整式的乘法與因式分解

知識(shí)結(jié)構(gòu)圖：

一、整式的有關(guān)概念

1．整式

整式是單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的統(tǒng)稱(chēng)．

2．單項(xiàng)式

單項(xiàng)式是指由數(shù)字或字母的乘積組成的式子；單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)；單項(xiàng)式中所有字母指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)．

3．多項(xiàng)式

幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式；多項(xiàng)式中，每一個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)；多項(xiàng)式中次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)．

二、整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算

1、同底數(shù)冪乘法：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。

2、同底數(shù)冪除法：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。

3、冪的乘方：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。

4、積的乘方：積的乘方等于各因式乘方的積。

注：（1）任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零指數(shù)冪都等于1；

（2）任何一個(gè)不等于零的數(shù)的-p（p為正整數(shù)）指數(shù)冪，

等于這個(gè)數(shù)的p指數(shù)冪的倒數(shù)。

（3）科學(xué)記數(shù)法：或

 絕對(duì)值小于1的數(shù)可記成的形式，其中，n是正整數(shù)，n等于原數(shù)中第一個(gè)有效數(shù)字前面的零的個(gè)數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前面的一個(gè)零）。

三、同類(lèi)項(xiàng)與合并同類(lèi)項(xiàng)

1．所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的單項(xiàng)式叫做同類(lèi)項(xiàng)．

2．把多項(xiàng)式中的同類(lèi)項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類(lèi)項(xiàng)，合并的法則是系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為合并后的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變．

四、求代數(shù)式的值

1．一般地，用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式指明的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算出的結(jié)果就叫做代數(shù)式的值．

2．求代數(shù)式的值的基本步驟：

(1)代入：一般情況下，先對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將數(shù)值代入；

(2)計(jì)算：按代數(shù)式指明的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算出結(jié)果．

五、整式的運(yùn)算

1．整式的加減

(1)整式的加減實(shí)質(zhì)就是合并同類(lèi)項(xiàng)；

(2)整式加減的步驟：有括號(hào)，先去括號(hào)；有同類(lèi)項(xiàng)，再合并同類(lèi)項(xiàng)．注意去括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)要變號(hào)．

2．整式的乘除

(1)整式的乘法

①單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘：把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式，只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．

②單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc．

③多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb．

(2)整式的除法

①單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：把系數(shù)、同底數(shù)冪相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．

②多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.

3．乘法公式

(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；

(2)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.

六、因式分解

1．因式分解的概念

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做多項(xiàng)式的因式分解．

2．因式分解的方法

(1)提公因式法

公因式的確定：第一，確定系數(shù)(取各項(xiàng)整數(shù)系數(shù)的最大公約數(shù))；第二，確定字母或因式底數(shù)(取各項(xiàng)的相同字母)；第三，確定字母或因式的指數(shù)(取各相同字母的最低次冪)．

(2)運(yùn)用公式法

①運(yùn)用平方差公式：．

②運(yùn)用完全平方公式：.

(3)十字相乘: .

3.分解因式的技巧：

(1) 因式分解時(shí)，有公因式要先提公因式，然后考慮其他方法；

(2）因式分解時(shí)，有時(shí)項(xiàng)數(shù)較多時(shí)，看看分組分解法是否更簡(jiǎn)潔.

典例1：計(jì)算的結(jié)果是(　B　)

A．x　　　B．　　　C．　　　D．

典例2：下列算式中：①；②；③；④

，其中正確的有②③．

練習(xí)：已知3x＋5y＝8，求的值．

解：.

典例3：計(jì)算：

(1) ；

解：原式＝；

(2) ．

解：原式＝.

典例4：化簡(jiǎn)求值：，其中a＝2，b＝－1.

解：原式＝－(8a＋5b)(4a＋b)＝－77.

練習(xí)：1.計(jì)算：(1)；

解：原式＝；

(2)(x＋7)(x－3)．

解：原式＝＝.

2．先化簡(jiǎn)，再求值：(a＋2)(a－2)＋a(1－a)，其中a＝5.

解：原式＝；

當(dāng)a＝5時(shí)，原式＝5－4＝1.

典例5：分解因式：

(1) ；

解：原式＝＝(3x＋3y－2)(3x－3y＋2)；

(2) ；

解：原式＝；

(3) .

解：原式＝

練習(xí)：分解因式：

(1) ；

解：原式＝

(2) .

解：原式＝

典例6：若△ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c，且滿足＝2a＋2b＋2c，試判斷△ABC的形狀．

解：∵＝2a＋2b＋2c，∴，即，∴a＝1，b＝1，c＝1，故a＝b＝c，則△ABC為等邊三角形．