《相似》培優(yōu)系列文章匯總

xyz3i 2019-12-11

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聲明：本公眾號(hào)所有標(biāo)有“原創(chuàng)”標(biāo)識(shí)的文章均為原創(chuàng)

比（例）相關(guān)運(yùn)用

——相似（1）

【例】已知a：b：c=2：3：4，且a+b﹣c=6．求a、b、c的值．

【分析】由已知可設(shè)a=2k，b=3k，c=4k（常法），代入已知等式可求出k，進(jìn)一步得到答案．

【解】依題意可設(shè)a=2k、b=3k、c=4k，

∵a+b﹣c=6，∴2k+3k﹣4k=6，解得k=6．

∴a=2k=12、b=3k=18、c=4k=24．

【練習(xí)1】已知a、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且a+b+c=48，a/4=b/5=c/7，求△ABC三邊的長(zhǎng)．

【解】依題意，可設(shè)a=4x，b=5x，c=7x．

∵a+b+c=48，

∴4x+5x+7x=48，解得x=3，

∴a=4x=12，b=5x=15，c=7x=21．

【解】依題意，得

y+z=kx，z+x=ky，x+y=kz，

將三式相加，得2（x+y+z）=k(x+y+z)．

移項(xiàng)并因式分解，得(k－2)(x+y+z)=0．

所以k－2=0或x+y+z=0．

當(dāng)k－2=0時(shí)，得到k=2；

當(dāng)x+y+z=0時(shí)，y+z=－x，

得k=－x/x=－1．

綜上所述，k=2或－1．

【答案】8或﹣1（解法與拓展1類似）．

黃金矩形與相似相關(guān)概念

——相似（2）

【分析】根據(jù)題意畫出符合條件的圖形：在黃金矩形ABCD的較長(zhǎng)邊AB上截取AE=BC，另一邊DC上截取DF=BC，連接EF，那么可以證明四邊形AEFD是正方形；然后證明矩形BCFE的寬與長(zhǎng)的比是黃金分割比即可．

【解】如下圖示：

在AB上截取AE=BC，DF=BC，

連接EF．

∵AE=BC，DF=BC，

∴AE=DF=BC=AD，

又∵∠ADF=90°，

∴四邊形AEFD是正方形．

∴矩形BCFE是黃金矩形．

∴黃金矩形是由一個(gè)正方形和一個(gè)更小的黃金矩形構(gòu)成．

【拓展】如果一個(gè)矩形的寬與長(zhǎng)的比值為黃金分割值.則稱這個(gè)矩形為黃金矩形，如圖，將矩形ABCD剪掉一個(gè)正方形ADFE后，剩余的矩形BCFE（BC＞BE）是黃金矩形，則原矩形ABCD是否為黃金矩形？請(qǐng)說明理由．

【分析】根據(jù)黃金分割，可設(shè)出矩形BCFE的長(zhǎng)和寬，再對(duì)應(yīng)地表示出矩形ABCD的寬，再求出寬與長(zhǎng)的比值即可得證．

【解】原矩形ABCD是為黃金矩形．

理由如下：

設(shè)矩形BCFE的長(zhǎng)BC為x，

∵四邊形BCFE為黃金矩形，

∴寬FC為x，

∵四邊形AEFD是正方形，

∴原矩形ABCD是為黃金矩形．

【例2】

【分析】根據(jù)相似多邊形的相似的性質(zhì)，根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求解．

【解】如下圖示：

設(shè)AB=CD=x，CE=y．則DE=x﹣y．

顯然有：GC=0.5BC=0.5．

∵矩形ABCD∽矩形EHGC．

∴AB/GC=BC/HG，

即x/0.5=1/y……①

∵矩形ABCD∽矩形ADEF．

∴AD/AB=DE/AD，

即1/x=(x－y)/1……②

由①與②，解得：

x=，即AB＝.

【反思】注意分清對(duì)應(yīng)邊是解決本題的關(guān)鍵．

平行線分線段成比例定理的應(yīng)用(1)

——相似（3）

【例1】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)F、E在邊AC上，DE∥BC，DF∥BE，求證：AE：EC＝AF：FE．．

【分析】由于“DE∥BC，DF∥BE”，可直接利用平行線分線段成比例定理即可證明；

證明：∵DE∥BC，∴AE：EC＝AD：DB，

∵DF∥BE，∴AF：EF＝AD：DB，

∴AE：EC＝AF：EF．

【反思】平行——對(duì)應(yīng)線段成比例．

【練習(xí)1】閱讀與計(jì)算:

請(qǐng)閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的問題．

角平分線分線段成比例定理：如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，則AB/AC＝BD/CD．下面是這個(gè)定理的部分證明過程．

證明：如圖2，過C作CE∥DA．交BA的延長(zhǎng)線于E．…

任務(wù)：

（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

（2）填空：如圖3，已知Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，AD平分∠BAC，則△ABD的周長(zhǎng)是　?。?/section>

解析

（1）如圖2，過C作CE∥DA．交BA的延長(zhǎng)線于E，由CE∥AD可得BD/CD＝BA/EA，∠2=∠ACE，∠1=∠E，又∠1=∠2，所以∠ACE=∠E，得到AE=AC，因此AB/AC＝BD/CD；

（2）如圖3，由勾股定理，得AC=5，因AD平分∠BAC，所以AC/AB＝CD/BD（上述結(jié)論），即5/3＝CD/BD．得BD=3 BC/8=3/2．又由勾股定理，得AD=…=（3√5）/2，∴△ABD的周長(zhǎng)=3/2+3+（3√5）/2＝（9+3√5）/2．

【例2】已知：如圖，E在線段AB上，AD和BC交于F點(diǎn)，AC∥EF∥BD，若AC＝a，BD＝b，EF＝c，求證：1/a+1/b=1/c.

【解析】由平行條件，可用平行線分線段成比例定理.

由EF∥AC，可得△BEF∽△BAC，進(jìn)一步可得：c/a=n/(m+n)；

由EF∥BD，可得△BEF∽△BAC，進(jìn)一步可得c/b=m/(m+n)；所以c/a +c/b =n/(m+n) +m/(m+n)＝(m+n)/( m+n)＝1.兩邊都除以c，得1/a+1/b=1/c.

【反思】綜合運(yùn)用了平行→相似→對(duì)應(yīng)邊的比相等，然后通過兩式相加．類似等式的證明常用此法.

【練習(xí)2】如圖，梯形ABCD的對(duì)角線交于O，過O作兩底的平行線分別交兩腰于M，N．若AB=4，CD=1，求MN的長(zhǎng).

【解析】此圖可以看作是兩個(gè)類似例題的圖組合而成，因此可利用例題的思路解決.如下圖示：

平行線分線段成比例定理的應(yīng)用(2)

——相似（4）

【例題】如圖，△ABC中，D在BC上，F是AD的中點(diǎn)，連CF并延長(zhǎng)交AB于E，已知CD/BD=n，求AE:BE的值.

【解析】本題有超過12種以上的解法（均類似），過圖中任意點(diǎn)作任意一條線段的平行線均可求出（均根據(jù)平行線分線段成比例定理），只是計(jì)算有繁有簡(jiǎn)，下面僅提供五種常用的解法。為了書寫方便，由CD/BD=n不妨設(shè)BD=1，則CD=n.

法一：過F作BC的平行線交AB于M，如下圖示，不難證得M是AB的中點(diǎn).

從而AE＝AM－ME＝2nt，

因此AE：BE＝2nt：2(1+n)t＝n/(1+n).

法二：過D點(diǎn)作DM∥AB交CE于M，如下圖示，不難得到：

法三：過D點(diǎn)作DM∥CE交AB于M，如下圖示，不難得到：

法四：過A點(diǎn)作AM∥CF交BC的延長(zhǎng)線于M，如下圖示，不難得到：

法五：過F點(diǎn)作FM∥AB交BC于M，如下圖示，不難得到：

【反思】本題的所有解法的本質(zhì)都是利用“平行線分線段成比例定理（三角形的中位線的逆命題）的相關(guān)知識(shí).

【練習(xí)】如圖，△ABC中，D在BC的反向延長(zhǎng)線上，F在AD上，且AF：FD＝2：1，連CF并延長(zhǎng)交AB于E，已知CD：BD=3：1，求AE：BE的值.

【解析】與例題類似，同樣有多種解法，僅以一種解法解析。

由CD：BD=3：1，可設(shè)BD＝a，則CD＝3a，BC＝2a.過B點(diǎn)作BM∥AD交CF于M點(diǎn)，則有△BCM∽△DCF，再設(shè)BM＝t，不難得到DF＝1.5t.如下圖示：

相似三角形的判定(1)

——相似（5）

【例1】如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線相交于E，AB、DC的延長(zhǎng)線相交于P，則圖中一定相似的三角形有_____對(duì).

【解析】如下圖示：

理由如下：

∵∠DCE=∠ABE，∠CDE=∠BAE，

∴△CDE∽△BAE．

同理△AED∽△BEC．

∵∠P=∠P，∠CDB=∠BAC，

∴△PDB∽△PAC．

∵∠DCB+∠BCP=180°，

　∠DCB+∠DAB=180°

∴∠BCP=∠DAB．

∵∠P=∠P，

∴△PCB∽△PAD．

∴共有4對(duì)．

【反思】圓的相關(guān)結(jié)論非常豐富，可用的定理多，易找到角相等.

【練習(xí)1】如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線相交于E，AB、DC的延長(zhǎng)線相交于P，若AD＝CD，則圖中一定相似的三角形有_____對(duì).

【解析】除了例2中的4對(duì)相似外，多了一個(gè)條件AD＝CD后，就多了4對(duì)相似，如下圖示：

△ADE∽△BCE∽△BDA（3對(duì)）.

【例2】如圖，△ABC和△GAF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，圖中相似三角形共有_____對(duì).

【解析】由“△ABC和△GAF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形”可得∠B=∠C=∠FAG

=∠F=45°，∠BAC=∠FGA=90°，又∠AEB=∠C+∠EAC=∠DAE+∠EAC=∠DAC，因此有：△ADC∽△EDA∽△EAB（3對(duì)），以及△ABC≌△GAF，所以共有4對(duì).如下圖示：

【例3】已知：如圖，∠ADE=∠ACD=

∠ABC，圖中相似三角形共有（?。?/section>

A.1對(duì)　B.2對(duì)　C.3對(duì)　D.4對(duì)．

【解析】根據(jù)“∠ADE=∠ABC”判定DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，再利用“∠ADE=∠ACD及公共角A”可得△ADE∽△ACD，從而得到△ABC∽△ADE

∽△ACD，此時(shí)共有3對(duì)相似，又從“∠ACD=∠ABC及∠CDE=∠BCD(因DE∥BC)”可得△EDC∽△DCB，因此總共有4對(duì)相似，故答案應(yīng)選D.

【反思】熟練掌握判定相似的幾種方法是解題關(guān)系，特別注意幾個(gè)三角形均相似(連著相似)的情況下，往往有多種答案.

【練習(xí)1】如圖，平行四邊形ABCD中，F是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AF交BD于O，與DC交于點(diǎn)E，則圖中相似三角形共有_____對(duì)（全等除外）．

【解析】由“ABCD是平行四邊形”可得AD∥BC，AB∥DC，因此可得到：△ADO∽△FBO，△ABO∽△EDO，△ADE∽

△FCE∽△FBA（3對(duì)），因此共有5對(duì)．

相似三角形的判定與性質(zhì)(2)

——相似（6）

【例題】如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上一點(diǎn)連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B

（1）求證：△ADF∽△DEC；

（2）若AB=8，AD=6√3，AF=4√3，求DE的長(zhǎng)．

【解答】

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．

∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，

∴∠AFD=∠C，

∴△ADF∽△DEC；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CD=AB=8，

∵△ADF∽△DEC，

∴AD/AF＝DE/DC，

∴DE＝AD×CD/AF＝…＝12．

（相關(guān)數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可）

【反思】熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【拓展1】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=12，AD=18，∠BAD的平分線交BC于E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BG⊥AE，垂足為G，BG=8×根號(hào)2，求△CEF的周長(zhǎng).

【解析】先計(jì)算出△ABE的周長(zhǎng)，然后根據(jù)相似的性質(zhì)求△CEF的周長(zhǎng)．如下圖示，

不難得到△ABE的周長(zhǎng)＝12+12+8＝32，同時(shí)可求得CF＝6，再由平行四邊形ABCD可得：AB∥CD，進(jìn)一步得到△CEF∽△BEA，相似比為CF：AB＝6：12＝1：2.

再利用相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，可得△CEF的周長(zhǎng)＝32×1/2＝16.具體解答過程如下：

【解】∵在平行四邊形ABCD中，AB=CD=12，AD=BC=18，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，

∴△ADF是等腰三角形，AD=DF=18；

∵AB=BE=12，∴CF=6；

∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=12，

BG=8×根號(hào)2，由勾股定理，

可得AG=4，

又∵BG⊥AE，

∴AE=2AG=8，

∴△ABE的周長(zhǎng)等于32，

又∵在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，

∴△CEF∽△BEA，相似比為1：2，

∴△CEF的周長(zhǎng)為16．

【反思】注意平行四邊形、相似三角形和勾股定理等知識(shí)靈活運(yùn)用，特殊注意相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比．

【拓展2】如圖，在平行四邊形ABCD中，CE是∠DCB的平分線，且交AB于E，DB與CE相交于O，已知AB=6，BC=4，求OB/DB的值.

∵CE是∠DCB的平分線，

在平行四邊形ABCD中，DC∥AB

∴∠DCO=∠BCE，∠DCO=∠BEC

∴∠BEC=∠BCE　∴BE=BC=4

∵DC∥AB　∴△DOC∽△BOE

∴OB：OD=BE：CD=2：3

即OB：DB＝2：5.

相似三角形的判定與性質(zhì)(3)

——相似（7）

【例1】如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，且BE=2，連結(jié)DE，EF，并以DE，EF為邊作?EFGD，連結(jié)BG，分別交EF和DC于點(diǎn)M，N，求BM：NG的值.

【解析】先判定四邊形DEFG是正方形，進(jìn)而得出∠EFG=90°，DG=DE=FG=根號(hào)5.如下圖示：

其次,與BM、GN有關(guān)的△EBM∽△DGN，

如下圖示：

因此可以得到：BM：NG＝EM：DG，DG是已知的，因此只需求出EM即可.

【反思】本題是常見的構(gòu)造三角形相似題，也是常見的幾何計(jì)算試題，注意體會(huì)（尤其是圖中的子母Rt△形）.

【拓展】如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，且BE=2，連結(jié)DE，EF，并以DE，EF為邊作?EFGD，連結(jié)BG，分別交EF和DC于點(diǎn)M，N，求MN的長(zhǎng).

【練習(xí)】已知：正方形ABCD中，AB=4，E為CD邊中點(diǎn)，F(xiàn)為AD邊中點(diǎn)，AE交BD于G，交BF于H，連接DH．

（1）求證：BG=2DG；

（2）求AH：HG：GE的值；

（3）求BH/HD的值．

（2）

　　得到GE＝AE/3＝（2√5）/3．

∴HG＝AE－AH－GE＝…＝（8√5）/15．

∴AH：HG：GE=…=6：4：5．

（3）由(2)可得BH＝(8√5)/5．如下圖示：

由勾股定理，得HD＝（4√10）/5．

從而BH/HD＝…＝√2．

法二：如下圖示，

當(dāng)然，學(xué)了下一章后，解法就更精簡(jiǎn)了。

相似三角形的判定與性質(zhì)(4)

——相似（8）

【例題】如圖示，已知△ABC∽△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=6，AC=8，F為DE中點(diǎn)，若點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，連接CF，則在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，求線段CF的最小值.

【圖解精析】如下圖示，由原兩個(gè)三角形相似可得到：

得∠ECG+∠ACD=∠ADG+∠AEG＝90°，即∠DCE=90°，即：

得到CF＝0.5DE.

因此當(dāng)AD最短時(shí)，CF最小，而當(dāng)AD最短時(shí)，可利用面積公式得到：AD＝AB×AC/BC＝4.8，再利用△ABC∽△ADE得AD/DE＝AB/BC，即4.8/DE＝6/10，∴DE=8，故CF的最小值就為CF=0.5×8=4．

詳細(xì)過程如下：

【解】如圖，連接CE，

∵△ABC∽△ADE，∴∠ACD=∠AEG，

又∵∠AGF=∠DGC，∴△AGE∽△DGC，

∴AG/DG＝EG/CG，

又∵∠AGD=∠EGC，

∴△AGD∽△EGC，∴∠ADG=∠ECG，

又∵Rt△ADE中，∠ADG+∠AEG=90°，

∴∠ECG+∠ACD=90°，即∠DCE=90°，

∵F是DE的中點(diǎn)，∴CF=1/2DE，

∵△ABC∽△ADE，

而當(dāng)AD⊥BC時(shí)，

∵由△ABC∽△ADE得AD/DE＝AB/BC，

　即4.8/DE＝6/10，∴DE=8，

∴CF=0.5×8=4．

【反思】本題是典型的“旋轉(zhuǎn)相似”的應(yīng)用.除了要熟練相似三角形的判定與性質(zhì)，以及常見的基本相似圖形（子母直角三角形）的常見應(yīng)用外，解題時(shí)還要注意：在幾何中求解最值問題的常用依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短，以及要理解好它們之間如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化.另外本題中A、D、C、E四點(diǎn)共圓（本題解法，其實(shí)也是四點(diǎn)共圓的一個(gè)常見解法.如下圖示：

【練習(xí)】如圖示，已知△ABC∽△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=6，AC=8，F為DE中點(diǎn)，若點(diǎn)D在邊BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)在點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，求點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路程.

【解析】如下圖示，取BC的中點(diǎn)，連接AM和AF、FM，不難證明△ABM∽△ADF，得到AB：AD＝AM：AF，∠BAM＝∠DAF，進(jìn)一步地，又得到：AB：AM＝AD：AF且∠BAD＝∠MAF.

從而，又得到△ABD∽△AMF，因此∠AMF＝∠ABD＝定角，如下圖示：

因此F在過點(diǎn)M且與AM構(gòu)成的角等于∠ABC的直線上運(yùn)動(dòng)，畫出兩特殊情形（即動(dòng)點(diǎn)D分別在點(diǎn)B和點(diǎn)C位置時(shí)的F點(diǎn)的位置，連接得到線段就是所求的F點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑。如下圖示：

顯然，此時(shí)MF＝0.5BE，而BE＝BC²/AB＝10²/6＝50/3（可通過△ABC∽△CBE得到），MF＝25/3.即點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路程為25/3.

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