1.回歸損失函數(shù)

回歸模型中的三種損失函數(shù)包括：均方誤差（Mean Square Error）、平均絕對誤差（Mean Absolute Error，MAE）、Huber Loss。

1. 均方誤差（Mean Square Error，MSE）

均方誤差指的就是模型預(yù)測值 f(x) 與樣本真實(shí)值 y 之間距離平方的平均值。其公式如下所示：

其中，yi 和 f(xi) 分別表示第 i 個樣本的真實(shí)值和預(yù)測值，m 為樣本個數(shù)。

為了簡化討論，忽略下標(biāo) i，m = 1，以 y-f(x) 為橫坐標(biāo)，MSE 為縱坐標(biāo)，繪制其損失函數(shù)的圖形：

MSE 曲線的特點(diǎn)是光滑連續(xù)、可導(dǎo)，便于使用梯度下降算法，是比較常用的一種損失函數(shù)。而且，MSE 隨著誤差的減小，梯度也在減小，這有利于函數(shù)的收斂，即使固定學(xué)習(xí)因子，函數(shù)也能較快取得最小值。

平方誤差有個特性，就是當(dāng) yi 與 f(xi) 的差值大于 1 時(shí)，會增大其誤差；當(dāng) yi 與 f(xi) 的差值小于 1 時(shí)，會減小其誤差。這是由平方的特性決定的。也就是說， MSE 會對誤差較大（>1）的情況給予更大的懲罰，對誤差較?。?lt;1）的情況給予更小的懲罰。從訓(xùn)練的角度來看，模型會更加偏向于懲罰較大的點(diǎn)，賦予其更大的權(quán)重。

如果樣本中存在離群點(diǎn)，MSE 會給離群點(diǎn)賦予更高的權(quán)重，但是卻是以犧牲其他正常數(shù)據(jù)點(diǎn)的預(yù)測效果為代價(jià)，這最終會降低模型的整體性能。我們來看一下使用 MSE 解決含有離群點(diǎn)的回歸模型。

擬合結(jié)果如下圖所示：

可見，使用 MSE 損失函數(shù)，受離群點(diǎn)的影響較大，雖然樣本中只有 5 個離群點(diǎn)，但是擬合的直線還是比較偏向于離群點(diǎn)。這往往是我們不希望看到的。

2. 平均絕對誤差（Mean Absolute Error，MAE）

平均絕對誤差指的就是模型預(yù)測值 f(x) 與樣本真實(shí)值 y 之間距離的平均值。其公式如下所示：

為了簡化討論，忽略下標(biāo) i，m = 1，以 y-f(x) 為橫坐標(biāo)，MAE 為縱坐標(biāo)，繪制其損失函數(shù)的圖形：

直觀上來看，MAE 的曲線呈 V 字型，連續(xù)但在 y-f(x)=0 處不可導(dǎo)，計(jì)算機(jī)求解導(dǎo)數(shù)比較困難。而且 MAE 大部分情況下梯度都是相等的，這意味著即使對于小的損失值，其梯度也是大的。這不利于函數(shù)的收斂和模型的學(xué)習(xí)。

值得一提的是，MAE 相比 MSE 有個優(yōu)點(diǎn)就是 MAE 對離群點(diǎn)不那么敏感，更有包容性。因?yàn)?MAE 計(jì)算的是誤差 y-f(x) 的絕對值，無論是 y-f(x)>1 還是 y-f(x)<1，沒有平方項(xiàng)的作用，懲罰力度都是一樣的，所占權(quán)重一樣。針對 MSE 中的例子，我們來使用 MAE 進(jìn)行求解，看下擬合直線有什么不同。

X = np.vstack((np.ones_like(x),x))    # 引入常數(shù)項(xiàng) 1
m = X.shape[1]
# 參數(shù)初始化
W = np.zeros((1,2))

# 迭代訓(xùn)練 
num_iter = 20
lr = 0.01
J = []
for i in range(num_iter):
   y_pred = W.dot(X)
   loss = 1/m * np.sum(np.abs(y-y_pred))
   J.append(loss)
   mask = (y-y_pred).copy()
   mask[y-y_pred > 0] = 1
   mask[mask <= 0] = -1
   W = W + lr * 1/m * mask.dot(X.T)

# 作圖
y1 = W[0,0] + W[0,1]*1
y2 = W[0,0] + W[0,1]*20
plt.scatter(x, y)
plt.plot([1,20],[y1,y2],'r--')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('MAE')
plt.show()

注意上述代碼中對 MAE 計(jì)算梯度的部分。

擬合結(jié)果如下圖所示：

顯然，使用 MAE 損失函數(shù)，受離群點(diǎn)的影響較小，擬合直線能夠較好地表征正常數(shù)據(jù)的分布情況。這一點(diǎn)，MAE 要優(yōu)于 MSE。二者的對比圖如下：

選擇 MSE 還是 MAE 呢？

實(shí)際應(yīng)用中，我們應(yīng)該選擇 MSE 還是 MAE 呢？從計(jì)算機(jī)求解梯度的復(fù)雜度來說，MSE 要優(yōu)于 MAE，而且梯度也是動態(tài)變化的，能較快準(zhǔn)確達(dá)到收斂。但是從離群點(diǎn)角度來看，如果離群點(diǎn)是實(shí)際數(shù)據(jù)或重要數(shù)據(jù)，而且是應(yīng)該被檢測到的異常值，那么我們應(yīng)該使用MSE。另一方面，離群點(diǎn)僅僅代表數(shù)據(jù)損壞或者錯誤采樣，無須給予過多關(guān)注，那么我們應(yīng)該選擇MAE作為損失。

3. Huber Loss

既然 MSE 和 MAE 各有優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，那么有沒有一種激活函數(shù)能同時(shí)消除二者的缺點(diǎn)，集合二者的優(yōu)點(diǎn)呢？答案是有的。Huber Loss 就具備這樣的優(yōu)點(diǎn)，其公式如下：

Huber Loss 是對二者的綜合，包含了一個超參數(shù) δ。δ 值的大小決定了 Huber Loss 對 MSE 和 MAE 的側(cè)重性，當(dāng) |y?f(x)| ≤ δ 時(shí)，變?yōu)?MSE；當(dāng) |y?f(x)| > δ 時(shí)，則變成類似于 MAE，因此 Huber Loss 同時(shí)具備了 MSE 和 MAE 的優(yōu)點(diǎn)，減小了對離群點(diǎn)的敏感度問題，實(shí)現(xiàn)了處處可導(dǎo)的功能。

通常來說，超參數(shù) δ 可以通過交叉驗(yàn)證選取最佳值。下面，分別取 δ = 0.1、δ = 10，繪制相應(yīng)的 Huber Loss，如下圖所示：

Huber Loss 在 |y?f(x)| > δ 時(shí)，梯度一直近似為 δ，能夠保證模型以一個較快的速度更新參數(shù)。當(dāng) |y?f(x)| ≤ δ 時(shí)，梯度逐漸減小，能夠保證模型更精確地得到全局最優(yōu)值。因此，Huber Loss 同時(shí)具備了前兩種損失函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)。

下面，我們用 Huber Loss 來解決同樣的例子。

注意上述代碼中對 Huber Loss 計(jì)算梯度的部分。

擬合結(jié)果如下圖所示：

可見，使用 Huber Loss 作為激活函數(shù)，對離群點(diǎn)仍然有很好的抗干擾性，這一點(diǎn)比 MSE 強(qiáng)。另外，我們把這三種損失函數(shù)對應(yīng)的 Loss 隨著迭代次數(shù)變化的趨勢繪制出來：

MSE：

MAE：

Huber Loss：

對比發(fā)現(xiàn)，MSE 的 Loss 下降得最快，MAE 的 Loss 下降得最慢，Huber Loss 下降速度介于 MSE 和 MAE 之間。也就是說，Huber Loss 彌補(bǔ)了此例中 MAE 的 Loss 下降速度慢的問題，使得優(yōu)化速度接近 MSE。

最后，我們把以上介紹的回歸問題中的三種損失函數(shù)全部繪制在一張圖上。

好了，以上就是回歸問題 3 種常用的損失函數(shù)包括：MSE、MAE、Huber Loss 的簡單介紹和詳細(xì)對比。

0.模型輸出 

在討論分類問題的損失函數(shù)之前，我想先說一下模型的輸出 g(s)。一般來說，二分類機(jī)器學(xué)習(xí)模型包含兩個部分：線性輸出 s 和非線性輸出 g(s)。其中，線性輸出一般是模型輸入 x 與 參數(shù) w 的乘積，簡寫成：s = wx；非線性輸出一般是 Sigmoid 函數(shù)，其表達(dá)式如下：

經(jīng)過 Sigmoid 函數(shù)，g(s) 值被限定在 [0,1] 之間，若 s ≥ 0，g(s) ≥ 0.5，則預(yù)測為正類；若 s < 0，g(s) < 0.5，則預(yù)測為負(fù)類。

關(guān)于正類和負(fù)類的表示，通常有兩種方式：一種是用 {+1, -1} 表示正負(fù)類；另一種是用 {1, 0} 表示正負(fù)類。下文默認(rèn)使用 {+1, -1}，因?yàn)檫@種表示方法有種好處。如果使用 {+1, -1} 表示正負(fù)類，我們來看預(yù)測類別與真實(shí)類別的四種情況：

• s ≥ 0, y = +1: 預(yù)測正確

• s ≥ 0, y = -1: 預(yù)測錯誤

• s < 0, y = +1: 預(yù)測錯誤

• s < 0, y = -1: 預(yù)測正確

發(fā)現(xiàn)了嗎？顯然，上面四個式子可以整合成直接看 ys 的符號即可：

• 若 ys ≥ 0，則預(yù)測正確

• 若 ys < 0，則預(yù)測錯誤

這里的 ys 類似與回歸模型中的殘差 s - y。因此，在比較分類問題的各個損失函數(shù)的時(shí)候，我們就可以把 ys 當(dāng)作自變量 x 軸即可，這樣更加方便。

0-1 Loss 是最簡單也是最容易直觀理解的一種損失函數(shù)。對于二分類問題，如果預(yù)測類別 y_hat 與真實(shí)類別 y 不同，則 L=1；如果預(yù)測類別 y_hat 與 真實(shí)類別 y 相同，則 L=0（L 表示損失函數(shù)）。0-1 Loss 的表達(dá)式為：

0-1 Loss 的曲線如下圖所示：

0-1 Loss 的特點(diǎn)就是非常直觀容易理解。但是它存在兩個缺點(diǎn)：

• 0-1 Loss 對每個錯分類點(diǎn)都施以相同的懲罰（損失為 1），這樣對犯錯比較大的點(diǎn)（ys 遠(yuǎn)小于 0）無法進(jìn)行較大的懲罰，所有犯錯點(diǎn)都同等看待，這不符合常理，不太合適。

• 0-1 Loss 不連續(xù)、非凸、不可導(dǎo)，難以使用梯度優(yōu)化算法。

因此，實(shí)際應(yīng)用中，0-1 Loss 很少使用。

Cross Entropy Loss 是非常重要的損失函數(shù)，也是應(yīng)用最多的損失函數(shù)之一。二分類問題的交叉熵 Loss 主要有兩種形式，下面分別詳細(xì)介紹。

第一種形式是基于輸出標(biāo)簽 label 的表示方式為 {0,1}，也最為常見。它的 Loss 表達(dá)式為：

這個公式是如何推導(dǎo)的呢？很簡單，從極大似然性的角度出發(fā)，預(yù)測類別的概率可以寫成：

我們可以這么來看，當(dāng)真實(shí)樣本標(biāo)簽 y = 1 時(shí)，上面式子第二項(xiàng)就為 1，概率等式轉(zhuǎn)化為：

當(dāng)真實(shí)樣本標(biāo)簽 y = 0 時(shí)，上面式子第一項(xiàng)就為 1，概率等式轉(zhuǎn)化為：

我們希望的是概率 P(y|x) 越大越好。首先，我們對 P(y|x) 引入 log 函數(shù)，因?yàn)?log 運(yùn)算并不會影響函數(shù)本身的單調(diào)性。則有：

我們希望 log P(y|x) 越大越好，反過來，只要 log P(y|x) 的負(fù)值 -log P(y|x) 越小就行了。那我們就可以引入損失函數(shù)，且令 Loss = -log P(y|x) 即可。則得到損失函數(shù)為：

我們來看，當(dāng) y = 1 時(shí)：

因?yàn)椋?br>

所以，代入到 L 中，得：

這時(shí)候，Loss 的曲線如下圖所示：

從圖中明顯能夠看出，s 越大于零，L 越小，函數(shù)的變化趨勢也完全符合實(shí)際需要的情況。

當(dāng) y = 0 時(shí)：

對上式進(jìn)行整理，同樣能得到：

這時(shí)候，Loss 的曲線如下圖所示：

從圖中明顯能夠看出，s 越小于零，L 越小，函數(shù)的變化趨勢也完全符合實(shí)際需要的情況。

第二種形式是基于輸出標(biāo)簽 label 的表示方式為 {-1,+1}，也比較常見。它的 Loss 表達(dá)式為：

下面對上式做個簡單的推導(dǎo)，我們在 0 小節(jié)說過，ys 的符號反映了預(yù)測的準(zhǔn)確性。除此之外，ys 的數(shù)值大小也反映了預(yù)測的置信程度。所以，從概率角度來看，預(yù)測類別的概率可以寫成：

分別令 y = +1 和 y = -1 就能很容易理解上面的式子。

接下來，同樣引入 log 函數(shù)，要讓概率最大，反過來，只要其負(fù)數(shù)最小即可。那么就可以定義相應(yīng)的損失函數(shù)為：

這時(shí)候，我們以 ys 為橫坐標(biāo)，可以繪制 Loss 的曲線如下圖所示：

其實(shí)上面介紹的兩種形式的交叉熵 Loss 是一樣的，只不過由于標(biāo)簽 label 的表示方式不同，公式稍有變化。標(biāo)簽用 {-1,+1} 表示的好處是可以把 ys 整合在一起，作為橫坐標(biāo)，容易作圖且具有實(shí)際的物理意義。

總結(jié)一下，交叉熵 Loss 的優(yōu)點(diǎn)是在整個實(shí)數(shù)域內(nèi)，Loss 近似線性變化。尤其是當(dāng) ys << 0 的時(shí)候，Loss 更近似線性。這樣，模型受異常點(diǎn)的干擾就較小。而且，交叉熵 Loss 連續(xù)可導(dǎo)，便于求導(dǎo)計(jì)算，是使用最廣泛的損失函數(shù)之一。

Hinge Loss，又稱合頁損失，其表達(dá)式如下：

Hinge Loss 的曲線如下圖所示：

Hinge Loss 的形狀就像一本要合上的書，故稱為合頁損失。顯然，只有當(dāng) ys < 1 時(shí)，Loss 才大于零；對于 ys > 1 的情況，Loss 始終為零。

Hinge Loss 一般多用于支持向量機(jī)（SVM）中，體現(xiàn)了 SVM 距離最大化的思想。而且，當(dāng) Loss 大于零時(shí)，是線性函數(shù)，便于梯度下降算法求導(dǎo)。

Hinge Loss 的另一個優(yōu)點(diǎn)是使得 ys > 0 的樣本損失皆為 0，由此帶來了稀疏解，使得 SVM 僅通過少量的支持向量就能確定最終超平面。

Exponential Loss，又稱指數(shù)損失，其表達(dá)式如下：

可以對上式進(jìn)行一個直觀的理解，類似于上文提到的第二種形式的交叉熵 Loss，去掉 log 和 log 中的常數(shù) 1，并不影響 Loss 的單調(diào)性。因此，推導(dǎo)得出了 Exponential Loss 的表達(dá)式。

Exponential Loss 的曲線如下圖所示：

Exponential Loss 與交叉熵 Loss 類似，但它是指數(shù)下降的，因此梯度較其它 Loss 來說，更大一些。

Exponential Loss 一般多用于AdaBoost 中。因?yàn)槭褂?Exponential Loss 能比較方便地利用加法模型推導(dǎo)出 AdaBoost算法。

在之前介紹回歸損失函數(shù)，我們介紹過 Huber Loss，它集合了 MSE 和 MAE 的優(yōu)點(diǎn)。Huber Loss 也能應(yīng)用于分類問題中，稱為 Modified Huber Loss，其表達(dá)是如下：

Modified Huber Loss 的曲線如下圖所示：

從表達(dá)式和 Loss 圖形上看，Modified Huber Loss 結(jié)合了 Hinge Loss 和 交叉熵 Loss 的優(yōu)點(diǎn)。一方面能在 ys > 1 時(shí)產(chǎn)生稀疏解提高訓(xùn)練效率；另一方面對于 ys < ?1 樣本的懲罰以線性增加，這意味著受異常點(diǎn)的干擾較少。scikit-learn 中的 SGDClassifier 就使用了 Modified Huber Loss。

對于多分類問題，也可以使用 Softmax Loss。

機(jī)器學(xué)習(xí)模型的 Softmax 層，正確類別對于的輸出是：

其中，C 為類別個數(shù)，小寫字母 s 是正確類別對應(yīng)的 Softmax 輸入，大寫字母 S 是正確類別對應(yīng)的 Softmax 輸出。

由于 log 運(yùn)算符不會影響函數(shù)的單調(diào)性，我們對 S 進(jìn)行 log 操作。另外，我們希望  log(S) 越大越好，即正確類別對應(yīng)的相對概率越大越好，那么就可以對 log(S) 前面加個負(fù)號，來表示損失函數(shù)：

Softmax Loss 的曲線如下圖所示：

上圖中，當(dāng) s << 0 時(shí)，Softmax 近似線性；當(dāng) s>>0 時(shí)，Softmax 趨向于零。Softmax 同樣受異常點(diǎn)的干擾較小，多用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)多分類問題中。

最后，我們將 0-1 Loss、Cross Entropy Loss、Hinge Loss、Exponential Loss、Modified Huber Loss 畫在一張圖中：

上圖 ys 的取值范圍是 [-2,+2]，若我們把 ys 的坐標(biāo)范圍取得更大一些，上面 5 種 Loss 的差別會更大一些，見下圖：

顯然，這時(shí)候 Exponential Loss 會遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其它 Loss。從訓(xùn)練的角度來看，模型會更加偏向于懲罰較大的點(diǎn)，賦予其更大的權(quán)重。如果樣本中存在離群點(diǎn)，Exponential Loss 會給離群點(diǎn)賦予更高的權(quán)重，但卻可能是以犧牲其他正常數(shù)據(jù)點(diǎn)的預(yù)測效果為代價(jià)，可能會降低模型的整體性能，使得模型不夠健壯（robust）。

相比 Exponential Loss，其它四個 Loss，包括 Softmax Loss，都對離群點(diǎn)有較好的“容忍性”，受異常點(diǎn)的干擾較小，模型較為健壯。

好了，以上就是總結(jié)的幾個常用的損失函數(shù)，知道這些細(xì)節(jié)和原理，對我們是很有幫助的。希望本文對你有所幫助～

參考文獻(xiàn)：

http://www./html/782/201806/2247495489/1.html

https://www.cnblogs.com/massquantity/p/8964029.html

備注：公眾號菜單包含了整理了一本AI小抄，非常適合在通勤路上用學(xué)習(xí)。