在前面的文章里，我們已經(jīng)介紹了關(guān)于等腰三角形和直角三角形存在性問(wèn)題的一般解決方法和常見(jiàn)題型，本文繼續(xù)介紹——平行四邊形存在性問(wèn)題．

01

坐標(biāo)系中的平行四邊形

考慮到求證平行四邊形存在，必先了解平行四邊形性質(zhì)：

（1）對(duì)應(yīng)邊平行且相等；

（2）對(duì)角線(xiàn)互相平分．

這是圖形的性質(zhì)，我們現(xiàn)在需要的是將其性質(zhì)運(yùn)用在在坐標(biāo)系中：

（1）對(duì)邊平行且相等可轉(zhuǎn)化為：

可以理解為點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)A，點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D，移動(dòng)路徑完全相同．

（2）對(duì)角線(xiàn)互相平分轉(zhuǎn)化為：

可以理解為AC的中點(diǎn)也是BD的中點(diǎn)．

【小結(jié)】雖然由兩個(gè)性質(zhì)推得的式子并不一樣，但其實(shí)可以化為統(tǒng)一：

當(dāng)AC和BD為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，結(jié)果可簡(jiǎn)記為：A+C=B+D（各個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫縱坐標(biāo)相加）

以上是對(duì)于平行四邊形性質(zhì)的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問(wèn)題，此處當(dāng)有一問(wèn)：若坐標(biāo)系中的4個(gè)點(diǎn)A、B、C、D滿(mǎn)足“A+C=B+D”，則四邊形ABCD是否一定為平行四邊形？

反例如下：

之所以存在反例是因?yàn)椤八倪呅蜛BCD是平行四邊形”與“AC、BD中點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)”并不是完全等價(jià)的轉(zhuǎn)化，故存在反例．

雖有反例，但并不影響運(yùn)用此結(jié)論解題，在拋物線(xiàn)條件下的平四存在性基本不會(huì)出現(xiàn)共線(xiàn)的情況．另外，還需注意對(duì)對(duì)角線(xiàn)的討論：

（1）四邊形ABCD是平行四邊形：AC、BD一定是對(duì)角線(xiàn)．

（2）以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)是四邊形是平行四邊形：對(duì)角線(xiàn)不確定需要分類(lèi)討論．

02

兩類(lèi)題型

平行四邊形存在性問(wèn)題通常可分為“三定一動(dòng)”和“兩定兩動(dòng)”兩大類(lèi)問(wèn)題．

三定一動(dòng)

引例：已知A（1，2）、B（5，3）、C（3，5），在坐標(biāo)系內(nèi)確定點(diǎn)D使得以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

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兩定兩動(dòng)

引例：已知A（1，1）、B（3，2），點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在y軸上，且以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求C、D坐標(biāo)．

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03

動(dòng)點(diǎn)概述

“三定一動(dòng)”的動(dòng)點(diǎn)和“兩定兩動(dòng)”的動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)并不完全一樣，“三定一動(dòng)”中動(dòng)點(diǎn)是在平面中，橫縱坐標(biāo)都不確定，需要用兩個(gè)字母表示，這樣的我們姑且稱(chēng)為“全動(dòng)點(diǎn)”，而有一些動(dòng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸或者直線(xiàn)或者拋物線(xiàn)上，用一個(gè)字母即可表示點(diǎn)坐標(biāo)，稱(chēng)為“半動(dòng)點(diǎn)”．

從上面例子可以看出，雖然動(dòng)點(diǎn)數(shù)量不同，但本質(zhì)都是在用兩個(gè)字母表示出4個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)．若把一個(gè)字母稱(chēng)為一個(gè)“未知量”也可理解為：全動(dòng)點(diǎn)未知量=半動(dòng)點(diǎn)未知量×2．

找不同圖形的存在性最多可以有幾個(gè)未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個(gè)未知量．究其原因，在于平行四邊形兩大性質(zhì)：

（1）對(duì)邊平行且相等；

（2）對(duì)角線(xiàn)互相平分．

但此兩個(gè)性質(zhì)統(tǒng)一成一個(gè)等式：

兩個(gè)等式，只能允許最多存在兩個(gè)未知數(shù)，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問(wèn)題最多只能存在2個(gè)未知量．

由圖形性質(zhì)可知未知量，由未知量可知?jiǎng)狱c(diǎn)設(shè)計(jì)，由動(dòng)點(diǎn)設(shè)計(jì)可化解問(wèn)題．

04

以確定邊、對(duì)角線(xiàn)為前提

有一類(lèi)問(wèn)題中，根據(jù)題目給的條件可判斷某條線(xiàn)段為邊或者對(duì)角線(xiàn)，若某線(xiàn)段為邊，則可通過(guò)構(gòu)造對(duì)邊平行且相等解決問(wèn)題．若某線(xiàn)段為對(duì)角線(xiàn)，則可通過(guò)構(gòu)造對(duì)角線(xiàn)互相平分解決問(wèn)題．

2019宜賓中考

【已知邊平行，構(gòu)造相等】

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線(xiàn)y=ax2-2x+c與直線(xiàn)y=kx+b都經(jīng)過(guò)A（0，-3）、B（3,0）兩點(diǎn)，該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為C．

（1）求此拋物線(xiàn)和直線(xiàn)AB的解析式；

（2）設(shè)直線(xiàn)AB與該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E，在射線(xiàn)EB上是否存在一點(diǎn)M，過(guò)M作x軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)N，使點(diǎn)M、N、C、E是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）設(shè)點(diǎn)P是直線(xiàn)AB下方拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAB面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求△PAB面積的最大值．

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2018河南中考刪減

【已知邊平行，構(gòu)造相等】

如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+6x+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線(xiàn)y=x-5經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)交直線(xiàn)BC于點(diǎn)M．當(dāng)AM⊥BC時(shí)，過(guò)拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)P（不與點(diǎn)B，C重合），作直線(xiàn)AM的平行線(xiàn)交直線(xiàn)BC于點(diǎn)Q，若以點(diǎn)A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

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2018郴州中考刪減

【已知對(duì)角線(xiàn)，構(gòu)造平分】

如圖，已知拋物線(xiàn)y=-x2+bx+c與x軸交于A（-1,0），B（3,0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．

（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（2）設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為l，l與x軸的交點(diǎn)為D．在直線(xiàn)l上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形CDPM是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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05

關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的討論

大部分平行四邊形存在性問(wèn)題還是需要我們?nèi)シ诸?lèi)討論探索動(dòng)點(diǎn)位置，有的時(shí)候看圖并不一定能準(zhǔn)確找出所求可能存在的動(dòng)點(diǎn)，所以根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足的條件列方程計(jì)算，不失為一種簡(jiǎn)潔的方法．

2018恩施中考刪減

【三定一動(dòng)】

如圖，已知拋物線(xiàn)交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0），OC=2，OB=3，點(diǎn)D為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）P為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以B、C、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

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2018濟(jì)寧中考刪減

【兩定兩動(dòng)：x軸+拋物線(xiàn)】

如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3,0），B（-1,0），C（0，-3）．

（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；

（2）若點(diǎn)Q在x軸上，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，是否存在以點(diǎn)B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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2019包頭中考刪減

【兩定兩動(dòng)：對(duì)稱(chēng)軸+拋物線(xiàn)】

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+2（a≠0）與x軸交于A（-1,0），B（3,0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．

（1）求該拋物線(xiàn)的解析式，并寫(xiě)出它的對(duì)稱(chēng)軸；

（2）若點(diǎn)N為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)M，使得以B，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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2019咸寧中考刪減

【兩定兩動(dòng)：直線(xiàn)+拋物線(xiàn)】

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y=-1/2x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線(xiàn)y=-1/2x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)且與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C．

（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；

（2）已知E、F分別是直線(xiàn)AB和拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)B，O，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫(xiě)出所有符合條件的E點(diǎn)的坐標(biāo)．

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2019連云港中考刪減

【兩定兩動(dòng)：拋物線(xiàn)+拋物線(xiàn)】

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)L1：y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)C（0.-3），與拋物線(xiàn)L2：y=-1/2x2-3/2x+2的一個(gè)交點(diǎn)為A，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)P、Q分別是拋物線(xiàn)L1、L2上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)L1對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若以點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形恰為平行四邊形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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2019錦州中考刪減

【4動(dòng)點(diǎn)構(gòu)造】

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-3/4x+3的圖像與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于B點(diǎn)，拋物線(xiàn)y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，在第一象限的拋物線(xiàn)上取一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DC⊥x軸于點(diǎn)C，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)E．

（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式

（2）F是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），點(diǎn)G是線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)．連接DF，F(xiàn)G，當(dāng)四邊形DEGF是平行四邊形且周長(zhǎng)最大時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)．

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見(jiàn)識(shí)了這么多平四存在性問(wèn)題，不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于常規(guī)題，動(dòng)點(diǎn)最多也就兩個(gè)，不管是在坐標(biāo)軸上還是直線(xiàn)、拋物線(xiàn)上，總是能夠用字母表示出來(lái)，表示出了點(diǎn)坐標(biāo)，接下來(lái)就是計(jì)算的故事了~