【知識(shí)背景】

“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頎《古從軍行》里的一句詩。而由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問題，通常稱為“將軍飲馬”。

如圖，將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)在他要帶馬去河邊喝水，之后返回軍營，問：將軍怎么走能使得路程最短？這個(gè)問題被稱為“將軍飲馬”的問題，便流傳至今.

【問題原型】將軍飲馬 造橋選址

【涉及知識(shí)】兩點(diǎn)之間線段最短;垂線段最短;三角形兩邊三邊關(guān)系; 軸對稱;平移.

【常見模型】

一、兩定一動(dòng)型：

問題：在直線l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，使動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A與B的距離之和最小，即PA+PB最小.

二、兩動(dòng)一定型：

問題：在∠MON的內(nèi)部有一點(diǎn)A，在OM上找一點(diǎn)B，在ON上找一點(diǎn)C，使得△BAC的周長最小.

三、兩定兩動(dòng)型(造橋選址)：

問題：已知，A,B是兩個(gè)定點(diǎn)，在定直線L上找兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M與N，且MN長度等于定長d(動(dòng)點(diǎn)M位于動(dòng)點(diǎn)N左側(cè))，使AM+NM+NB的值最小.

四、垂線段最短型：

問題：在∠NOM的內(nèi)部有一點(diǎn)A，在OM上找一點(diǎn)B，在ON上找一點(diǎn)C，使得AB+BC最短.

【應(yīng)用舉例】

1.（2019春·東陽市期末）如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB＝1/3S矩形ABCD，則點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之和PA+PB的最小值為（ ）

A．5 B．2√13 C．2√2 D．4√2

【解答】設(shè)△ABP中AB邊上的高是h．

∵S△PAB＝1/3S矩形ABCD，∴1/2AB·h＝1/3AB·AD，∴h＝2/3AD＝2，

∴動(dòng)點(diǎn)P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，如圖，作A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)E，連接AE，連接BE，則BE的長就是所求的最短距離．

在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝2+2＝4，

∴由勾股定理可求得BE＝4√2，即PA+PB的最小值為4√2．故選：D．

2.（2019·港南區(qū)四模）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，∠AOB＝30°，OP＝8，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，則△PMN周長的最小值為（ ）

A．5 B．6 C．8 D．10

【解答】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OP、OC、OD、PM、PN．

∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為D，

∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；

∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為D，

∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，

∴OC＝OD＝OP＝8cm，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，

∴△COD是等邊三角形，∴CD＝OC＝OD＝8．

∴△PMN的周長的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝8，故選：C．

3. （2019春·梁溪區(qū)期末）如圖，正方形ABCD的邊長為3，E、F是對角線BD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF＝√2，連接AE、AF，則AE+AF的最小值為（ ）

A．2√5 B．3√2 C．9/2 D．22/5

【解答】如圖作AH∥BD，使得AH＝EF＝√2，連接CH交BD于F，則AE+AF的值最?。?/p>

∵AH＝EF，AH∥EF，∴四邊形EFHA是平行四邊形，∴EA＝FH，

∵FA＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，

在Rt△CAH中，由勾股定理可求得CH＝2√5，

∴AE+AF的最小值2√5，故選：A．

4.（2019秋·沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）如圖已知EF∥GH，AC⊥EF于點(diǎn)C，BD⊥EF于點(diǎn)D交HG于點(diǎn)K．AC＝3，DK＝2，BK＝4．

（1）若CD＝6，點(diǎn)M是CD上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離相等時(shí)，求CM的長；

（2）若CD＝13/2，點(diǎn)P是HG上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是EF上一點(diǎn)，連接AP，PQ，QB，求AP+PQ+QB的最小值．

【解答】（1）如圖1中，連接AB，作線段AB的中垂線MN，交AB于N，交EF于M，連接AM，BM．設(shè)DM＝x．

（2）如圖2中，如圖，作點(diǎn)A故直線GH 的對稱點(diǎn)A′，點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)B′，連接A′B′交GH于點(diǎn)P，交EF于點(diǎn)Q，作B′H⊥CA交CA的延長線于H．

則此時(shí)AP+PQ+QB的值最?。?/p>

根據(jù)對稱的性質(zhì)可知：PA＝PA′，QB＝QB′，

∴PA+PQ+QB＝PA′+PQ+QB′＝A′B′，

∴PA+PQ+PB的最小值為線段A′B′的長，

【總結(jié)反思】

我們已經(jīng)知道，類似的“將軍飲馬”問題，最關(guān)鍵的就是要作對稱，但怎么做，可能大家并不是十分明確，我們再來好好體會(huì)一下：

首先，明確定點(diǎn)，定線，動(dòng)點(diǎn)．

1．必然是作定點(diǎn)關(guān)于定線的對稱點(diǎn)！

2．作的次數(shù)需要看動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)！有幾個(gè)動(dòng)點(diǎn)在哪些定線上，那么相應(yīng)的定點(diǎn)就要做關(guān)于這些定線的對稱點(diǎn)．

原題，只要在一條定線上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那只需作定點(diǎn)關(guān)于定線的一個(gè)對稱點(diǎn)．

變式1，要在兩條定線找兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則需要作作定點(diǎn)關(guān)于定線的兩個(gè)對稱點(diǎn)，即兩次．

變式2，要在兩條定線找兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則需要作作定點(diǎn)關(guān)于定線的對稱點(diǎn)與定點(diǎn)關(guān)于定線的對稱點(diǎn)，也是2個(gè)，即2次．

3．作完對稱點(diǎn)如何連接也需看作對稱次數(shù)！

原題，把對稱點(diǎn)直接連接另一個(gè)定點(diǎn)，則連線與定線上的交點(diǎn)，即為動(dòng)點(diǎn)．

變式1，把兩個(gè)對稱點(diǎn)連接，與定線上的交點(diǎn)即為動(dòng)點(diǎn)，分別與定點(diǎn)(軍營A)相連．

變式2，把兩個(gè)對稱點(diǎn)連接，與定線上的交點(diǎn)即為動(dòng)點(diǎn)，分別與定點(diǎn)相連．

如果用口訣來總結(jié)，那就是：定點(diǎn)定線作對稱，次數(shù)就看動(dòng)點(diǎn)數(shù)． 一次對稱直連定， 兩次對稱先相連．