我必須等多長時(shí)間才能上車？

誰不知道這種感覺：您步行去公交車站，等公共汽車，然后…等。 然后您再等一會。 還有更多。 有人告訴您，巴士平均每10分鐘一班。 現(xiàn)在您已經(jīng)等了10分鐘。 公共汽車現(xiàn)在不應(yīng)該到嗎？ 還有一個(gè)更緊迫的問題：您要等待多長時(shí)間？

答案是：持續(xù)10分鐘。 如果您假設(shè)任意兩輛公交車到來之間的時(shí)間都呈指數(shù)分布，則需要10分鐘。

這是矛盾的，令人驚訝，但這是事實(shí)。 它被稱為等待悖論。 這是我最喜歡的數(shù)學(xué)悖論之一。 我非常喜歡它，以至于在我們在公交車站等車的時(shí)候，有時(shí)我會隨機(jī)地把它告訴隨機(jī)的陌生人。

他們通常認(rèn)為我瘋了。

沒關(guān)系。

要了解等待悖論，我們首先需要了解概率分布。 什么是概率分布？

（連續(xù)）概率分布

隨機(jī)變量是一個(gè)變量，其值不是確定性的，而是取決于隨機(jī)性。 概率分布是描述此類隨機(jī)變量X的所有可能值以及該變量可能采用的這些值的概率的函數(shù)。

我們通?？梢詫⒏怕史植挤譃閮深悾?/p>

• 離散 和

• 連續(xù)

離散意味著我們的隨機(jī)變量只能采用有限多個(gè)或至少可計(jì)數(shù)的無限多個(gè)值。 在連續(xù)的情況下，隨機(jī)變量可以取無數(shù)個(gè)無限數(shù)量的值。 在大多數(shù)情況下，這基本上意味著離散隨機(jī)變量采用的數(shù)字為1、2、3…，而連續(xù)隨機(jī)變量可以為任何實(shí)數(shù)。

離散隨機(jī)變量的一個(gè)很好的例子是投幣或擲骰子，人口規(guī)模等。

連續(xù)隨機(jī)變量的一個(gè)很好的例子是距離，身體高度，體重等等-基本上，任何可能是任何實(shí)數(shù)值或?qū)崝?shù)子集的東西。

在這個(gè)故事中，我們將只討論連續(xù)概率分布。

可以使用累積概率分布函數(shù)（通常用F（x）表示）來描述（連續(xù)）概率分布。 如果F（x）是可微的，即存在該函數(shù)F（x）的導(dǎo)數(shù)，則該導(dǎo)數(shù)稱為概率密度函數(shù)，并用f（x）表示。

旁注：實(shí)際上，F(xiàn)（x）幾乎在任何地方都需要可微，但是對于我們將使用的示例，我們可以說F（x）需要可微，而f（x）是F的導(dǎo)數(shù) （X）。

累積分布函數(shù)（cdf F（x））

隨機(jī)變量X（也稱為cdf）的累積概率分布函數(shù)F（x）= P（X≤x）主要具有兩個(gè)屬性：

• 它在單調(diào)增加

• 它采用0到1之間的值。

概率密度函數(shù)（pdf f（x））

概率密度函數(shù)f（x），也稱為pdf，主要具有兩個(gè)屬性：

• 它只需要正值

• f（x）與x軸之間的區(qū)域?yàn)?。

概率分布的pdf不一定存在，而cdf總是存在，即使我們可能不總是能夠使用已知的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)將其寫下來。 一個(gè)很好的例子就是正態(tài)分布，人們通常會知道著名的鐘形曲線，即它的pdf，但是對于cdf，我們通常只寫pdf的積分而不是明確地寫它。

如果pdf存在，我們可以用它來計(jì)算隨機(jī)變量X的期望值。

期望值E（X）

連續(xù)隨機(jī)變量X的期望值E（X）然后由

期望值的解釋是什么？

好吧，這個(gè)名稱有點(diǎn)讓人誤解，因?yàn)樗皇悄谕闹担侨绻覀儍H經(jīng)常重復(fù)進(jìn)行一次實(shí)驗(yàn)，隨機(jī)變量將取的平均值！ 實(shí)際上，我們可能永遠(yuǎn)也觀察不到期望值。

讓我舉一個(gè)例子來理解這一點(diǎn)。 假設(shè)我們進(jìn)行了一個(gè)（離散的）實(shí)驗(yàn)，其期望值為0.5，即1000次。 如果我們將所有觀測值相加并除以1000，它將非常接近我們的期望值0.5。 這是由于一個(gè)定理稱為大數(shù)定律。

例如，假設(shè)您扔了一枚硬幣1000次。 如果獲得正面評價(jià)，您將獲得1分。 如果是反面，您將獲得0分。 隨機(jī)變量X描述了您扔硬幣一次時(shí)獲得的分?jǐn)?shù)。

如果它是一個(gè)公平的硬幣，它的期望值是

E（X）= 0.5 * 1 + 0.5 * 0 = 0.5，

使用期望值的真實(shí)定義來計(jì)算。

另外，在將硬幣投入1000次之后，您應(yīng)該在獲得1000次投入后獲得500點(diǎn)積分，因此期望值將為500/1000 = 0.5，但這是我們在拋硬幣時(shí)永遠(yuǎn)無法達(dá)到的值！

指數(shù)分布

讓我們看一下指數(shù)分布。 這是我最喜歡的概率分布。 為什么？ 因?yàn)樗唵?，美觀且充滿驚喜。

參數(shù)λ> 0的指數(shù)分布的cdf由下式給出

pdf由

然后我們可以通過

Calculating the expected value of E(X) for an exponentially distributed random variable X using integration by parts.

我們還可以為幾個(gè)不同的參數(shù)λ（例如，對于λ= 0.3，λ= 1和λ= 3）繪制pdf，以了解其行為。

等待的悖論

現(xiàn)在讓我們回到等待悖論。 我們假設(shè)任何兩個(gè)到達(dá)之間的時(shí)間是獨(dú)立的，并且以λ= 0.1分鐘呈指數(shù)分布。 這意味著兩次到達(dá)之間的預(yù)期時(shí)間為

E（X）= 1 /λ= 1 / 0.1 = 10

分鐘或平均每10分鐘一班。

令X為描述兩次到達(dá)之間時(shí)間的隨機(jī)變量。

現(xiàn)在，我們說，自從最后一班車到達(dá)以來已經(jīng)過了幾分鐘。 我們必須再等待t分鐘的概率是多少，即兩次到達(dá)之間的時(shí)間為s + t或以數(shù)學(xué)術(shù)語表示的概率是多少？

P（X> s + t | X> s）？

好吧，我們可以計(jì)算一下。 答案是，就像我們從未等待過而必須等待t分鐘一樣，即P（X> t）。

From (I) to (II), we use the definition of the conditional probability. If X is both greater than s+t and greater than s, it simplifies to X being greater to s+t since both s and t are positive (III). We then use P(X >s)=1-(P ≤ s) in (IV), so we can use the cumulative distribution function (V). We then insert the distribution function of the exponential distribution (VI) and simplify (VII). We then do steps (III)-(VI) backward.

起初這很矛盾，令人驚訝！

這個(gè)屬性也是為什么無論我們什么時(shí)候到達(dá)公交車站，如果公共汽車平均每10分鐘一班，我們?nèi)匀徊坏貌辉俚仁昼姡ㄖ辽倨骄?為了使這一點(diǎn)更加明顯，我們還可以在X大于s的情況下計(jì)算X的條件期望值，即在已經(jīng)等待s分鐘的情況下計(jì)算期望的總等待時(shí)間。

然后舉行

E（X | X> s）= E（X）+ s。

再次，解釋是相同的，無論我們已經(jīng)等待了多少時(shí)間，我們?nèi)匀挥型俚却? /λ分鐘。

計(jì)算起來有些棘手，所以可以跳過這一部分（如果您有興趣，可以放縱一下）。

我們要計(jì)算

其中帶有雙線的1是所謂的指標(biāo)函數(shù)。 為此，我們首先計(jì)算提名者。

In line 1, we use the fact that the indicator function is 1 on the given interval and 0, else. We then solve the integral by integration by parts and simplify the equation.

然后我們得到期望的結(jié)果

From line 1 to line 2, we use the result from the above calculation. We then simplify and use that the expected value of X is 1/λ.

就是如此

為什么Waiting-Paradox僅適用于指數(shù)分布？

由于矩陣呈指數(shù)分布，因此'等待悖論'起作用。 實(shí)際上，指數(shù)分布是唯一適用的連續(xù)分布。

對于所有其他發(fā)行版，它將不起作用。 有一個(gè)直觀的解釋。 使用指數(shù)分布，任意兩個(gè)到達(dá)之間的時(shí)間不是均勻分布，而是指數(shù)分布。 這意味著有時(shí)兩次到達(dá)之間的時(shí)間可能很大，但通常會非常小。

因此，更有可能我們陷入了漫長的等待期而不是短暫的等待期。

例如，如果我們生活在一個(gè)理想的世界中，公交車每10分鐘到達(dá)一次（即不再有隨機(jī)性），而我們到達(dá)的時(shí)間是隨機(jī)的，即在最后一輛公交車到達(dá)后的0到10分鐘之間均勻分布，那么我們 平均會等待5分鐘。

這是因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)到達(dá)點(diǎn)之間的距離均勻。 如果我們隨機(jī)地到達(dá)公交車站，那么趕上一個(gè)很大的等待間隙的機(jī)會就會相對較小。 而且，與指數(shù)分布相比，兩輛公交車緊挨著到達(dá)的機(jī)會要小得多。

但是，等等，現(xiàn)實(shí)生活如何？

這是數(shù)學(xué)，誰在乎現(xiàn)實(shí)生活中真正發(fā)生的事情？ 好吧，我只是在開玩笑。 當(dāng)然，當(dāng)公共汽車按時(shí)間表到達(dá)（或多或少）時(shí)，我們當(dāng)然不能假設(shè)兩次到達(dá)之間的時(shí)間呈指數(shù)分布。 在理想的情況下，公交車可以按計(jì)劃到達(dá)。

但是，在我的故鄉(xiāng)柏林，假設(shè)指數(shù)分布可能并不遙遠(yuǎn)。 因?yàn)橛袝r(shí)我到達(dá)公交車站，所以我等了10分鐘。 然后，同一條線上的三輛公交車緊接著又到達(dá)。 這些時(shí)刻使我相信，在對這個(gè)問題建模時(shí)，指數(shù)分布可能不是最差的選擇。

下次您等在公共汽車站等閑聊時(shí)，這里有個(gè)故事要講。

(本文翻譯自Maike Elisa的文章《The Waiting Paradox: An Intro to Probability Distributions》，參考：https:///cantors-paradise/the-waiting-paradox-an-intro-to-probability-distributions-97c0aedb8c1)