“每一門科學(xué)，當(dāng)我們不是將它作為能力和統(tǒng)治力的工具，而是作為我們?nèi)祟愂来詠砼ψ非蟮膶χR的冒險歷程，不是別的，就是這樣一種和諧，從一個時期到另一個時期，或多或少，巨大而又豐富：在不同的時代和世紀(jì)中，對于依次出現(xiàn)的不同的主題，它展現(xiàn)給我們微妙而精細(xì)的對應(yīng)，仿佛來自虛空?！?/p>

——格羅滕迪克《收獲與播種》

在數(shù)學(xué)群星璀璨的20世紀(jì)，格羅滕迪克也仍然是光芒耀眼的一顆巨星。拒絕領(lǐng)取數(shù)學(xué)最高獎菲爾茲獎和在創(chuàng)造的巔峰時期選擇隱居，圍繞在他身上的傳奇故事很多。毫無疑問，格羅滕迪克是20世紀(jì)最具傳奇色彩的數(shù)學(xué)家。事實(shí)上，從二十世紀(jì)中葉開始，在整個數(shù)學(xué)領(lǐng)域里不斷加深的一般化和抽象化的潮流，在很大程度上歸功于格羅滕迪克。正如他在長篇回憶錄《收獲與播種》中所說: “構(gòu)成一個研究人員的創(chuàng)造力和想象力的品質(zhì)的東西，正是他聆聽事情內(nèi)部聲音能力”。今天格羅滕迪克自己的聲音，蘊(yùn)含在他的著作中，到達(dá)我們耳中，就如來自虛空。那么，這樣一位數(shù)學(xué)巨星到底經(jīng)歷了怎樣的一生？

早年生活

亞歷山大—格羅滕迪克（Alexandre Grothendieck）（1928~2014）于1928年出生于柏林，由于父母的緣故，早年的生活可謂顛沛流離。根據(jù)后人的研究，格羅滕迪克的父親或許名叫亞歷山大—沙皮諾，出生于烏克蘭的一個猶太人家庭，多次參加過反對沙皇政府的暴動，因此經(jīng)常入獄，僥幸逃脫死刑判決后，他流亡于德國、比利時和法國等地，繼續(xù)政治活動，從此成為無國籍人士，并且在此期間認(rèn)識了格羅滕迪克的母親漢卡—格洛騰迪克。在生下格羅滕迪克之前，他的父親均各自有過一次婚姻，并且各自還帶著一個孩子。1933年納粹上臺后，格羅滕迪克的父母逃亡法國，將兒子留在漢堡附近一個寄養(yǎng)家庭里面，這個寄養(yǎng)家庭的家長名叫威爾海姆—海鐸。

從5歲開始，格羅滕迪克在海鐸家里呆了5年多，并且開始上學(xué)。后來威爾海姆在回憶錄里面說小亞歷山大是一位非常自由，特別誠實(shí)，毫無顧忌的小孩。在他生活在海鐸家這幾年里，格羅騰迪克只從他母親那里收到幾封信，而他的父親則杳無音信。到了1939年，殘酷的戰(zhàn)爭已經(jīng)迫在眉睫，海鐸夫婦所承受的政治壓力越來越大，他們無法再再繼續(xù)撫養(yǎng)這些孩子了。而格羅騰迪克的情更加復(fù)雜些，因為他看上去就像一個猶太人。海鐸寫信給法國駐漢堡領(lǐng)事館，設(shè)法給在巴黎的沙皮諾和在尼姆茲的漢卡帶去消息。不久聯(lián)系到他的父母之后，已經(jīng)11歲的格洛騰迪克被送到了巴黎，與父母一起度過了戰(zhàn)前的短暫歡樂時光，久違的親情使得格羅滕迪克喜出望外。

但好景不長，格羅滕迪克的父母仍然熱衷于參加政治活動。最終在1942年，沙皮諾被送往奧斯維辛，并在那里遭到無情殺害。而漢卡和格羅滕迪克則被送到了戰(zhàn)俘收容所，而幸運(yùn)地是，格羅滕迪克在這里居然被允許繼續(xù)參加高中的學(xué)習(xí)。在此期間，他的母親又被送往其他集中營，自己也要時刻小心納粹的屠殺。關(guān)于這些痛苦的回憶，我們無心再更多的提及。

二戰(zhàn)結(jié)束后，格羅滕迪克和母親居住在蒙彼利爾郊外，他也開始在蒙彼利爾大學(xué)上學(xué)，母子二人靠著格羅滕迪克的獎學(xué)金和母親打零工的微薄收入勉強(qiáng)維持生活。但不久之后，格羅滕迪克開始對課堂教學(xué)失去興趣，因為老師總是在照本宣科。盡管少年時期格羅滕迪克的生活充滿痛苦與混亂，但他卻從很小的時候起就擁有強(qiáng)大的內(nèi)在理解能力。在所有數(shù)學(xué)課上，他不需要老師的提示就能區(qū)分什么內(nèi)容是正確與深層的，什么是表面或錯誤的。當(dāng)有數(shù)學(xué)問題引起他的興趣時，他就能完全忘我的投入到問題的研究中去，以至于廢寢忘食。

南錫與泛函分析

“我的微積分老師舒拉先生向我保證說數(shù)學(xué)上最后一個問題已經(jīng)在二三十年前就被一個叫勒貝格的人解決了。確切地說，他發(fā)展了一套測度和積分的理論（真是很令人驚訝的巧合?。?，而這就是數(shù)學(xué)的終點(diǎn)?！?/p>

——格羅滕迪克《收獲與播種》

這段話所包含的故事可能為很多人熟知。格羅騰迪克在蒙彼利爾三年的大部分學(xué)習(xí)時間放在了彌補(bǔ)他曾經(jīng)覺察到的高中數(shù)學(xué)教科書的缺陷上，給出了更加準(zhǔn)確的長度、面積和體積的定義。實(shí)際上完全依靠自己的努力，他實(shí)際上重新發(fā)現(xiàn)了勒貝格測度論和勒貝格積分的概念。從這時候起，格羅滕迪克非凡的數(shù)學(xué)天才已經(jīng)開始迸發(fā)巨大的能量。

1948年，格羅滕迪克靠著獎學(xué)金來到巴黎，他已經(jīng)被大學(xué)數(shù)學(xué)教師舒拉推薦給自己曾經(jīng)的老師，當(dāng)時的大數(shù)學(xué)家嘉當(dāng)，不過據(jù)格羅滕迪克自己回憶，到底是名滿天下的老嘉當(dāng)還是他的兒子小嘉當(dāng)，他自己也不清楚。不久之后，格羅滕迪克獲準(zhǔn)參加巴黎高師的數(shù)學(xué)討論班，他在這里見到了當(dāng)時數(shù)學(xué)界的風(fēng)云人物：克勞德－謝瓦萊(Claude Chevalley)，讓－德爾薩(Jean Delsarte)，讓－丟多涅(Jean Dieudonne)，洛朗－施瓦茲(Laurent Schwartz)和安德烈－韋伊(Andre Weil)等。

在討論班上的格羅滕迪克更像個“外來人”，這不僅因為他說德語，而且因為他與其他參加者比較起來顯得特別貧乏的數(shù)學(xué)教育背景。盡管格羅滕迪克擁有強(qiáng)大的數(shù)學(xué)天賦，但在大師云集的高師他仍然感覺吃力，于是在嘉當(dāng)和韋伊的建議下，格羅滕迪克在第二年10月離開氛圍“高雅”的巴黎而去了節(jié)奏稍微緩慢一些的南錫。另外，如丟多涅所說的一樣，格羅騰迪克那時候?qū)ν負(fù)渚€性空間比對代數(shù)幾何更感興趣，因此讓他去南錫再合適不過了。

丟多涅與施瓦茲此時正在南錫開設(shè)關(guān)于拓?fù)渚€性空間的討論班,著重于研究Frechet空間及其正向極限。巴拿赫空間及其對偶空間的理論在當(dāng)時已經(jīng)相當(dāng)成熟，但對局部凸空間的研究才剛剛興起。丟多涅與施瓦茲在對局部凸空間及其對偶空間的研究中不斷地遇到一些困難，恰巧已經(jīng)名聲在外的格羅滕迪克來到南錫，于是他們便將這些難題交給了格羅滕迪克。令人驚訝的是，不到一年，格羅滕迪克不僅已經(jīng)通過巧妙的構(gòu)造將這些難題全部解決，而且已經(jīng)著手研究泛函分析的其他問題了。事實(shí)證明，格羅滕迪克在南錫對泛函分析的幾年辛苦耕耘將影響深遠(yuǎn)。

1950年到1955年這幾年當(dāng)中，格羅滕迪克將全部精力放在了對泛函分析的研究上。當(dāng)1953年格羅滕迪克將博士畢業(yè)時，他已經(jīng)完成了六篇關(guān)于泛函分析的高水準(zhǔn)論文，每一篇都能夠作為他的博士論文，而最終選定的博士論文名為《拓?fù)鋸埩糠e與核空間》，并且將之獻(xiàn)與自己的母親。泛函分析中核空間的概念也自此提出，其重要性正在于幾乎所有非巴拿赫局部凸空間都是核空間，因此核空間的提出深刻影響了相關(guān)學(xué)科的發(fā)展。格羅滕迪克博士論文的發(fā)表被譽(yù)為戰(zhàn)后泛函分析最重要的事件之一。除此之外，在泛函分析領(lǐng)域，格羅滕迪克的貢獻(xiàn)還有格羅滕迪克不等式及其與絕對求和算子的關(guān)系等。丟多涅后來評價說，格羅滕迪克在泛函分析中的工作成就足以媲美這門學(xué)科的創(chuàng)始人巴拿赫，而與蓋爾范德比起來也絲毫不遜色。但格羅滕迪克對泛函分析的研究更多地是使用代數(shù)和范疇論的方法，這與主流觀點(diǎn)并不同，以至于多年之后這些方法和成果才顯示出它的威力。如今我們一提到他，首先都會想到他對代數(shù)幾何的開創(chuàng)性貢獻(xiàn)，但他對泛函分析的貢獻(xiàn)也絕不容忽視。

由于父母的緣故，格羅滕迪克直至當(dāng)時仍然沒有國籍（直到1980年法國政府才正式批準(zhǔn)他入籍法國），因此無論他多么有才華，但依然無法在法國獲得任何正式的教職席位，甚至有段時間他想過當(dāng)木匠為生。熱心的施瓦茲介紹他去巴西圣保羅大學(xué)做訪問教授，這樣格羅滕迪克即可以養(yǎng)活一家人，同時也可以有時間回法國和同行們交流。法國與巴西一直保持著數(shù)學(xué)界的密切交流，因此我們可以看到，巴西數(shù)學(xué)在當(dāng)今也是十分活躍的。

同調(diào)代數(shù)與代數(shù)幾何

但1955年之后，格羅滕迪克對泛函分析與拓?fù)渚€性空間的興趣已經(jīng)完全喪失了。按他自己的話說：“這個學(xué)科已經(jīng)死了，沒什么好研究的了”。雖然格羅滕迪克這樣看法有些偏激，但足以說明，他對此已經(jīng)徹底不感興趣了。從這時起，他的興趣轉(zhuǎn)向了同調(diào)代數(shù)。格羅滕迪克的興趣轉(zhuǎn)移并不是空穴來風(fēng)，小嘉當(dāng)和艾倫伯格不久前闡釋了同調(diào)代數(shù)在研究代數(shù)拓?fù)渲酗@示的巨大潛力，這讓格羅滕迪克很著迷。這一年，格羅滕迪克發(fā)展了阿貝爾范疇的公理化理論，相關(guān)結(jié)論成為了同調(diào)代數(shù)中的經(jīng)典。

接下來，格羅滕迪克將目光轉(zhuǎn)向了自己真正的舞臺——代數(shù)幾何。實(shí)際上，格羅滕迪克對代數(shù)幾何的興趣是在謝瓦萊和塞爾的影響下逐漸形成的。格羅滕迪克十分熱衷于參加謝瓦萊在巴黎高師開設(shè)的代數(shù)群討論班。同時，塞爾更是給予了格羅滕迪克直接的影響。塞爾擁有非常廣博的代數(shù)幾何知識，此時已經(jīng)成為了格羅滕迪克相關(guān)知識無盡的源泉，后人甚至可以從二人的通信中學(xué)到比課本上更多更深刻的代數(shù)幾何知識。

不久之后格羅滕迪克得到了一個經(jīng)典結(jié)果：黎曼球上每一個全純向量叢是線叢的直和。但實(shí)際上，這樣的結(jié)果早已被諸如伯克霍夫、希爾伯特等數(shù)學(xué)家得到，只不過數(shù)學(xué)教育背景“貧乏”的格羅滕迪克并不知道，正如以前重新“發(fā)現(xiàn)”勒貝格測度論一樣。盡管如此，格羅滕迪克這樣的成果還是開啟了射影空間上向量叢的系統(tǒng)研究和分類。

從1956年到1970年這十多年內(nèi)，格羅滕迪克再未離開過代數(shù)幾何的研究。一開始，他將精力集中在將關(guān)于簇的“絕對”定理轉(zhuǎn)化為關(guān)于態(tài)射的“相對”定理，這一時期最重要的成就當(dāng)屬對于“黎曼—羅赫”定理的推廣，也就是它的“相對”定理。希策布魯赫曾對經(jīng)典的“黎曼—羅赫”定理有過重大改進(jìn)，數(shù)學(xué)界曾一度認(rèn)為這已經(jīng)是蓋棺定論。但格羅滕迪克卻不這么認(rèn)為，“不，黎曼—羅赫定理不是一個關(guān)于簇的定理，而是一個關(guān)于簇間態(tài)射的定理”，他非常肯定地得出了他的結(jié)論。這是一個根本性的新觀點(diǎn)，整個定理的陳述徹底改變了。波萊爾評價說：“這真的很符合范疇論和函子的精神，不過人們從沒有想過在如此困難的論題上使用它。單單這個陳述本身就已經(jīng)領(lǐng)先別的任何人10年時間?！痹?jīng)格羅滕迪克將這樣的精神引進(jìn)了泛函分析，而如今，他又將其帶到新的領(lǐng)域，并再次發(fā)揚(yáng)光大。

取得這樣光輝的成就之后，1958年格羅滕迪克受邀前往在愛丁堡舉辦的國際數(shù)學(xué)家大會上作報告。在大會上，他擬定了一個在正特征域上定義同調(diào)論的綱領(lǐng)，它將有可能導(dǎo)致韋伊猜想的證明，而韋伊猜想短語在有限域上代數(shù)簇的算術(shù)和復(fù)數(shù)域上代數(shù)簇的拓?fù)渲g存在深刻的聯(lián)系。此時的韋伊猜想已經(jīng)吸引了大量頂級數(shù)學(xué)家研究，包括韋伊，格羅滕迪克外和塞爾等。

與此同時，格羅滕迪克也是代數(shù)K—理論的創(chuàng)始人之一。K—理論在數(shù)學(xué)中有很多非凡的作用，例如非常著名的阿蒂亞—辛格指標(biāo)定理便是其影響下的產(chǎn)物之一。

“在IHES（高等科學(xué)研究所）的英雄歲月里，丟多涅和我是所里僅有的成員，也是僅有的可以給它帶來信譽(yù)和科學(xué)世界聽眾的人……我覺得自己和丟多涅一起，有點(diǎn)象是我任職的這個研究所的“科學(xué)”共同創(chuàng)始人，而且我期望在那里結(jié)束我的歲月！我最終將強(qiáng)烈地認(rèn)同IHES。”

——格羅滕迪克《收獲與播種》

1959年，格羅滕迪克受邀到巴黎近郊的高等科學(xué)研究所工作，接下來的10年，這里將成為代數(shù)幾何的中心。這一時期內(nèi)，韋伊猜想的證明成為了格羅滕迪克工作的主要動力，而“概型”作為代數(shù)幾何新的語言正是在這一時期得以確立。

簡單來說，概型是代數(shù)簇的一個推廣。給定一組素特征有限域，一個概型就可以產(chǎn)生一組代數(shù)簇，而每一個都有它自己與眾不同的幾何結(jié)構(gòu)。而概型可以讓我們在一個統(tǒng)一方法下，研究一個代數(shù)簇所有不同的“化身”。邁克—阿廷評論說，“這太激進(jìn)了。沒有人有勇氣哪怕去想象這個方法的可行性，真的太出色了?！?/p>

而他另一大開創(chuàng)性貢獻(xiàn)便是提出“拓?fù)渌梗╰opos）”的概念。如格洛騰迪克自己所言，拓?fù)渌故恰翱臻g概念的變體”。拓?fù)渌箍梢悦枋鰹檫@樣一個范疇，它盡管無需起因于普通空間，然而卻具有所有層范疇的“好”的性質(zhì)。對于一個拓?fù)淇臻g而言真正重要的根本不是它的‘點(diǎn)’或者點(diǎn)構(gòu)成的子集和它們的親近關(guān)系等等，而是空間上的層和層構(gòu)成的范疇。

從技巧層面來說，格羅滕迪克在數(shù)學(xué)上的大多工作集中在發(fā)展所缺乏的上同調(diào)理論。平展上同調(diào)（Etale cohomology）就是這樣一種理論，由格羅騰迪克與邁克—阿廷等人所發(fā)展，其明確意圖就是證明韋伊猜想，而它確實(shí)是推動最終證明的主要因素之一。但實(shí)際上格羅騰迪克走得更遠(yuǎn)，他還發(fā)展了motive的概念，他將此描述為“終極上同調(diào)不變量”，所有其他的上同調(diào)理論都是它的實(shí)現(xiàn)或者化身。遺憾的是，格羅滕迪克最終沒有完成韋伊猜想的徹底證明，然而他卻是這一領(lǐng)域內(nèi)的偉大引路人，指引著他的學(xué)生德利涅最終實(shí)現(xiàn)了這一創(chuàng)舉。

在IHES的歲月里，格羅騰迪克對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)是完全的。他的非凡精力和工作能力，以及對自身觀點(diǎn)的頑強(qiáng)堅持，產(chǎn)生了數(shù)學(xué)思維的巨浪，將很多人卷入到它的奔涌激流中。

榮譽(yù)與遺產(chǎn)

1966年，因為對泛函分析，黎曼—羅赫定理以及概型理論的貢獻(xiàn)而榮獲數(shù)學(xué)最高獎菲爾茲獎。但為了表達(dá)對蘇聯(lián)政府的抗議，他拒絕了領(lǐng)獎。或許正是因為自己青年時期飽受戰(zhàn)爭傷害，格羅滕迪克對戰(zhàn)爭異常痛恨。1970年，當(dāng)他發(fā)現(xiàn)IHES的經(jīng)費(fèi)部分來自軍方時，不久之后便憤然辭職，對數(shù)學(xué)的興趣也越來越淡薄，在他看來，數(shù)學(xué)界已經(jīng)失去了道德。之后的幾年，格羅滕迪克致力于保護(hù)環(huán)境的運(yùn)動，80年代又開始在蒙彼利爾從事了幾年的數(shù)學(xué)活動。而后來就干脆選擇了隱居，從人們的視線中消失，以至于多年之中，外界甚至不清楚他的生死。

受布爾巴基學(xué)派的影響和在丟多涅的幫助下，格羅滕迪克完成了代數(shù)幾何巨著《代數(shù)幾何原理》（Elements de Geometrie Algebrique，簡稱EGA，計劃寫十三卷，最終完成四卷），而他在討論班上的一系列講稿也匯聚成了Seminaire de Geometrie Algebrique du Bois Marie，簡稱SGA。他也在巴黎布爾巴基討論班上介紹了很多結(jié)果，它們被合集為FGA，即Fondements de la Geometrie Algebrique。EGA，SGA與FGA加起來將近7500頁，這些寶貴的財富構(gòu)建起了現(xiàn)代代數(shù)幾何的框架，并且滋養(yǎng)出了一大批后來者。而如今我們也有幸通過格羅滕迪克的自傳《收獲與播種：一個數(shù)學(xué)家過去的回顧和證詞（Recoltes et Semailles: Reflexions et temoignage sur un passé de mathematicien）》來探尋他不平凡的一生以及他的內(nèi)心世界。然而遺憾的是，由于篇幅巨大，翻譯起來費(fèi)力不討好，《收獲與播種》甚至沒有完整的英文譯本，更沒有正式的中文版，這不得不說是巨大的遺憾，但我們都非常期待著這一天。

1988年，格羅滕迪克又拒絕了瑞典皇家科學(xué)院頒發(fā)給他的克勞福德獎，他說到：“新思想是否富有成果，時間是唯一的證明。而數(shù)學(xué)家是否富有成果由成果決定，而非榮譽(yù)”。我想這句話正是對他一生的寫照。

結(jié)語

完全格羅滕迪克對20世紀(jì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)和影響是困難的。他改變了我們在數(shù)學(xué)許多領(lǐng)域思考的方式。他的許多思想在創(chuàng)建時期是偉大的革命，而現(xiàn)在是如此的自然，仿佛它一直在就數(shù)學(xué)中一樣。他的思想對新一代數(shù)學(xué)家而言是壯闊的風(fēng)景，引領(lǐng)著他們走進(jìn)數(shù)學(xué)的殿堂之中。