13.7 Stokes 定理

Stokes 定理告訴我們, 三維空間中的曲面邊界上的線(xiàn)積分等于向量場(chǎng)函數(shù)旋度在法向分量的曲面積分.

環(huán)量密度: 旋度

之前看到在二維空間中向量場(chǎng) F = Mi + Nj 在某點(diǎn)的旋度是一個(gè)數(shù)值 ?N/?x??M/?y?N?x??M?y. 而在一個(gè)三維空間內(nèi)向量場(chǎng)(如流速場(chǎng))中, 旋度就可以度量場(chǎng)中某點(diǎn) P 處的旋轉(zhuǎn)程度. 此時(shí)旋度為一個(gè)向量, 方向?yàn)樵撔D(zhuǎn)軸的方向(旋轉(zhuǎn)平面的法向量), 場(chǎng)中最大旋轉(zhuǎn)的速度向量為:

觀察下面動(dòng)圖, 三維空間中該曲面上 3 個(gè)不同的點(diǎn)處旋度動(dòng)畫(huà):

• 點(diǎn)1 - 旋度>0, 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn);

• 點(diǎn)2 - 旋度<0, 順時(shí)針旋轉(zhuǎn);

• 點(diǎn)3 - 旋度=0.01, 接近0, 所以幾乎沒(méi)有旋轉(zhuǎn);

Stokes 定理

Stokes Theorem 是格林定理旋度形式在三維空間的推廣. 當(dāng)向量場(chǎng)是連續(xù)的, 且在曲面 S 上處處可微的情況下, 定理成立.

Stokes 定理: 向量場(chǎng) F = Mi + Nj + Pk 繞一個(gè)定向曲面 S 的邊界 C 沿與曲面單位法向量 n 成逆時(shí)針?lè)较蛏系沫h(huán)流量等于 (?×F)?n 在 S 上的積分.

可以觀察下面動(dòng)圖, 來(lái)更好地理解 Stokes 定理.

曲線(xiàn) C 一定要是一個(gè)空間中封閉的曲線(xiàn), 但是曲面 S 可以是任何一個(gè)以 C 為邊界的曲面(如下動(dòng)畫(huà)所示):

由 Stokes 定理可知, 如果兩定向曲面 S1 和 S2 有相同的邊界 C, 則他們的旋度積分也相等.最后推薦觀看《輕松理解散度和旋度 - 數(shù)學(xué)知識(shí)的動(dòng)畫(huà)解析》這個(gè)短片, 一定會(huì)有更深理解.