我們?cè)谇懊嬷v到，線性代數(shù)和微積分是高等數(shù)學(xué)中最重要的兩門課，前者有很強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值，后者能提高思維水平，雖然大家平時(shí)在工作中未必有機(jī)會(huì)直接使用它。就拿我來(lái)說(shuō)，工作后用線性代數(shù)的機(jī)會(huì)可能是微積分的100倍。

但是，學(xué)沒(méi)學(xué)過(guò)微積分，思維方式會(huì)不同，眼中的世界也會(huì)有差別。因此，作為數(shù)學(xué)通識(shí)課，我們還是有必要解釋微積分的思想，但是我們也就是停留在它的思想方法上，而非細(xì)節(jié)上。

微積分有兩位主要的發(fā)明人，牛頓和萊布尼茨。牛頓發(fā)明微積分的一個(gè)重要原因是，他需要一個(gè)數(shù)學(xué)工具解決力學(xué)問(wèn)題，比如如何計(jì)算速度?？赡苡腥藭?huì)說(shuō)，這還不容易，在小學(xué)我們就教了，就是距離除以時(shí)間。

沒(méi)有錯(cuò)，我們從小學(xué)到中學(xué)都是這么教的，但這只是一段時(shí)間??????t的平均速度。如果我要問(wèn)你，在某一時(shí)刻的瞬間速度是多少？你就不知道了，或者只能拿平均速度來(lái)近似瞬間速度?；蛘哒f(shuō)，拿宏觀的規(guī)律近似微觀的。

但是在很多場(chǎng)合，我們要了解的是瞬間速度，而不是平均速度。比如一個(gè)警察抓超速，依據(jù)的就是駕駛者的瞬間速度，而不是他一路開過(guò)來(lái)的平均速度。對(duì)于瞬間速度，牛頓之前的科學(xué)家并沒(méi)有太多的了解，當(dāng)然也不會(huì)計(jì)算了。

那么牛頓是怎么解決這個(gè)問(wèn)題的呢？他采用了無(wú)限逼近的方法。具體的想法是這樣的：

首先我們回到速度的定義，就是一段時(shí)間里的位移量??????S除以相應(yīng)的時(shí)間??????t，我們可以寫成速度v=??????S/??????t。我把這種關(guān)系用一個(gè)示意圖表示出來(lái)：

在左邊的圖中，橫軸是時(shí)間軸，縱軸是位移，那條曲線是位移隨著時(shí)間變化的函數(shù)S(t)。我在圖中標(biāo)記了從t0開始的一段時(shí)間??????t，以及相應(yīng)的位移量??????S，它們構(gòu)成一個(gè)直角三角形的兩條直角邊。位移量除以時(shí)間，就是斜邊的斜率。

當(dāng)時(shí)間間隔??????t逐漸變小時(shí)，這個(gè)比值會(huì)變化，會(huì)越來(lái)越反映出在t0點(diǎn)附近的速度。我們?cè)谇懊娼榻B了極限的概念，當(dāng)??????t趨近于0時(shí)，那條反映速度的斜線，就是曲線在t0點(diǎn)的切線，牛頓就把那個(gè)切線的斜率，定義為在t0點(diǎn)的瞬間速度。我們不妨這么寫，v(t0)=??????S/??????t，當(dāng)??????t→0（趨近于0）時(shí)。

通過(guò)上述方式，牛頓就從平均速度出發(fā)，定義了瞬間速度，也就是說(shuō)，某個(gè)時(shí)刻的瞬間速度，是這個(gè)時(shí)刻附近一個(gè)無(wú)窮小的時(shí)間內(nèi)的平均速度。

如果我們用曲線來(lái)考察這種瞬間變化，那么瞬間速度就是距離函數(shù)曲線在某個(gè)點(diǎn)切線的斜率。由于在每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)，切線的斜率是變化的，因此如果把各個(gè)點(diǎn)的切線斜率畫出來(lái)，它也是一條函數(shù)曲線。

牛頓把這個(gè)由每個(gè)點(diǎn)切線斜率構(gòu)成的函數(shù)，稱為原來(lái)函數(shù)的流數(shù)，我們今天稱之為導(dǎo)數(shù)。通常我們用y=f(x)表示原函數(shù)，用y=f’(x)表示它的導(dǎo)數(shù)。在上面的例子中，位移的變化函數(shù)S(t)是原函數(shù)，速度變化的函數(shù)v(t)則是原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，我們可以寫成v(t)=S’(t)。

正如同速度反映的是距離的變化速率，一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所反映的也是原函數(shù)變化的速率，比如在上面的圖中，我們可以看出原函數(shù)增長(zhǎng)越來(lái)越慢，因此它的導(dǎo)數(shù)，也就是增速，是逐漸下降的。

現(xiàn)在我們回顧一下函數(shù)這個(gè)概念，它反映的是一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的變化，而導(dǎo)數(shù)這個(gè)概念，則反映函數(shù)變化的快慢。比如拋物線函數(shù)y=x^2，它在x=1這個(gè)點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)是2，也就是說(shuō)x增加一小份（無(wú)窮小），y要增加兩小份。

相比之下，直線y=x在同一個(gè)點(diǎn)的增速就要慢一點(diǎn)，它的導(dǎo)數(shù)是1，也就是說(shuō)x增加一小份，y也增加一小份，因此我們說(shuō)拋物線在x=1這個(gè)點(diǎn)的變化比直線更快。

對(duì)于同一根曲線，我們前后也能對(duì)比，比如拋物線在x=2這個(gè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是4，因此我們說(shuō)，它在x=2時(shí)，比x=1時(shí)，變化更快。

我們過(guò)去也會(huì)說(shuō)，某個(gè)函數(shù)變化快，某個(gè)函數(shù)變化慢，但是這些都是宏觀的描述，沒(méi)有量化度量。導(dǎo)數(shù)解決了這個(gè)問(wèn)題。我們還說(shuō)，某個(gè)函數(shù)，越變?cè)娇?，這也只是宏觀的、定性的分析。

有了導(dǎo)數(shù)的概念之后，我們就可以準(zhǔn)確地度量任意一個(gè)函數(shù)在某一個(gè)點(diǎn)的變化。因此導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是對(duì)變化快慢的準(zhǔn)確量化度量。

導(dǎo)數(shù)是微積分中最重要的概念之一，從導(dǎo)數(shù)出發(fā)我們稍微往前走一小步，就進(jìn)入到微積分的微分了。

什么是微分呢？它其實(shí)就是在前面有關(guān)速度的例子中，??????t趨近于零時(shí)，??????S的值。對(duì)此一般性的函數(shù)，我們用dx表示自變量趨于零的情況，用dy表示函數(shù)的微分。

如果我們對(duì)比一下導(dǎo)數(shù)的定義f’(x) = ??????y/??????x，其中??????x趨近于零，以及微分的定義dy =f’(x)dx，就可以看出它們講的其實(shí)是一回事，因?yàn)??????x和??????y趨近于零之后，就是dx和dy。有時(shí)人們直接將導(dǎo)數(shù)寫成f’(x) =dy/dx。

如果我們孤立地看微分dy，它是個(gè)無(wú)窮小，搞出這樣一個(gè)新概念有什么必要呢？我們用一個(gè)具體的例子，也就是有關(guān)圓柱體積變化趨勢(shì)的例子來(lái)說(shuō)明。

我們知道，圓柱體的體積：V=??????R^2 h，如果我要問(wèn)，這個(gè)體積隨半徑變化快，還是隨高度變化快？在沒(méi)有微分這個(gè)概念時(shí)，一般人根據(jù)直覺，會(huì)覺得隨半徑變化快，因?yàn)槭瞧椒疥P(guān)系，而它隨高度變化只是線性關(guān)系。

但真實(shí)情況是什么樣呢？我們可以把體積函數(shù)分別對(duì)半徑和高度各做一次微分，得到下面兩個(gè)結(jié)果：

體積對(duì)半徑R微分：dV/dR=2??????Rh

體積對(duì)高度h微分：dV/dh=??????R^2

大家不必關(guān)心細(xì)節(jié)，了解一下這樣兩個(gè)結(jié)論：

1. 由于半徑增加所帶來(lái)的體積增量，和圓柱體當(dāng)前的半徑成正比，也和它的高度成正比。
2. 由于高度增加所帶來(lái)的體積增量，和圓柱體當(dāng)前半徑的平方成正比，但和它的高度無(wú)關(guān)。

這時(shí)，你如果對(duì)比一下兩個(gè)微分函數(shù)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，哪個(gè)變化的速率快，還真不好說(shuō)。假如R等于10，h也等于10，體積就隨半徑變化快。如果R=10，h只有1，那就是隨著高度變化快。

假如你是一個(gè)工程師，要建造一個(gè)巨大的儲(chǔ)油罐，無(wú)論你增大半徑，還是增加高度，都有相當(dāng)?shù)墓こ屉y度?，F(xiàn)在你的研發(fā)經(jīng)費(fèi)有限，只能在一個(gè)維度，增大儲(chǔ)油罐的體積，你應(yīng)該怎么做呢？

如果你沒(méi)有學(xué)過(guò)微積分，你可能會(huì)覺得該增加半徑。但是聽了今天的課程之后你就知道，在這個(gè)儲(chǔ)油罐比較“扁平”時(shí)，應(yīng)該增加高度?？偟膩?lái)講，當(dāng)高度沒(méi)有達(dá)到半徑的1/2時(shí)，都應(yīng)該增加高度。

我們?cè)诠ぷ骱蜕钪?，其?shí)經(jīng)常遇到這樣的問(wèn)題，一個(gè)函數(shù)取決于很多變量，這時(shí)我們不知道該在哪個(gè)方向改變，怎樣才能以最快的速度進(jìn)步。微分這個(gè)工具，其實(shí)給解決這一類的問(wèn)題提供了很好的方法。它引出了一個(gè)梯度的概念，利用梯度，我們就能解決這個(gè)問(wèn)題了。

梯度是微分的一個(gè)擴(kuò)展。在上面的圓柱體問(wèn)題中，對(duì)圓柱體函數(shù)，我們可以針對(duì)半徑求微分dV/dR，也可以針對(duì)高度求微分dV/dh。如果我們把這兩個(gè)微分的結(jié)果放到一起，就是梯度，也就是說(shuō)圓柱體積函數(shù)的梯度是（2??????Rh，??????R^2）。

梯度的物理含義可以這樣理解，如果你去登山，怎樣沿著最陡的方向，最快地爬到山頂呢？梯度函數(shù)告訴你在任意一點(diǎn)，往不同方向走的上升速度是不一樣的，因此你很容易找到前進(jìn)的目標(biāo)。在圓柱體函數(shù)中的梯度是上面那個(gè)式子，我們?cè)谇懊娴玫降慕Y(jié)論是，只要高度小于1/2的半徑，就應(yīng)該優(yōu)先增加高度。

如果是一個(gè)長(zhǎng)方體，情況又如何呢？我們先把體積函數(shù)寫出來(lái)，體積等于長(zhǎng)乘以寬乘以高度，即 V=L*W*H。接下來(lái)，我們可以用微分計(jì)算出它的梯度函數(shù)。

這里面過(guò)程我就省略了，我直接給出答案。這時(shí)體積的梯度為 （寬度乘以高度，長(zhǎng)度乘以高度，長(zhǎng)度乘以寬度），一共三個(gè)分量。這時(shí)你會(huì)發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)寬高，哪個(gè)最小，就應(yīng)該優(yōu)先增加哪一個(gè)。

比如說(shuō)，長(zhǎng)為10，寬和高分別是4和6，這時(shí)梯度函數(shù)為（24，60，40），你應(yīng)該增加寬度。這其實(shí)和我們的直覺是一致的，如果我們這樣不斷優(yōu)化，最后的結(jié)果是長(zhǎng)方體變成立方體時(shí)，體積達(dá)到最大。

不只是數(shù)學(xué)問(wèn)題，其實(shí)很多時(shí)候，我們都面臨在限制要素中作選擇的問(wèn)題。很多時(shí)候，我們總想全方位改進(jìn)自己，但是人的精力和資源有限，因此在某一時(shí)刻，可能只能向一個(gè)方向努力。

希望梯度這個(gè)概念在你選擇方向時(shí)能夠給你啟發(fā)。很多人從直覺出發(fā)，覺得該補(bǔ)短板，另一些人則覺得，該把長(zhǎng)板變得更長(zhǎng)。第一類人會(huì)和你講木桶理論，第二類人會(huì)和你講長(zhǎng)板理論，每一類都有很多成功的例子，也有很多失敗的教訓(xùn)。

于是很多人就不知道該用哪一個(gè)理論了。事實(shí)上你今天學(xué)了梯度理論后，就很容易作決斷了，那就是在任何時(shí)刻算出梯度，然后沿著最陡，但是收益最大的路徑前進(jìn)就好。

在增加長(zhǎng)方體體積時(shí)，顯然是在采用補(bǔ)短板的策略，但是在增加圓柱體體積時(shí)，就看情況而定了，如果高度太低，它是嚴(yán)重的短板，需要彌補(bǔ)，但是只要它超過(guò)圓柱體半徑的一半時(shí)，就要增加長(zhǎng)板（半徑）的優(yōu)勢(shì)了。

如果說(shuō)你有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，它可能受到多個(gè)變量的影響，那是你長(zhǎng)期進(jìn)步的趨勢(shì)，但是在每一個(gè)時(shí)刻，你需要計(jì)算一下那個(gè)函數(shù)針對(duì)各個(gè)變量的微分，也就是梯度函數(shù)，找到進(jìn)步最顯著的方向去努力。這就是通過(guò)宏觀趨勢(shì)把握微觀變化。

要點(diǎn)總結(jié)：

我們從導(dǎo)數(shù)出發(fā)，介紹了微分的概念，它是我們從函數(shù)的宏觀趨勢(shì)，把握每一個(gè)點(diǎn)細(xì)節(jié)變化的工具。然后我們介紹了多變量函數(shù)的微分，也就是梯度的概念，并且說(shuō)明了如何在有大量不確定性，或者說(shuō)大量的變量中找到前進(jìn)方向的方法，具體講就是往坡度最高的方向努力。

因此，微積分給我們的第一個(gè)思維提升就是練習(xí)從宏觀趨勢(shì)中把握微觀變化的趨勢(shì)，讓我們認(rèn)清每一步的方向。

下一講，我們還講微積分，透過(guò)微積分討論企業(yè)增長(zhǎng)里的奇點(diǎn)和連續(xù)性。我們下一講再見?！獏擒姟稊?shù)學(xué)通識(shí)五十講》