問題：1厘米的長(zhǎng)度比1平方厘米的面積??？

三年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)“面積”這一內(nèi)容時(shí)，對(duì)下面的判斷題產(chǎn)生了疑惑:

1厘米的長(zhǎng)度比1平方厘米的面積小。（ ）

班級(jí)學(xué)生持有兩種觀點(diǎn)：一類學(xué)生認(rèn)為這句話是錯(cuò)誤的，因?yàn)槔迕缀推椒嚼迕资莾煞N不同的計(jì)量單位，就像身高和體重一樣，無法進(jìn)行大小或長(zhǎng)短的比較。另一類學(xué)生認(rèn)為這句話是正確的，因?yàn)樵谥罢J(rèn)識(shí)面積時(shí)，我們摸出的物體的面也包括這個(gè)面上的邊。

分析：學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)識(shí)上的分歧的原因是什么呢？

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角度不同

認(rèn)為錯(cuò)的學(xué)生是站在數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的角度解釋，只有長(zhǎng)度與長(zhǎng)度或者面積與面積這樣的同類量之間才有大小或長(zhǎng)短的相差關(guān)系，而不能用相差關(guān)系來描述長(zhǎng)度與面積這兩個(gè)不同類量。而認(rèn)為對(duì)的學(xué)生是站在生活經(jīng)驗(yàn)的角度，從摸面的感性經(jīng)驗(yàn)可知，摸出的面包含其中的邊，所以認(rèn)為“1厘米的長(zhǎng)度比1平方厘米的面積小”這句話是對(duì)的。

2

生活經(jīng)驗(yàn)感性認(rèn)識(shí)與數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)理性認(rèn)識(shí)的沖突

判斷題中的1厘米和1平方厘米實(shí)指兩個(gè)平面圖形，即一維圖形“線段”和二維圖形“正方形”，數(shù)學(xué)上的“正方形”與生活中的“面”有很強(qiáng)的一致性，而數(shù)學(xué)上的“線段”與生活中的“線”（或是“邊”）有本質(zhì)的不同。所以，細(xì)細(xì)想來，認(rèn)為錯(cuò)誤的學(xué)生問題出在二年級(jí)認(rèn)識(shí)線段時(shí)，對(duì)線段的核心本質(zhì)認(rèn)識(shí)不到位所致。

“線段”是對(duì)生活中線（或邊）的抽象，生活中的“線”有寬度、有厚度、有長(zhǎng)度，而將其數(shù)學(xué)化處理，抽象成“線段”后只保留長(zhǎng)度這一本質(zhì)屬性，排除了厚度、寬度等一些非本質(zhì)的屬性，也就是不考慮其粗細(xì)，所以數(shù)學(xué)中的“線段”就不存在面。其實(shí)平面圖形與生活物體中的“平面”亦是如此，生活中的“平面”有寬度、長(zhǎng)度、厚度，而抽象成平面圖形后只保留其長(zhǎng)度和寬度，排除了厚度這一非本質(zhì)屬性。所以對(duì)“1厘米的長(zhǎng)度比1平方厘米的面積小”這句話的分析，僅限于對(duì)長(zhǎng)度與面積的比較，而這兩者是不同角度的度量單位，自然沒有可比性。

那么還有一個(gè)問題，教高年級(jí)的老師會(huì)說道：數(shù)學(xué)上不是有點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面一說嗎？線動(dòng)成面不正佐證了面是由線構(gòu)成的嗎？既然如此，線比面小不是可以說得通嗎？而且還列舉了生活中織布現(xiàn)象為例來形象說明。沒錯(cuò)，我們從織布現(xiàn)象是可以看出面是由線構(gòu)成，是可以說線比面小，或者說1厘米長(zhǎng)的毛線比1平方厘米的布小，這里是把生活中的毛線和布進(jìn)行對(duì)比，毛線和布是同一屬性的物體，它們都有長(zhǎng)度、寬度、厚度，屬于同一類量，自然可以表示大小關(guān)系。而判斷題“1厘米的長(zhǎng)度比1平方厘米的面積小”這里是對(duì)純數(shù)學(xué)概念的對(duì)比，是對(duì)“線段”和“正方形”的對(duì)比，不同于對(duì)生活中毛線與布的對(duì)比，這里只考慮“線段”和“正方形”的本質(zhì)屬性，即長(zhǎng)度和面積，而這兩者是不同類量，不能用相差的多少來表示它們之間的關(guān)系。

教學(xué)上的靈活處理

上述的理性分析，只能說明“1厘米的長(zhǎng)度比1平方厘米的面積小”這句話是錯(cuò)誤的，如何讓學(xué)生真正認(rèn)可這樣的認(rèn)識(shí)，我以為，在學(xué)生自主建構(gòu)的過程中，教師要幫助學(xué)生明晰“厘米”與“平方厘米”的區(qū)別，其實(shí)也就是“長(zhǎng)度”與“面積”的區(qū)別，但不必過于深入，只要讓學(xué)生有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)即可。教學(xué)中，可以出示如下練習(xí)：

下面的哪個(gè)圖形表示1厘米，哪個(gè)圖形表示1平方厘米？先填一填，再說說他們有什么不同？

通過練習(xí)要幫助學(xué)生達(dá)到三個(gè)層面的認(rèn)識(shí)，1.圖形不同。表示1厘米的圖形是線段，表示1平方厘米的圖形是正方形。2.計(jì)量單位的不同。厘米是長(zhǎng)度單位，平方厘米是面積單位。3.使用上的不同。厘米是用來度量物體或圖形長(zhǎng)短的，平方厘米是用來計(jì)量物體表面或封閉的平面圖形面的大小的。從這三個(gè)層面幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到，這兩個(gè)不同的計(jì)量單位。

這種抽象出來的概念，對(duì)于學(xué)生來說，認(rèn)識(shí)上存在一定難度。所以，教學(xué)中除了可以把問題直接呈現(xiàn)，引發(fā)學(xué)生的思考，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生說說自己還知道哪些不同的計(jì)量單位，它們可不可以進(jìn)行比較，談?wù)勛约旱南敕?，從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到不同的計(jì)量單位是無法進(jìn)行比較的。

參考文獻(xiàn)

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南京江寧開發(fā)區(qū)學(xué)校 賈敏