相似矩陣，顧名思義，就是指存在相似關(guān)系的矩陣

一般來(lái)說(shuō)，我們?cè)O(shè)A、B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P存在，使得P^(-1)AP=B

那么我們就稱A、B為相似矩陣

那么相似矩陣有哪些特性呢

一、反身性，A和A相似，那當(dāng)然，A本來(lái)就是A，怎么可能不相似呢

二、對(duì)稱性，這個(gè)也不用考慮太多，A和B相似，那B當(dāng)然和A相似了

三、傳遞性，如果矩陣A和矩陣B相似，矩陣B又和矩陣C相似，那自然而然矩陣A和矩陣C相似

四、如果A和B相似，那么兩者的秩、行列式的值都是相等的

五、也是比較重要的一點(diǎn)，兩個(gè)矩陣相似，說(shuō)明兩個(gè)矩陣的特征值相等

話不多說(shuō)，先給出一道實(shí)際例題來(lái)理解一下

類似這道題，給出三個(gè)矩陣，讓你判斷這些矩陣是否相似

那么正如我在圖中標(biāo)出的那樣，判斷矩陣相似的關(guān)鍵點(diǎn)就在于特征值、特征向量和齊次方程組

為什么我會(huì)提到齊次方程組，原因有兩點(diǎn)

其一，這三個(gè)矩陣的特征值都相等，那么就不能夠簡(jiǎn)單的按照特征值來(lái)判斷，要借助特征向量

其二，既然要借助特征向量，那么就要用到齊次方程組來(lái)求解，形如(2E-A)x=0這種

如圖所示，就是詳細(xì)的解釋

除了這道題，我還想給出另外一道題，也是特征值都相等的情況下，讓我們判斷矩陣是否相似

而且這道題有一個(gè)特殊之處，在于這些矩陣都不能夠相似對(duì)角化

這種題目就比較麻煩了，是只能夠通過(guò)判斷有幾個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量來(lái)解決了

總的來(lái)說(shuō)，判斷矩陣是否相似，關(guān)鍵在于基礎(chǔ)部分，特征值和特征向量尤其重要，注意！