皮紙來(lái)燒水。

在回教徒攻占亞歷山大之后，大部分學(xué)者遷居到東羅馬首都君士坦丁堡。雖然在拜占庭不友好的基督教氣氛中不能按希臘思想的軌道充分活動(dòng)，但學(xué)者及其著作匯集到一個(gè)比較安全的地方，卻增加了800年后流傳給歐洲的那個(gè)知識(shí)寶庫(kù)。

亞歷山大時(shí)期的希臘文明是在其行將跨進(jìn)現(xiàn)代文明之際中止了它活躍的科學(xué)生命的。它具有難得的理論與實(shí)踐志趣上的結(jié)合，而這在其后1000年證明是多么富于成果。一直到它存在期間的最后幾個(gè)世紀(jì)，它始終享有思想自由，這是文化能繁榮昌盛所不可或缺的條件。它在其后文藝復(fù)興時(shí)代成為非常重要的幾個(gè)領(lǐng)域里展開(kāi)研究并作出了大的進(jìn)展：定量的平面和立體幾何、三角、代數(shù)、微積分和天文學(xué)。

下一講印度數(shù)學(xué)。