作為一位數(shù)學老師,我每年都會購買大量新出版的圖書來學習,目的是為了讓自己可以及時掌握各類考試和競賽中所出現(xiàn)的新題型和新題目,不至于被時代所淘汰。因此,我每年會耗費大量的時間在尋找好書上。但是,讓我失望的是,在圖書市場上,大部分的書都是垃圾,不僅毫無“營養(yǎng)”,而且還可以歸為“有害垃圾”。

在當下這個快節(jié)奏社會里,大部分人似乎都只追求能快速解決問題的實用主義技術(shù),很難沉下心來學習更為深層次的東西。放眼現(xiàn)在的教輔書市場,充斥著大量東拼西湊出來的“題庫”和“練習冊”。與此同時,為了迎合很多“速食面”愛好者的口味,很多學?；蛘吲嘤柊嗟睦蠋熞仓恢v“如何快速解題”或“如何提高得分率”,對基礎(chǔ)知識的原理和架構(gòu)的解釋能省則省。

從一名每天追著孩子回答各種“為什么”的數(shù)學老師角度出發(fā),我買數(shù)學教輔書不喜歡那種“題庫”型的教輔材料,而更加傾向于買那些講解知識原理的圖書。正是由于這種挑剔,所以能符合我審美標準的數(shù)學教輔材料就變得非常稀缺了。

與很多學科不同,數(shù)學是一門需要不斷通過解題來獲得知識的課,因此學會“怎樣解題”就成了數(shù)學這門課的關(guān)鍵所在。關(guān)于“怎樣解題”這個問題,曾經(jīng)有很多數(shù)學家寫過專著。

這其中,最著名的當屬匈牙利籍美國數(shù)學家喬治·波利亞(George Polya,1887~1985)那本暢銷七十余年的經(jīng)典之作《怎樣解題:數(shù)學思維的新方法》(How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method)。雖然這本書討論的是數(shù)學中發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律,但是對在其他任何領(lǐng)域中怎樣進行正確思維都有明顯的指導作用。

《怎樣解題》一書圍繞“探索法”這一主題,采用明晰動人的散文筆法,闡述了求得一個證明或解出一個未知數(shù)的數(shù)學方法怎樣可以有助于解決任何“推理”性問題——從建造一座橋到猜出一個字謎。一代又一代的讀者嘗到了本書的甜頭,他們在本書的指導下,學會了怎樣摒棄不相干的東西,直搗問題的心臟。這本書被翻譯成近二十種文字,銷量超過一百萬冊,啟發(fā)了無數(shù)人的聰明才智。波利亞還有一本書《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》,也是很經(jīng)典的關(guān)于解題的專著。

另外,我國著名的數(shù)學競賽教練單墫教授也寫了一系列的關(guān)于解題的著作,其中包括《我怎樣解題》、《解題漫談》、《解題研究》等書。這些圖書影響了幾代數(shù)學競賽愛好者和數(shù)學老師們。我個人就是單墫教授的超級粉絲,從三十年前開始讀,直到如今還在讀。單墫老師通過這些書,告訴大家如何通過做高質(zhì)量的數(shù)學題來做到舉一反三、觸類旁通,以擺脫“題?！钡睦_。同時,這些書也介紹了作為數(shù)學老師應(yīng)該如何命題。因此,是不可多得的參考讀物。

以上幾本關(guān)于“怎樣解題”的書各有側(cè)重。如果按照道家的理論來說,波利亞的《怎樣解題》以及《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》更多的是從“道”這個層面來闡述如何解題,而單墫老師的解題系列則更多的是從“法”和“術(shù)”的層面來闡述如何解題。我們知道,“道”側(cè)重理論,“法”和“術(shù)”側(cè)重方法論。有道無術(shù),容易淪為紙上談兵;而有術(shù)無道又容易事倍功半。因此兩者缺一不可。那么有沒有一本將“道、法、術(shù)”三者結(jié)合得比較好的數(shù)學解題著作呢?有!這里我要介紹一本自己很喜歡并且深受影響的關(guān)于“怎樣解題”的書。

這本書是由美國著名的數(shù)學競賽教練保羅·蔡茨(Paul Zeitz)所寫,原書名叫做The Art and Craft of Problem Solving,直譯過來是“解題的技巧與藝術(shù)”,人民郵電出版社圖靈新知品牌引進并推出的最新中文版題為《怎樣解題:數(shù)學競賽攻關(guān)寶典》(第3版)。為什么要推薦這本書呢?

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根據(jù)本人多年的教學經(jīng)驗,大部分孩子對解題總是不得要領(lǐng),一個很關(guān)鍵的問題出在他們總是為了解題而解題,只是就題論題,很少有學生會從解題的方法論出發(fā),提升到解題的戰(zhàn)略和戰(zhàn)術(shù)這個層面上去。這樣做,最終勢必導致跳進題海而難以自拔,事倍功半也就成了情理之中的事情了。按照此書中文第二版的譯者李勝宏老師的話講,這與數(shù)學解題能力的培養(yǎng)和數(shù)學奧林匹克競賽的精神是相違背的。是的,很多人對奧數(shù)的誤解就是覺得參加數(shù)學競賽的選手都是靠刷題刷出來的。

學數(shù)學,題目當然是要刷的,但是單靠刷題有用嗎?我個人認為,這個答案是否定的。刷題的功效主要是為了鞏固自己學過的知識,熟悉一下各種題型,以加快考試時的解題速度。但很多同學刷題卻是了背題目和答案,希望考試的時候可以通過記憶獲得考試高分。這樣的想法其實很天真。我曾經(jīng)寫過一篇文章,文章的主旨是建議“不是學霸的孩子不要刷題”。很多人可能不知道,越高水平的考試或競賽,題目越靈活,靠背題得高分幾乎是不可能的。我們眾所周知的每年一度的國際數(shù)學奧林匹克競賽,賽前由各個國家教練員們所提供的很多重題都會被刪除,哪怕一百年前出現(xiàn)過的古董級試題,都會有人找出來告訴你這是一道舊題。

那么,既然學習數(shù)學必須刷題,有沒有辦法可以通過刷相對少量的好題盡快掌握解題的方法呢?我個人的經(jīng)驗告訴我是可以做到的。這本《怎樣解題:數(shù)學競賽攻關(guān)寶典》(第3版)就是一個很好的關(guān)于怎樣解題的示范。

本人推薦此書的理由歸納起來大致有以下幾點:

一、作者權(quán)威。該書作者本身就是一位經(jīng)驗豐富的數(shù)學老師和競賽教練,這一點首先保證了該書的權(quán)威性。作者保羅·蔡茨曾代表美國首次參加國際數(shù)學奧林匹克競賽,并多次擔任國際奧林匹克競賽美國隊的教練,具有豐富的奧林匹克競賽執(zhí)教經(jīng)驗,對數(shù)學奧林匹克有著深刻的理解與認知。我經(jīng)常和自己的學生說:人生苦短,我們讀書一定要讀大家之作,讀經(jīng)典之作。這本書就是數(shù)學大家之作的代表之一。

二、選題經(jīng)典。這本書將數(shù)學的統(tǒng)一性貫穿始終,將理論方法與經(jīng)典例題相結(jié)合。本書的例題和習題大都選自各類美國中學生數(shù)學競賽(如AMC、AIME、USAMO、ARML),同時還有更高級別的國際數(shù)學奧林匹克競賽(IMO),甚至有源自美國著名的大學生數(shù)學競賽普特南(Putnam)數(shù)學競賽。同時,書中還收錄了俄羅斯和匈牙利等老牌數(shù)學強國的一些數(shù)學競賽題,以及一些數(shù)學期刊上的趣味數(shù)學難題。這些賽題大都非常經(jīng)典,而且靈活性大,趣味性和思想性較強,是很好的數(shù)學思維訓練題。按照作者的話來說就是:“雖然本書花費很多的版面講述解決問題的技巧,但我希望讀者不要忘了解決問題的最高境界是要對解題充滿激情,把它看作一項審美活動。打個不太恰當?shù)谋确?你可以把它看作學習即興創(chuàng)作爵士鋼琴曲的過程,要想創(chuàng)作出自己的曲子,首先需要得到別人的指導和啟發(fā),并從聆聽前人創(chuàng)作的名曲中獲得靈感。”我自己經(jīng)常翻譯美國的中學生數(shù)學競賽題給學生進行訓練,受益良多。大家要記住,數(shù)學題目是永遠做不完的,但經(jīng)典的、高質(zhì)量的例題卻能起到以一敵百的功效。

三、內(nèi)容全面。該書雖然不是一本關(guān)于中學生數(shù)學競賽的系統(tǒng)訓練教材,因為一本書根本沒法做到面面俱到,但這本書從解題者的角度分別講述了代數(shù)學、組合數(shù)學、數(shù)論、幾何和微積分等知識,基本上覆蓋了中學生數(shù)學競賽所涉及的主要知識點,大體上可以幫助那些試圖在數(shù)學競賽方面有所建樹的學生在較短的時間內(nèi)對數(shù)學競賽的知識框架有一個大概的了解,也對那些講授數(shù)學競賽的教練員們有一個相對系統(tǒng)的知識指引。

四、高屋建瓴。本書將數(shù)學解題從純粹的技巧性,上升到了戰(zhàn)略和戰(zhàn)術(shù)層面,甚至還講到了解題所應(yīng)具備的心理學知識,進而把解題提高到了“藝術(shù)”的高度。這也是這本書的重點,也是我強烈推薦的原因。本書開篇就總結(jié)解決問題的方法論,方法論也是整本書的核心內(nèi)容,進而通過詳細的實例闡述了具體的解題戰(zhàn)術(shù),如極端原理、抽屜原理等。從老師的角度出發(fā),我們講究“授人以魚”,更講究“授人以漁”。如果說例題是“魚”的話,那么解題的戰(zhàn)略、戰(zhàn)術(shù)和方法論就是“漁”。我經(jīng)常講:教,最終是為了不教。如果只是讓學生機械地刷題,那么學生永遠都只是停留在就題論題的層面,不會舉一反三,也就無法擺脫題海的束縛,事倍功半是難免的事情。要成為一名解題高手,唯有跳出題目本身,站在更加高的層面,比如戰(zhàn)略和戰(zhàn)術(shù)來看解題這件事。學生通過不斷地訓練和總結(jié),形成屬于自己的解題方法,這樣才能觸類旁通。

五、通俗易懂。與很多讓人望而卻步的數(shù)學競賽類書籍不同,這本書沒有大量看似深奧復(fù)雜的數(shù)學公式(當然不可能完全沒有),更多地是采用平實的語言來對數(shù)學問題進行描述和解釋。加上作者的語言風趣幽默,大大增強了此書的可讀性?？梢哉f,這是一本非常平易近人的數(shù)學競賽輔導材料,一本將科學性和啟發(fā)性完美結(jié)合的教材。這可能也是數(shù)學競賽輔導書和解題寶典中的異類書籍。

六、參考豐富。我特別推薦讀者朋友們閱讀本書后面所羅列的中英文參考文獻,里面有很多極為經(jīng)典的數(shù)學書。有一些國內(nèi)已經(jīng)引進翻譯出版,有些還沒有。但在這個互聯(lián)網(wǎng)及其發(fā)達的社會,我們有很多渠道可以獲得這些資料。作者所羅列的每一本參考書都值得讀者朋友們細細品味。

講了這些推薦的理由之后,我有必要給讀者朋友們一點溫馨的提示,以下兩類讀者可能并不適合閱讀本書:

一、認為一本書可以徹底改變學習成績、成為解題高手的人。這個世界上沒有萬能鑰匙,一個人最終能走多遠,很大程度上要看實踐了多少,解題是一個不斷實踐的過程,否則再偉大的書都是空中樓閣。但凡認為一本書就可以成為高手的,在我看來都是懶人。

二、認為題目越新越好的讀者。這是一個信息爆炸的時代,作為數(shù)學習題而言,全世界每年都會出現(xiàn)各種新的類型和題目。你做得完么?當然不能。如果要論時效性,這本書上的例題時效性并不是特別強,但書中許多“歷史著名問題”可以說大都非常之經(jīng)典,具有很好的代表性和啟發(fā)性。我自己曾經(jīng)挑選和改編了很多書中的例題給學生訓練,有些題目的思想巧妙著實讓人嘆為觀止。

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最后我想說的是,假如你想知道“解題的藝術(shù)”是怎么一回事,就讀一讀這本書吧!這是一本關(guān)于解題藝術(shù)的典范之作。

也許,你與解題高手之間的距離,差的可能就是這本書!