【將軍飲馬的由來】

傳說在古羅馬時代，亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題．將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的B地開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？

據(jù)說海倫略加思索就解決了它．從此，這個被稱為“將軍飲馬”的問題廣泛流傳．

將這個問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題就是：如圖，點A，B位于直線l的同一側(cè)，在直線l上確定一點P，使得PA+PB最短.

分析：根據(jù)波利亞怎樣解題的四個步驟，拿到一個題目后，首先理解題意：

未知量是什么？ 確定一點P，使得PA+PB最短；

條件是什么？ 點A,B位于直線l同側(cè)，點 P是直線l上一點.

其次，擬定方案：

你以前見過它嗎？ 沒有

你知道一道與它有關(guān)的題目嗎？有，譬如下題：

如圖，點A，B分別位于直線l兩側(cè)，在直線l上確定一點P，使得PA+PB最短.

根據(jù)兩點之間線段最短可得，AB<=PA+PB,當點A，P，B三點共線時，PA+PB最短，此時，PA+PB=AB。所以連接AB，線段AB與直線l的交點即為所求的點P.

如下圖：

這里有一道題目和你的題目有關(guān)而且以前解過。你能利用它嗎？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了有可能應(yīng)用它，你是否應(yīng)該引入某個輔助元素？

根據(jù)上面的解題過程可以看到，當兩點分別位于直線兩側(cè)時，根據(jù)兩點之間線段最短很容易得到點P的位置。結(jié)合這一經(jīng)驗，我們不妨這樣思考，如果能在直線l的另一側(cè)找到一個定點C，始終保持PB=PC，則問題PA+PB最短就轉(zhuǎn)化為PA+PC最短，再根據(jù)兩點之間線段最短可得，線段AC與直線l的交點就是所求作的點P?，F(xiàn)在我們來看點C的位置如何確定。因為PB=PC，根據(jù)到線段兩端點的距離相等的點在該線段的垂直平分線上可知，直線l是線段BC的垂直平分線.因此點B關(guān)于直線l的對稱點即為點C.

根據(jù)以上分析可知，作點B關(guān)于直線l的對稱點C，連接AC。則線段AC與直線l的交點即為所求作的點P.如下圖：

當然，對于本題也可以作點A關(guān)于直線l的對稱點A'，連接A'B，A'B和直線l的交點即為所求作的點P. 線段A'B的長度即為最短距離.

反思：在上面的解題過程中，利用軸對稱，將直線同側(cè)兩點中的一點對稱到另一側(cè)，將同側(cè)兩點到直線上一點的距離和最短問題，轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩點到直線上一點的距離和最短問題。再根據(jù)兩點之間線段最短使問題得以解決。注意將軍飲馬問題的重要特征是：兩定一動一直線（兩個定點：點A、B；一動：點P），動點P所在的直線即為對稱軸。這一點在運用中需要牢記。

【將軍飲馬模型的應(yīng)用】

將軍飲馬模型在求線段和最短的問題中應(yīng)用廣泛，凡是軸對稱圖形，都可以設(shè)計將軍飲馬問題.

【將軍飲馬之變形】

【變式一】如圖，點A(-4，5），點B(2，3)，點C、D是x軸上兩個動點（點D位于點C右側(cè)），且CD=2，求AC+CD+DB的最小值

解：將點A向右平移兩個單位得到點A'，則AA'=CD，且AA'//CD.

所以四邊形ACDA'是平行四邊形，則AA'=CD,AC=A'D（如下圖）

則AC+CD+DB的最小值就轉(zhuǎn)化為AA'+A'D+DB的最小值

因為CD是定值，即AA'是定值，所以只需求出A'D+DB的最小值即可，這樣就轉(zhuǎn)化為典型的“將軍飲馬”問題。

作點B關(guān)于x周的對稱點B'，連接A'B'.

A'B'和x軸的交點即為點D的位置.

分別表示出點A'和點B'的坐標，進而求出線段A'B'的長度.

A'B'+CD即為所求的最小值.

【變式二】如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E，F(xiàn)分別為BC，BD上的動點，BE=DF.則AE+AF的最小值為                             .

分析：本題要求AE+AF的最小值，讀題可知，點E，F(xiàn)都是動點，是一定兩動兩直線，而將軍飲馬問題是典型的兩定一動問題.如果能在平面內(nèi)找到一個定點G，使得EG=FA.則EA+FA的最小值問題就轉(zhuǎn)化為EA+EG的最小值問題，這樣兩動一定問題就轉(zhuǎn)化為我們熟悉的兩定一動問題。

解法一：在BD上截取BG=AD，如下圖:

易證△ADF≌△GBE（SAS），所以AF=GE.

由此AE+AF的最小值轉(zhuǎn)化為AE+EG的最小值.

這是一個典型的兩定一動一直線問題

作點G關(guān)于BC的對稱點H，則EG=EH

所以AE+AF=AE+EG=AE+EH

連接AH.AH<=AE+EH

AH即為AE+AF的最小值.

解法二:根據(jù)解法一，我們也可以這樣做.

在BC的右側(cè)作∠CBH=∠ADF，且BH=AD.

易證△ADF≌△HBE，所以GE=AF

由此AE+AF的最小值轉(zhuǎn)化為AE+EH的最小值，

易知當A、E、H三點共線時，AE+EH最小，即AE+AF最小

最小值為線段AH的長度.

前面兩種解法，都是以點E為公共端點進行轉(zhuǎn)化.當然我們也可以轉(zhuǎn)化為以點F為公共端點.

解法三:如下左圖，過點D作DG⊥BD，在垂線上截取DG=AB.

又因為DF=BE

所以△DFG≌△BEA（SAS）

所以FG=AE.

則AE+AF的最小值就轉(zhuǎn)化為AF+FG的最小值

由兩點之間線段最短可得，AF+FG>=AG,當A、F、G三點共線時取等號.

所以AE+AF的最小值為AG.

解法四:過點D作DG⊥BD，在垂線上截取DG=AB.

則△DFG≌△BEA（SAS）

所以FG=AE

此時AE+AF的最小值轉(zhuǎn)化為AF+FG的最小值.

作點G作BD的對稱點H（如下圖），則FG=FH.

AH<=AF+FH

所以AH的長度即為AE+AF的最小值.

解法五:過點F作FG⊥AD于點G.

【練習(xí)】

1、如圖，AD是等邊三角形ABC的高，E、F分別為線段AD、AC上的動點，且AE=CF，求BF+CE的最小值.

2、如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，∠BCD=60°，BC=1,M，N分別為AB、CD上的兩個動點，且BM=CN，當BN+CM最小時，求線段CN的長度.

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