初中數(shù)學(xué)幾何三角形部分的內(nèi)容，是整個初中階段最重要的知識點，也是最重要的考點，同時也是難點。在做幾何證明題的時候，常常需要通過全等三角形研究兩條線段(或角)的相等關(guān)系或者轉(zhuǎn)移線段或角，而在解決這部分問題提時，經(jīng)常會用到添加輔助線來完成最終的證明。今天和同學(xué)們一起學(xué)習(xí)一下全等三角形中與中點相關(guān)的題型輔助線的添加方法，通過例題的形式，希望能夠總結(jié)出這類題目的解題方法，達到觸類旁通的目的。

在證明幾何題目的過程中于中點相關(guān)的題型，常見的輔助線的做法是倍長中線法。如果AD是△ABC中BC邊的中線，輔助線：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，可得△ADC≌△EDB。

例1. 如圖，在△ABC中，點D為BC的中點.（1）求證：AD<1/2（AB+AC).（2）若AC=9，AB=5，求AD的取值范圍.

【解析】解：（1）證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，

在△ACD和△EBD中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴△ACD≌△EBD，

∴AE=2AD，BE=AC，在△ABE中，AE＜AB+BE，即AE＜AB+AC，

∴AD<1/2(AB+AC).

（2）由（1）知，1/2|AB-AC|<AD<1/2(AB+AC)，

∵AC=9，AB=5，∴2<AD<7.

例2. 如圖，在△ABC中，AD為中線，點E為AB上一點，AD、CE交于點F，且AE=EF. 求證：AB=CF.

【解析】解：（1）證明：延長FD至H，使DH=FD，連接BH，

在△FCD和△HBD中，FD=DH，∠FDC=∠HDB，CD=BD，∴△FCD≌△HBD，∴CF=BH，∠H=∠CFD，∵AE=EF，∴∠EAF=∠AFE，∵∠AFE=∠CFD，∴∠EAF=∠F，∴AB=BH，

∴AB=CF.

例3. （1）如圖1所示，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，點D為AB的中點，點E是線段AC上一動點，連接DE，線段DF始終與DE 垂直且交于BC于點F，試猜想線段AE+BF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

（2）如圖2，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，點D為AB的中點，點E是線段AC延長線上的動點，連接DE，線段DF始終與DE垂直且交CB延長線于點F. 問（1）中的結(jié)論是否成立？若成立請寫出關(guān)系式，若不成立，請說明理由.

【解析】解：（1）AE+BF>EF，理由如下：

延長ED至H，使DH=DE，連接BH，FH，∵D是AB中點，∴AD=BD，在△ADE和△BDH中，

∵AD=BD，∠BDH=∠EDA，DH=DE，∴△ADE≌△BDH，∴BH=AE，∵DF⊥DE，

∴∠FDE=∠FDH=90°，在△FDE和△FDH中，∵FD=FD，∠FDE=∠FDH，DH=DE，

∴△FDE≌△FDH，∴EF=FH，在△BFH中，BH+BF>FH,即AE+BF>EF.

（2）成立，理由如下，

延長ED至H，使DH=DE，連接BH，FH，∵D是AB中點，∴AD=BD，在△ADE和△BDH中，

∵AD=BD，∠BDH=∠EDA，DH=DE，∴△ADE≌△BDH，

∴BH=AE，∵DF⊥DE，∴∠FDE=∠FDH=90°，

在△FDE和△FDH中，∵FD=FD，∠FDE=∠FDH，DH=DE，∴△FDE≌△FDH，

∴EF=FH，在△BFH中，BH+BF>FH,即AE+BF>EF.

例4. 如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，過點A作EF∥BC，且AE=AF.求證：DE=DF.

【解析】證明：連接AD，在△ABC中，∵AB=AC，D是BC中點，∴AD⊥BC，

即∠ADC=∠ADB=90°，∵EF∥BC，∴∠FAD=∠EAD=90°，在△ADF和△ADE中，

∵AD=AD，∠FAD=∠EAD，AE=AF，∴△ADF≌△ADE，∴DE=DF.