培優(yōu)題目講解《牛吃草問題》考驗(yàn)?zāi)愕乃季S，有趣的經(jīng)典奧數(shù)題目。

大家好我是小梁老師，這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)牛吃草問題，這類問題相信很多同學(xué)都聽說過，但是會(huì)做嗎？這類問題解題時(shí)有固定的計(jì)算方法。

牛吃草問題最先見于牛頓所著的《普通算術(shù)》一書中，所以人們習(xí)慣上稱這類問題為牛頓問題。

牛吃草問題解答分三步：

1.計(jì)算新草生長(zhǎng)(或枯萎)的速度；

2.計(jì)算草地上原有的草；

3.解答問題。

問題有兩種：第一種是知道牛數(shù)，求吃的天數(shù)；第二種是知道吃的天數(shù)求牛數(shù)。

難題點(diǎn)撥①

牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿了牧草，牧草每天勻速地生長(zhǎng)，這個(gè)牧場(chǎng)上的牧草可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天。問：這個(gè)牧場(chǎng)上的牧草可供25頭牛吃多少天?

解題分析：因?yàn)槟翀?chǎng)上的牧草每天不停地勻速生長(zhǎng)，所以要正確地解答此題，必須搞清楚兩點(diǎn)：(1)牧場(chǎng)上原來的草量;(2)每天生長(zhǎng)的草量

如果設(shè)每頭牛每天的吃草量為“1”，那么根據(jù)題中的條件可以知道，10頭牛20天的吃草量是10×20＝200，15頭牛10天的吃草量是15×10＝150，同樣一片牧草地，20天的草量是200，10天的草量是150，這樣就可以求出牧草每天的生長(zhǎng)量是(200-150)÷(20-10)＝5，牧場(chǎng)上原來的存草量是200-5×20＝100

因?yàn)槊款^牛每天的吃草量是“1”，所以這個(gè)牧場(chǎng)上每天生長(zhǎng)的牧草

可供1頭牛吃5天，或供5頭牛吃1天。

如果我們讓25頭牛中的5頭牛吃每天新長(zhǎng)出的牧草，讓剩下的20牛吃牧場(chǎng)上原來的存草，那么這片牧草可供25頭牛吃100÷20＝5(天)。

解：

10頭牛20天的吃草量是:10×20＝200

15頭牛10天的吃草量是:15×10＝150

牧場(chǎng)上牧草每天的生長(zhǎng)量是:(200-150)÷(20-10)＝5

牧場(chǎng)上原來的存草量是:200-5×20＝100

這片牧草可供25頭牛吃的天數(shù)是:100÷(25-5)＝5(天)

答：這個(gè)牧場(chǎng)上的牧草可供25頭牛吃5天。

練習(xí)題：

1、有一個(gè)牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿了牧草，這片牧草每天勻速地生長(zhǎng)，牧場(chǎng)上的牧草可供27頭牛吃6天，可供23頭牛吃9天。問:可供21頭牛吃幾天?

難題點(diǎn)撥②

有一水池，池底不斷有泉水涌出，每小時(shí)涌出的水量相等。如果用12臺(tái)抽水機(jī)3小時(shí)可以抽完，如果用5臺(tái)抽水機(jī)10小時(shí)可以抽完。如果要2小時(shí)把水抽完，需多少臺(tái)抽水機(jī)?

分析并解答：將每臺(tái)抽水機(jī)每小時(shí)的抽水量看作“1”，那么：

12臺(tái)抽水機(jī)3小時(shí)的抽水量是：12×3＝36

5臺(tái)抽水機(jī)10小時(shí)的抽水量是：5×10＝50

池底每小時(shí)涌出的水量是：(50-36)÷(10-3)＝2

池中原來的水量是:36-2×3＝30

用2臺(tái)抽水機(jī)抽池底涌出的水，用余下的抽水機(jī)抽水池中原來的水。

如果要2小時(shí)把水抽完，需要抽水機(jī):30÷2+2＝17(臺(tái))

答：如果要2小時(shí)把水抽完，需17臺(tái)抽水機(jī)。

練習(xí)題：

1、有一眼水井，井中持續(xù)不斷地涌出泉水，每分鐘涌出的水量相等。如果用3合抽水機(jī)40分鐘可以將井中的水抽完，如果用5臺(tái)抽水機(jī)20分鐘可以將井中的水抽完。如果要在10分鐘內(nèi)將井中的水抽完，需要多少臺(tái)抽水機(jī)?

難題點(diǎn)撥③

個(gè)牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿了牧草，牧草每天勻速地生長(zhǎng)。這些牧草可供16只羊吃20天，或者可供20只羊吃15天。現(xiàn)在牧場(chǎng)上有12只羊吃牧草，5天后，又增加了12只羊，還要多少天可以將牧場(chǎng)上的牧草吃完?

分析并解答：將每只羊每天的吃草量看作“1”，那么

16只羊20天的吃草量是:16×20＝320

20只羊15天的吃草量是:20×15＝300

牧草每天的生長(zhǎng)量是:(320-300)÷(20-15)＝4

牧場(chǎng)上原有的草量是:320-4×20＝240

讓4只羊吃牧場(chǎng)上每天新生長(zhǎng)的牧草，讓剩下的12-4＝8(只)羊吃牧場(chǎng)上原有的牧草

5天后，牧場(chǎng)還剩下的牧草量是:240-8×5＝200

增加12只羊后，剩下的牧草還可以吃的天數(shù)是:200÷(8+12)＝10(天)

答：還要10天可以將牧場(chǎng)上的牧草吃完。

練習(xí)題：

1、一個(gè)牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿了牧草，牧草每天都勻速地生長(zhǎng)。這些牧草可供8只羊吃30天，或者可供20只羊吃10天。現(xiàn)在牧場(chǎng)上有10只羊，10天后，又增加了12只羊，還要多少天可以將牧場(chǎng)上的牧草吃完?

難題點(diǎn)撥④

自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級(jí)臺(tái)階，女孩每分鐘走15級(jí)臺(tái)階，結(jié)果男孩用5分鐘到達(dá)樓上，女孩用了6分鐘到達(dá)樓上。問:該扶梯共有多少級(jí)臺(tái)階?

分析并解答：與“牛吃草”相比較，原草量變成了“外露扶梯合階數(shù)”，“牛數(shù)”變成“走的速度”。上樓的速度分為兩部分：一部分是人的速度，另一部分是自動(dòng)扶梯的速度。男孩5分鐘走了20×5＝100(級(jí))，女孩6分鐘走了15×6＝90(級(jí))，女孩比男孩少走100-90＝10(級(jí))，多用了6-5＝1(分)。說明電梯1分鐘走10級(jí)。

(20×5-15×6)+(6-5)＝10(級(jí))

則扶梯的合階數(shù)為：20×5+10×5＝150(級(jí))

或10×6+15×6＝150(級(jí))。

答：該扶梯共有150級(jí)臺(tái)階。

練習(xí)題：

1、自動(dòng)扶梯以均勻速度行駛著，小王和小文要乘扶梯上樓。已知小王每分鐘走25級(jí)臺(tái)階，小文每分鐘走20級(jí)臺(tái)階，結(jié)果小王用5分鐘，小文用了6分鐘分別到達(dá)樓上。該扶梯共有多少級(jí)臺(tái)階?

本節(jié)課練習(xí)題答案如下：

難題點(diǎn)撥1

1.將每頭牛每天的吃草量看作“1”，那么:

27頭牛6天的吃草量是:27×6＝162

23頭牛9天的吃草量是:23×9＝207

牧場(chǎng)上牧草每天的生長(zhǎng)量是:

(207-162)÷(9-6)＝15

牧場(chǎng)上原有的草量是:162-15×6＝72

這片牧草可供21頭牛吃的天數(shù)是:

72÷(21-15)＝12(天)

難題點(diǎn)撥2

1.將每臺(tái)抽水機(jī)每分鐘的抽水量看作“1”，

那么：

3臺(tái)抽水機(jī)40分鐘的抽水量是:3×40＝120

5臺(tái)抽水機(jī)20分鐘的抽水量是:5×20＝100

井中每分鐘涌出的水量是:

(120-100)÷(40-20)＝1

井中原有的水量是:120-1×40＝80

如果要在10分鐘內(nèi)將井中的水抽完，需要抽水機(jī):80÷10+1＝9(臺(tái))

難題點(diǎn)撥3

1.將每只羊每天的吃草量看作“1”，那么：

8只羊30天的吃草量是:8×30＝240

20只羊10天的吃草量是:20×10＝200

牧草每天的生長(zhǎng)量是:(240-200)÷(30-10)＝2

牧場(chǎng)上原有的草量是:240-30×2＝180

10只羊吃了10天后還剩下的牧草量是:

180-10×(10-2)＝100

又增加了12只羊，剩下的牧草還可以吃的天數(shù)是:100÷(10-2+12)＝5(天)