兩天前布置了一道改編題，收獲了孩子們?cè)S多的精彩解法！一起來(lái)欣賞下！

如圖：已知正方形ABCD和等邊三角形EFG,其中頂點(diǎn)E、F、G分別位于邊AD、AB、CD上，且滿(mǎn)足：AE=2DE，求∠EGD的正切值。

解法一：勾股（林盛、戴蓓蓓等同學(xué)）

設(shè)元，利用勾股硬算。（設(shè)二元，利用等邊，由勾股得兩等式，求未知數(shù)）

過(guò)程優(yōu)化整理如下：

解法二：造相似（林晉、姚志武等同學(xué)）

利用比例造X型相似，得已知兩邊關(guān)系和一特殊角的斜三角形，解斜三角形即可

簡(jiǎn)析：如左圖，延長(zhǎng)FE交CD延長(zhǎng)線于M,得相似，導(dǎo)邊得EG=2EM，得到△EMG為已知兩邊+一個(gè)特殊角(120°)的斜三角形，如右圖，作高可解斜三角形，即可求得∠EGM的正切值。具體數(shù)據(jù)如圖所示！

解法三：一線三等角全等（林覺(jué)凱同學(xué)）

特殊角60度，可造一線三等角！如下圖。

整理如下：

解法四：一線三垂直（K字型）（楊辰東同學(xué)）

等邊三角形三線合一，易證PN中位線、△PMF∽△CPN，倒出線段比，tan∠EGD=tan∠FPM=√3/5.

引導(dǎo)發(fā)散：試試是否可以在另外兩條邊上構(gòu)造三垂直？

如下圖

解法五：旋轉(zhuǎn)，四點(diǎn)共圓導(dǎo)角，比例轉(zhuǎn)化（胡逸晨、董若羽、林東等同學(xué)）

如上圖，將△DEG繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°的△MEF，連AM，易證E、A、F、M四點(diǎn)共圓，∠DGE=∠MFE=∠MAN,過(guò)M作MN⊥AD于N，設(shè)DN=1，則EN=1,AE=4，MN=√3。。。。

解法六：造全等再作K字型（李筆候同學(xué)）

作在△EFG外部作∠GFP=∠EGD，過(guò)G作GP⊥FP于點(diǎn)P,過(guò)P作MN∥AD...易求∠PGN=30°，設(shè)PN=1,.....(其他值如圖),易證：△FMP∽△PGN,tan∠EGD=tan∠GFP=GP:FP=GN:PM=√3:5.

解法七：四點(diǎn)共圓導(dǎo)角（林展墨同學(xué)）

取BC中點(diǎn)M，連MN、MD，易證M、N、D、G和M、N、A、F四點(diǎn)共圓，證明△NFG為等邊三角形，tan∠NGD=tan∠NMD，過(guò)NZ作NK⊥DM于K，設(shè)DK=1，。。。。。

解法八：托勒密

M、N、D、G四點(diǎn)共圓，√3a·DG+a=3·2a,DG=5√3/3，。。。

解法九：等邊倍長(zhǎng)造306090的直角三角形

如圖所示：

換個(gè)方向也行：

為孩子們帶來(lái)的精彩解題喝彩！為愛(ài)動(dòng)腦的孩子們鼓掌！題目因有你們的思維而充滿(mǎn)活力！即使老師能有很多解法而學(xué)生都不會(huì)接受也只能是竹籃打水！加油吧，少年！