在古代，直至明末，中國(guó)算學(xué)領(lǐng)域未見(jiàn)正五邊形的精確答案，不過(guò)有正五邊形平面的建筑是有的，五角裝飾紋樣更是有的。他們是怎么做的呢？

對(duì)此，學(xué)者劉暢在紫禁城雜志《雕蟲(chóng)故事——匠人的正五邊形》一文作了詳細(xì)的論述。

碧螺亭鳥(niǎo)瞰

在清代樣式雷家族留到今天的一疊沒(méi)有標(biāo)題的紙卷上，記載著正多邊形三角到十六角形的算法口訣。

樣式雷圖檔 網(wǎng)絡(luò)圖片

其中關(guān)于正五邊形有兩條：一條寫(xiě)著“五角，每面求角至面中用一五四五扣，每面求角至中用八五三五扣，每面求面至中用六九一五扣，每面求三角至三角用一六二五扣”，是已知邊長(zhǎng)求算其他關(guān)系的比率；另一條寫(xiě)著“五角，斜有每面正寬若干用一二三五因，搭斜角用一空三三因”，分別是有了五邊形外接圓求算內(nèi)切圓的倒數(shù)比率，以及再求與該五邊形“搭角相交”的內(nèi)切圓中內(nèi)接正五邊形邊長(zhǎng)的倒數(shù)比率。

根據(jù)樣式雷五角形算法口訣制作的以邊長(zhǎng)求其他關(guān)系的比率圖

根據(jù)樣式雷五角算法口訣制作的以五邊形外接圓求內(nèi)切圓的倒數(shù)比率圖

坦率地講，口訣的精確程度是欠缺的，多數(shù)比率前起第三位數(shù)字—甚至有的第二位上便已發(fā)生了錯(cuò)誤。令人不解的是，樣式雷供役宮廷之前，康熙皇帝早就堅(jiān)持從西方傳教士那里學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、天文學(xué)、地理學(xué)、醫(yī)學(xué)、拉丁文等，對(duì)中西方的數(shù)算幾何更是達(dá)到了精通的地步。他晚年還興辦算術(shù)館，組織編纂大規(guī)模的天文、數(shù)學(xué)、樂(lè)理叢書(shū)《律歷淵源》。

那么，怎么解釋若干年之后，御用建筑家們的算法精度居然如此之低呢？對(duì)比歷法、算學(xué)對(duì)于皇家的重要意義，這種現(xiàn)象或者可以歸咎于建筑業(yè)匠人較低的社會(huì)地位和教育背景。

《律歷淵源》 網(wǎng)絡(luò)圖片

真正的正五邊形算法還是在西方。算法誕生在古希臘，文藝復(fù)興時(shí)期意大利的塞利奧在他著名的《建筑學(xué)第二書(shū)》中把它灌輸給了更多的建筑師。究其過(guò)程，就是先在半徑為1的圓中利用直角三角形的關(guān)系畫(huà)出/2來(lái)，在簡(jiǎn)明地運(yùn)用另一個(gè)直角三角形求出斜邊的邊長(zhǎng)/2，這個(gè)長(zhǎng)度便是此圓內(nèi)接正五邊形的邊長(zhǎng)。

西方正五邊形算法圖

畫(huà)法背后的證明更算得上巧妙。只列舉一種簡(jiǎn)單的證法。要從正十邊形倒過(guò)來(lái)說(shuō)，有了十邊的，畫(huà)五邊就只是舉手之勞。

正十邊形可以圖形中心為頂、各面為底劃分成10個(gè)等腰三角形；每個(gè)等腰三角形頂角36°，二底角72°；

平分一底角，在三角形中得到a、b、c三條線段，其中a長(zhǎng)即為正十邊形外接圓半徑1，且a=b+c；

按照相似三角形的比例關(guān)系得到a：b=b：c，為黃金分割比例，用一元二次方程可解得：a=1；b=（√5-1 ）/2；c=（3- √5 ）/2；有了b、c，五邊形邊長(zhǎng)之半d即可用勾股弦法求得。

證畢。

以正十邊形證正五邊形圖

中國(guó)古代沒(méi)有兩樣成果，一個(gè)是圓周360°，一個(gè)是完全數(shù)學(xué)意義上的黃金分割。

說(shuō)起源自古希臘的360°圓周傳入中國(guó)，第一次的曇花一現(xiàn)大致是唐朝，是瞿曇氏一家從印度帶來(lái)的，后來(lái)由于歷法之爭(zhēng)未果，其算法遂趨衰微。第二次就一下自等了快900年，到了明末。中國(guó)古人用的是一周356.25°，究其目的是便于做天文觀察——每天轉(zhuǎn)一度，天天年年地轉(zhuǎn)下去，其方便好用不言自明。何必要改成360°呢？說(shuō)到底還是因?yàn)?60°能帶來(lái)簡(jiǎn)便的幾何關(guān)系，便于精確劃分——雖然清代數(shù)學(xué)家梅文鼎說(shuō)“幾何即勾股”，但是有了45°對(duì)應(yīng)等邊直角三角形、60°對(duì)應(yīng)等邊三角形、36°對(duì)應(yīng)黃金分割三角形，我們便多了不少直觀明確的認(rèn)識(shí)。

《幾何原本》 網(wǎng)絡(luò)圖片

黃金分割也是明末隨著《幾何原本》來(lái)到中國(guó)的。當(dāng)時(shí)徐光啟稱之為“理分中末線”。完全可以運(yùn)用勾股定理求出與相關(guān)的黃金分割點(diǎn)，進(jìn)而得出十分或五分圓周的方法。

少了這兩種武器，在求解正五邊形領(lǐng)域，中國(guó)古人顯然是不幸運(yùn)的。